近世代數(shù)置換群

1、近世代數(shù)課件置換群2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1第1頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2其中 是1n中的某一數(shù)字. (1)式所示的置換可以用一個(gè)更簡(jiǎn)潔的方式來表示，這就是用若干個(gè)沒有公共數(shù)字的獨(dú)立循環(huán)之積來表示，如其中(5)稱為單循環(huán)，它代表5變?yōu)?. 即5不變. (1 4)為二循環(huán)，它代表1變?yōu)?，而4又變?yōu)?. (2 3 6) 為三循環(huán)，代表2變?yōu)?，3變?yōu)?，6又變?yōu)?. 一般用記號(hào)第2頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3代表一個(gè)k循環(huán)，并稱k為循環(huán)的長(zhǎng)度，兩個(gè)

2、數(shù)字的循環(huán)(即循環(huán)長(zhǎng)度k=2)又稱為對(duì)換. 顯然，兩沒有公共數(shù)字的獨(dú)立循環(huán)之間是相互對(duì)易的，如而同一循環(huán)中的數(shù)字可作輪換而不改變?cè)撗h(huán)的結(jié)果，如 單循環(huán)往往省去不寫，如(2)式可寫成第3頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4任一循環(huán)可以分解為若干個(gè)含有相同數(shù)字對(duì)換之積，如而一般情況下可以證明： 第4頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5當(dāng)兩個(gè)對(duì)換含有相同數(shù)字時(shí)，這兩個(gè)對(duì)換是不可對(duì)易的，如由此可見，一個(gè)置換可分解為若干個(gè)沒有相同數(shù)字的獨(dú)立循環(huán)之積，而一個(gè)循環(huán)又可分解為若干個(gè)含有相同

3、數(shù)字的對(duì)換之積. 因此，一個(gè)置換可分解為若干個(gè)含有相同數(shù)字的對(duì)換之積. 由于一個(gè)循環(huán)分解為對(duì)換乘積的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一個(gè)置換可分解為對(duì)換之積的形式不是唯一的. 一個(gè)置換若能分解為奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積，則稱為奇置換. 反之, 一個(gè)置換若能分解為偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積，則稱為偶置換. 一個(gè)置換可分解為對(duì)換乘積的形式雖然不是唯一的，但其奇偶性第5頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6卻是唯一的. 因?yàn)槿我恢脫Q可分解為形式一定的循環(huán)乘積，而每一循環(huán)長(zhǎng)度k的奇偶性一定，若循環(huán)長(zhǎng)度k為偶數(shù)，則該循環(huán)可分解為奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積,如 . 反之，若長(zhǎng)度

4、k為奇數(shù)，則該循環(huán)可分解為偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積，如 . 任一置換 和它的逆 具有相同的奇偶性. 如 顯然兩個(gè)偶(奇)置換之積為偶置換，一個(gè)奇置換與一個(gè)偶置換之積為奇置換. 記所有偶置換的全體為 ，則 的數(shù)目正好第6頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7等于個(gè) . 并且由于偶偶=偶滿足封閉, 單位元(恒等置換零個(gè)對(duì)換) ，另 ，故構(gòu)成 的一個(gè)子群，且是一個(gè)不變子群. 因?yàn)閷?duì)于任意的 ， 有顯然商群 是二階群, 它有兩個(gè)一維表示與 , 而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以 群一定有兩個(gè)不等價(jià)的一維表示,其中一個(gè)是 ，即 中的所有置換都對(duì)應(yīng)

5、于單位元1，此為恒等表示. 另一個(gè)一維表示是 ,在該表示中所有偶置換都對(duì)應(yīng)于1，而所有奇置換第7頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8都對(duì)應(yīng)于1.2. 的共軛類 現(xiàn)在我們來討論一下置換群的共軛元素和類. 設(shè)有兩個(gè)置換 與 ，它們都是 的群元素，其中則 的共軛元素為：第8頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9這一結(jié)果表明，欲求置換 的共軛置換 ，只需對(duì)置換 中的上下兩行數(shù)字同時(shí)施行置換 ,例如對(duì) 的上下兩行數(shù)字同時(shí)施行置換 得： 若將置換分解為獨(dú)立循環(huán)之積的形式，上述求共軛元素的規(guī)

6、則又可表述為：欲求置換 的共軛置換 , 先將 與 寫成獨(dú)立的循環(huán)之積的形第9頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10式，然后對(duì) 的每個(gè)循環(huán)因子中的數(shù)字分別施行置換. 如在上例中，我們有對(duì) 中的每個(gè)數(shù)字分別施行置換 得：與前面所得結(jié)果相同. 由上面的討論可見， 與它的共軛元素 有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu). 反之，有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu)的元素第10頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11一定是相互共軛的，而群中所有相互共軛的元素組成一個(gè)共軛類，為了確定 群中共軛類的數(shù)目, 人們引入了配分的概念: 約

