空間向量的數(shù)乘運算

1、3.1.2空間向量的數(shù)乘運算【學習目標】1了解空間向量數(shù)乘運算的定義及數(shù)乘運算的運算律2了解平行（共線）向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應用其證明空間向量的共線、共面問題問題導學預習新知夯實基礎知識點一空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)久與空間向量a的乘積加仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義久0加與向量a的方向相同久V0加與向量a的方向相反加的長度是a的長度的1刀倍久=0加=0,其方向是任意的運算律分配律久(a+b)=Aa+Ab結(jié)合律久(wa)=a)a知識點二共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關于向量共線的知

2、識，給出空間中共線向量的定義答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量思考2空間中任何兩個向量都是共面向量，這個結(jié)論是否正確？答案正確根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進行平移，空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量梳理平行（共線）向量與共面向量共線（平行）向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件對于空間任意兩個向量a,b（bM0），若兩個向量a，b不共線，則向量pAAA,B,DBA,B,Callb的充要條件是存在實數(shù)久，使a-Xb與a,b

3、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使p-xa+yb如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于空間任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使OP-OA+ta，其中a叫做直線l的方向向量，Q如圖，空間一點P位于平面MAB內(nèi)推論如圖所示.的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使MP-xMA+yMB，或?qū)臻g任意一點O來說，有OP-OM+xMA+yMB若在l上取AB-a則式可化為OP-OA+tABp-思考辨析判斷正誤1若p二xa+y乃，則p與a,b共面.(d)若p與a,b共面，則p=xa+yb.(X)若MP=xMA+yMB，則P,M,A,B共面.(d)(4)若P,

4、M,A,B共面，則MP二xMA+yMB.(X)題薩探究啟迪惠維探兗董點類型一共線問題例1(1)已知向量a,b,且AB=a2b,BC=5a+6b,CD=7a2b，則一定共線的三點是()CCB，C，DDA，C，D設e1,e2是空間兩個不共線的向量，已知AB=e1+ke2，BC=5e1+4e2,DC=-e2e2,且A,B,D三點共線，實數(shù)k=.考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)因為AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB，故ADAB，又AD與AB有公共點A，所以A，B，D三點共線(2)yAD=AB+BC+CD=7el+(k+6)e2且AB與AD

5、共線，故AD=xAB,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又Ve1,e2不共線，7-x07-x0,、k+6-kx0,解得故k的值為1.、k1,反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：(i)若allb,bM0，則存在唯一實數(shù)久使a肋;(ii)若存在唯一實數(shù)久，使a肋，bHO，則ab.判斷向量共線的關鍵：找到實數(shù)九(2)證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線.存在實數(shù)久，使PAAPB成立.對空間任一點O，有OPOA+tAB(tWR).對空間任一點O，有OpxdA+ydB(x+y1).跟蹤

6、訓練1如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E,F分別是AB,CD的中點，請判斷向量EF與AD+BC是否共線?考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷解設AC的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),.jeF=Eg+G;F=1Bc+bC),EF與AD+BC共線.類型二空間向量的數(shù)乘運算及應用QipCiAB例2如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設-Ai=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1，BC,Cp的中點，試用a,b,QipCiAB(1)AAP；(2)A-A1N；(3)MAPN-AC1.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算A-A-A

7、解(1)AP二AD+DP二(AA+AD)+|aB=a+c+*b.(2)AN=AAA+AN=-AAa1+AB+AD=-a+b+2c.A-A-A-A-AA-A(3)MP+NC二(MA+AD1+DP)+(NC+CC)=2aA+AD+*AB+AD+AAa1=|AAi+tAD+2AB=2a+2b+2C.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且諾二1”，其他條件不變，如何表示AP?解AP二AA+DAP二AA+AD+|AB二a+c+2b.反思與感悟利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知

8、向量(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)跟蹤訓練2如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在Ap上，且AAE=2E-Di，F(xiàn)在對角線A1C上，且人了=2走.求證：E,F,B三點共線.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用證明設AB-a,AD=b,AA1=c.因為aa=2edi,A-fFC,所以AE-|人花，AF-IAC,所以Ae-|aD-jb,-A|A-A|AAAF-5（AC-AA1）-5（AB+AD-A-A-A|4|所以EF-A1F-AlE-5a-15b-5c又EB-EA1+A1A+AB-jb-c+a-a-jb-c,所以EF=|EB,又因為EF與EB