7、定按循環(huán)長(zhǎng)度遞減來排列獨(dú)立循環(huán)之積的次序，而包括在n次循環(huán)中的循環(huán)總長(zhǎng)度等于n，這樣n可分解為一些不增加的整數(shù)之和，稱為n的一個(gè)配分, 且每一個(gè)n次置換都對(duì)應(yīng)于一個(gè)n的配分，如置換 其配分為： 6=3+2+1或簡(jiǎn)記為3 2 1. 由于相互共軛的元素具有相同的第11頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12循環(huán)結(jié)構(gòu)，所以互為共軛元素的配分是相同的. 也就是說 的一個(gè)共軛類中的所有元素對(duì)應(yīng)于n的同一個(gè)配分，所以置換群 的共軛類數(shù)目等于n的不同的配分?jǐn)?shù). 例1: 有兩個(gè)類 配分 1 1= , 有一個(gè)元素: (1)(2)= . 配分 2, 有一個(gè)

8、元素: (1 2). 有三個(gè)類 配分 1 1 1= , 有一個(gè)元素: (1)(2)(3)= . 配分 2 1, 有三個(gè)元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 3, 有兩個(gè)元素: (1 2 3)、(1 3 2).第12頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13 有五個(gè)類 配分 1 1 1 1= , 有一個(gè)元素: (1)(2)(3)(4)= . 配分 2 1 1=2 , 有六個(gè)元素: (1 2)、(1 3)、(1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 配分 2 2= , 有三個(gè)元素: (1 2)(3 4)、(1 3)(2 4

9、)、(1 4)(2 3). 配分 3 1，有八個(gè)元素: (1 2 3)、(1 3 2)、(1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 配分4，有6個(gè)元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、(1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由1.3節(jié)的討論知， 與 群同構(gòu)，所以 也有兩個(gè)一維與一個(gè)二維不可約表示.第13頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14 有不變子群其商群為：其中 第14頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2

10、022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15顯然 與 群同構(gòu)，因此， 群的三個(gè)不可約表示還是 的表示. 由于 有5個(gè)類(=5個(gè)不可約表示)，它的階數(shù)為4！=24. 所以由2.6節(jié)(6)式知，各不可約表示維數(shù)的平方和滿足關(guān)系亦即所以故： 第15頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16所以 的5個(gè)不可約表示分別為：兩個(gè)一維表示、一個(gè)二維表示及兩個(gè)三維表示. 第16頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院173.2 楊圖與楊盤 由上節(jié)的討論可以看出， 群的類是和n的配分聯(lián)系在一起的，n的各種配分

11、可以形象地用楊圖表示出來.1. 楊圖 設(shè)n的某種配分為 ，其中 ,且 ，該配分是由n個(gè)格子組成的方格圖，其中第一行為 個(gè)格子，第二行為 個(gè)格子等等.如圖所示. 上面一行的方格數(shù)大于等于下面一行的方格數(shù)，左側(cè)一列的格子數(shù)大于等于右側(cè)一列的格子數(shù)合起來總共有n個(gè)方格. 此方格圖即稱為n次楊圖.第17頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院18 例1: 群的楊圖由兩個(gè)格子組成，各配分的楊圖為:第18頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院19 群的楊圖由三個(gè)格子組成，各配分的楊圖為: 群的楊圖

12、由四個(gè)格子組成，各配分的楊圖為: 第19頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院20 顯然楊圖數(shù)=配分?jǐn)?shù)=共軛類數(shù)=不等價(jià)不可約表示數(shù). 假設(shè)在n的配分中，單循環(huán)有 個(gè)，2循環(huán)有個(gè)， n循環(huán)有 個(gè)等等，則 對(duì)于 中一個(gè)確定的類，n的配分 是一定的，所以可以用數(shù)組 來標(biāo)記 的共軛類，這種標(biāo)記方法的好處之一是可以用數(shù)組 方便地求出各類中所包含的元素?cái)?shù)，其結(jié)果是第20頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21 證: 設(shè) 中某置換的循環(huán)結(jié)構(gòu)為在括號(hào)中點(diǎn)子的總數(shù)為n個(gè)，現(xiàn)在有n個(gè)不同的數(shù)字放入上