9、有公共點e，所以e,f,b三點共線.類型三空間向量共面問題例3(1)已知A,B,M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O,確定在下列條件下,點P是否與A，B，M一定共面OM+OB=3oP-OA；Op=4oa-OB-OM.(2)已知A,B,C三點不共線，點M滿足OM=|OA+3OB+|Oc.MAMB,MC三個向量是否共面？點M是否在平面ABC內(nèi)？考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用解TOM+OB-jOP-OA,.OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=om+Pa+pb:.(Op-(5m=pa+Pb:.mp=pa+pb,:.mp,PA,PB為共面向量，:.P與A,B,M共面.OP

10、=2OA+(OA-(JB)+(dA-OM)=2CpA+IpA+MA根據(jù)空間向量共面的推論，點P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是OP=OA+xBA+yMlA,:.P與A，B，M不共面.(2)yOA+OB+OC=3OM.OA-OM=(O)M-OB)+(OM-Oc),ma=ma=bM+cM=-M-AB-M-AC，:.向量MJA,mb,MC共面.由知向量M；A,MB,MC共面，又它們有共同的起點M,且A，B，C三點不共線，.M，A，B，C四點共面，即點M在平面ABC內(nèi).反思與感悟向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠

11、逆用它求參數(shù)的值.跟蹤訓練3如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，點H為PC上的點，且1AG=2，點G在AH上，且麗=血，若G,B,P,D四點共面，求m的值.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用解連接BG.因為ab=Pb-Pa,Ajb=DDc,所以DC=PB-PA,因為Pc=PD+Dc,所以Pc=Pd+PB-PA=-PA+pB+Pd.因為Hc=2，所以PH=pC,所以PH=3(-Pa+PB+PD)1p1p1p=-3PA+-jPB+-jPD,又因為ApH=PpH-PpA，所以AH=+|pb+1pd因為ah=m，pp4mpmpmp所以AG=mAH=3PA+3PB+jPD,因

12、為BpG=-ApB+ApG=PpA-PpB+ApG，所以BG=(1-43l)Pa+(3-JpB+PD又因為G，B，P，D四點共面，4m小3所以1-丁=0,m=4，3即m的值是3達標檢測達標檢測檢測評價達標過關1下列命題中正確的是()若a與b共線，b與c共線，則a與c共線向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面C零向量沒有確定的方向D.若ab,則存在唯一的實數(shù)久，使a=Ab考點空間向量的數(shù)乘運算題點線線平行的判定答案C解析零向量的方向是任意的3112.a,b,c不共線，對空間任意一點O,若（Op=4（Oa+8（Ob+80c,則p,a,b,c四點（）不共面B.共面不一定共面D.無法判斷是否共面考點

13、空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案B解析（OP=4ojA+|（OB+8oc=3OA+8（OA+AB）+8（OA+Ac）=（Oa+8ab+|Ac,由共面的充要條件，知p，A，B，c四點共面3下列條件，能說明空間不重合的A,B,C三點共線的是（）A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACc.AB=Bcd.iAbi=iBci考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案C解析由Alb=bc知AB與BC共線，又因有一共同的點b,故a,b,c三點共線.4.若非零空間向量ex，e2不共線，則使2滋e2與ex+2（k+1）e2共線的k的值為考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用1

14、一221一22乙-若,案析2k答解則+(k2+-e與2、總線共21-2-一一k1-2-一一kV、-1=2A(k+1),5.右非零空間向量ex，e2不共線，則使kex+e2與ex+ke2共線的k=考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案1解析由ke+e2與e+ke2共線，k=X,得ke1+e2=X（e1+ke2），即故k=1.1211=Xk,p-規(guī)律與方法1.四點P,A,B,C共面對空間任意一點O,都有（Op=xOA+y（OB+z（）C，且x+y+z=1.2.OP=OA+xAB+yAC稱為空間平面ABC的向量表達式.由此可知空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定證明（或判斷

15、）三點A,B,C共線時，只需證明存在實數(shù)久，使AB=XBC（或AB=XAC）即可，也可用“對空間任意一點o，有OC二tOA+（1-t）OB”來證明三點a,b,c共線.空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x,y），使MP=xMA+yMB,滿足這個關系式的點都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點都滿足這個關系式這個充要條件常用于證明四點共面.課時對點練注董雙基強化落賣一、選擇題1.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量幣，DC,入花是（）A.有相同起點的向量B.等長向量C.共面向量D.不共面向量考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案C解析因為dc-d1

16、A=aC，且Ac=a-c1,所以dc-da=a-c1,即dTC=da+a-c1.又DA與a-C不共線，所以DC,da，A-C三向量共面.2.在平行六面體ABCD-A1B1C12.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點.=a,A1D1=b,A1A=c,則下列向量中與BM相等的向量是（A-|a+|b+cB2a+2b+cC2a-2卅D-a-obc考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案A1解析B1M=B1B+BM=AA+Q（BA+BC）111=c+2（-a+b）=-2+2b+c.如圖所示，在四面體ABCD中，點E是CD的中點，記AB=a,AC=b,AD=c,則BE等于

17、（）CD1-_+11_-CD1-_+11_-Ba-2fl+b+2c考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案B解析連接AE，VE是CD的中點，AC=b,AD=c,.aE=1.aE=1(Ac+AD)=2(bc)在aabe中，BE二BA+AE二-AB+AE,又AB=a又AB=a,:.BE=a+c)=L1a+2b+2cB.cbC.b_cB.cbC.b_cD.c_bT設點M是ABC的重心，記BC=a,CA=b,AB=c,且a+c=0,MAM等于()b_cA,2考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案D解析設D是BC邊的中點，VM是ABC的重心，.而AD=:.AM.而AD=:.AM=+AC

18、)=b)，*c-b).5.設空間四點O,A,B,P滿足OP=mOA+nOB，其中m+n=1,貝肚)點P一定在直線AB上點P一定不在直線AB上點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上AB與AP的方向一定相同考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案A解析已知m+n=1，則m=1-n,OP=(1OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOB即OP-OA二n(OB-OA)，即AP二nAB.因為ABM0，所以AP和AB共線，又AP和AB有公共點A，所以點A,P,B共線，故選A.6.已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O,有-M=xOA+3OB+|OC，則x的值1-1-3D3C0)

19、B1(為A.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案D解析OM二xOA+3亦+3C,且M，A，B，C四點共面，.1.1丄x+3+3=1,/.x=3，故選D.7在下列命題中：若a，b共線，則a，b所在的直線平行；若a,b所在的直線是異面直線，則a,b一定不共面；若a,b,c三向量兩兩共面，則a,b,c三向量一定也共面；已知三向量a,b,c,則空間任意一個向量p總可以唯一表示為p=xa+yb+zc.其中正確命題的個數(shù)為()A0B1C2D3考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案A解析根據(jù)空間向量的基本概念知四個命題都不對二、填空題8以下命題：兩個共線向量是指在同一直線上的兩

20、個向量；共線的兩個向量互相平行；共面的三個向量是指在同一平面內(nèi)的三個向量；共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量其中正確命題的序號是考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量共面定理及應用答案解析根據(jù)共面與共線向量的定義判定，知正確.129.已知A,B,C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量Op=5Oa+3Ob+AOc定的點P與A,B,C共面，則2=.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用2答案吉解析VA,B,C三點不共線，點O是平面ABC外一點，由向量OP二5鬲+3亦+2OC確122定的點P與A,B,C共面，.丐+亍+久二1，解得A=J5.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C

21、1D1中，M,N分別為AB,B&的中點.用ABAD,A兀表示MN,則MN=考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案*ab+2ad+|aai解析mN=mB+bC+cn1-*-*1-*二2AB+AD+2(CB+BB)1-*-*1-*=2AB+AD+2(-AD+AA1)=2ab+|ad+11設棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中的八個頂點所成的集合為S.向量的集合P=mlm=P*2,P1，P2WS，則P中長度為冷茲的向量有個.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案8解析每一條體對角線對應兩個向量，正方體共有4條體對角線三、解答題設ex，e2，e3三向量不共面，而AB=ex+2e2+3e3，BC=2e1+Ae2+