13、述括號(hào)中的點(diǎn)子處，若不考慮其它限制條件，總共有種 放法. 但 中有許多是屬于相同的置換，一是各獨(dú)立循環(huán)的對(duì)易不給出新置換，所以 個(gè)i循環(huán)中有 種置換是屬于同一種置換，因此 中必須除去 ，再就是各循環(huán)中數(shù)字的輪換不給出新置換，如(123)=(231)=(312). 所以一個(gè)i循環(huán)中將重復(fù)置換i次， 個(gè)i循環(huán)要重復(fù)置第21頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22換 次，所以 中必須除去 ，因此得結(jié)果(1)式. 例2: 對(duì)于群 ，在類 中， 故 , 故按(1)式，在類中包含的元素?cái)?shù)為在類 中， 則 ,故第22頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20

14、日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23在類 中， ，則故在類 中， ，則故在類 中， ，則故第23頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院24這些結(jié)果與3.1節(jié)例1的結(jié)果是一致的.2. 楊盤 置換群的不可約表示的個(gè)數(shù)與楊圖的個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(二者相等)，再引入楊盤的概念，就可以確定出各不可約表示的維數(shù). 在 的楊圖 上，將n個(gè)數(shù)字無重復(fù)地填滿n個(gè)格子，并且每一行自左向右是按增加順序排列的，而每一列由上往下，數(shù)字也是增加的，由此得到的填了數(shù)字的楊圖，稱之為楊盤(或楊表). 例3: , n=1, 2, 3, 4 時(shí)的楊盤如

15、下圖示第24頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25 楊盤第25頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院26 定理： 群中不可約表示 的維數(shù) 等于楊圖 上楊盤的個(gè)數(shù). 例4: 對(duì)于 群 楊圖 , 楊盤1個(gè), . 楊圖 , 楊盤2個(gè), . 楊圖 ，楊盤1個(gè)， . 故在 群的三個(gè)不可約表示中，兩個(gè)是一維的，另一個(gè)是二維的，這與3.1節(jié)例1得到的結(jié)論是一致的. 對(duì)于 群 楊圖 ，楊盤1個(gè)， .第26頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)

16、院27 楊圖 ，楊盤2個(gè)， . 楊圖 ，楊盤3個(gè)， . 楊圖 ，楊盤3個(gè)， . 楊圖 ，楊盤1個(gè)， . 所以在群 的5個(gè)不可約表示中，其中有兩個(gè)是一維的，一個(gè)是二維的，另兩個(gè)是三維的. 這與3.1節(jié)例1得到的結(jié)論是一致的. 群不可約表示的維數(shù)，亦可通過如下簡(jiǎn)單的公式求得：第27頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院28其中一個(gè)方格的曲距定義為該方格右面和下面的方格數(shù)之和加1. 例如，對(duì)于楊圖 ，由上式可得其不可約表示的維數(shù)為對(duì)于楊圖 ，與上例所得結(jié)果相一致. 第28頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/1

17、3數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院293.3 的不可約表示 由前面的討論可知，由楊圖與楊盤，我們可以確定不可約表示的個(gè)數(shù)與維數(shù)，這節(jié)我們將討論的不可約表示矩陣的具體求法. 為此目的，我們先對(duì)楊圖中的每個(gè)楊盤作標(biāo)號(hào),如用 來標(biāo)記它們，即 代表?xiàng)顖D 中標(biāo)號(hào)為i的楊盤. 假設(shè)共有 個(gè)楊盤，則對(duì)應(yīng)于楊圖 的不可約表示是 維的， 矩陣元 第29頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院30下腳標(biāo)r、s是對(duì)應(yīng)于楊圖 的諸楊盤 的標(biāo)號(hào). 根據(jù)置換群理論，群的不可約表示中相應(yīng)于對(duì)換 的矩陣元 由以下規(guī)則確定:其中的 代表將楊盤 中的數(shù)字第30頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月

18、20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院31互換后得到的楊盤. 為楊盤 中的數(shù)字的軸距，計(jì)算軸距有一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)則，即如果規(guī)定沿著楊盤向上或向右移動(dòng)一格為+1，向下或向左移動(dòng)一格為-1，則從k-1出發(fā)，沿著直角路線到達(dá)k總共經(jīng)過的方格的代數(shù)和就是軸距. 上述規(guī)則僅給出了兩相鄰數(shù)字對(duì)換的不可約表示的矩陣，利用下列遞推關(guān)系 就可將任一對(duì)換用相鄰數(shù)字的對(duì)換表示出來，比如第31頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院32由于任一置換都可以分解為對(duì)換之積，這樣只要知道了的所有相鄰對(duì)換元素(k-1, k)的表示矩陣 .就可以確定出

19、 的任一元素的表示矩陣，從而 群的不可約表示也就完全確定了. 例1: 現(xiàn)在我們利用上述方法求出群 的表示矩陣. 對(duì)于 群，其楊圖與楊盤為：第32頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院33所以不可約表示 與 都是一維的. 對(duì)于楊盤 ， ，故 , 對(duì)于 群，其楊圖與楊盤為：第33頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院34所以，不可約表示 與 是一維的，而 是二維的.故得： 對(duì)于楊盤 , 再由關(guān)系(3)知: 第34頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13

20、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院35對(duì)于 盤， , 故由(1)式得: .對(duì)于 盤， ，故由(1)式得: .因 故由(1)式得: 這樣第35頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院36對(duì)于 盤， 故由(1)式得: 對(duì)于 盤， 故由(1)式得:又 故由(1)式得:這樣第36頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院37再由上面的關(guān)系(3)可求解其它元素的表示, 結(jié)果為:由此可見， 群的各表示與2.4節(jié)例1求得的群的不可約表示一一對(duì)應(yīng)，其結(jié)果完全一樣，這是顯然的. 因?yàn)?群與 同構(gòu). 第37頁(yè)，共66頁(yè)，20

21、22年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院383.4 群不可約表示的特征標(biāo) 群的不可約表示的特征標(biāo)稱為它的單純特征標(biāo)，它是類的函數(shù)，常用 來標(biāo)記，這里的右上角 為n的一種配分 , 用以標(biāo)記 的不可約表示，右下腳 也是n的一種配分. 用以標(biāo)記 中的某一類，按置換群理論， 群相應(yīng)于配分 的不可約表示 在 類中的特征標(biāo)為：上式求和i是對(duì)將 個(gè)連續(xù)格子添加到第38頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院39楊圖 中的所有可能的方法進(jìn)行的，而其中 為在每次添加中連續(xù)格子的“距”之和，而“距”為最長(zhǎng)一列中的格子數(shù)減1.

22、 所謂連續(xù)格子是指處在楊圖 同一行的格子，每一行的格子標(biāo)號(hào)相同，且由上而下標(biāo)號(hào)依次增大，如下圖所示:第39頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院40將 的格子添加到楊圖的規(guī)則是：添加每一組數(shù)字相同的連續(xù)格子不許出間斷，添加的每一步都要使所得到的方格圖為一楊圖，且從上而下或從左而右看，數(shù)字必須是不減次序，每一步添加相同數(shù)字的格子必須形成那一步的楊圖階梯的一個(gè)連續(xù)段，所謂楊圖的階梯是由楊圖右下方的邊緣帶上的格子組成. 如楊圖 的階梯是由下圖中有陰影的格子所組成，即每一步應(yīng)將數(shù)字添加到楊圖的最外層.第40頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，1

23、8點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院41 例1: 各不可約表示的特征標(biāo)由上節(jié)(3.3節(jié))例1的結(jié)果可以容易的得到，這里我們將用公式(1)求得其特征標(biāo). 對(duì)于 對(duì)于第41頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院42 對(duì)于第42頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院433.5 的分支律 現(xiàn)在假設(shè)在某一組基矢下，相對(duì)于楊圖 群的不可約表示為 ,如果用 來作為n-1個(gè)符號(hào)(1, 2, , n-1)的置換群的表示時(shí)，它一般不再是不可約的了. 適當(dāng)?shù)剡x取一組新基矢，即對(duì) 作一相似

24、變換,我們可將其分塊對(duì)角化，這樣其中各 就構(gòu)成 的不可約表示，那么是如何確定的呢？這就是分支律將要回答的問題. 第43頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44 分支律: 對(duì)于n次楊圖 ，如果它的某一行的格子數(shù)多于下一行的格子數(shù)，那么從這一行挪去一個(gè)格子可得到一個(gè)n-1次楊圖 ，用這種方法得到的所有n-1次楊圖就給出了 的不可約表示 中 所包含的 各種不可約表示 ，而且 的每一個(gè)不可約表示只出現(xiàn)一次. 如 群的楊圖按分支律所述規(guī)則，可以從這5個(gè)格子中分別挪去一個(gè)格子，得到 第44頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2

25、022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院45只有這兩種去格子的方法，而按照如下方法去格子是不允許的一是因?yàn)槿ジ褡拥男械母褡訑?shù)不多于它的下面一行,另外，去格子后的圖不是楊圖，因此由 群的楊圖 到 群楊圖的約化只能是 第45頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院46相應(yīng)的表示有關(guān)系 例1: 在3.3節(jié)例1，我們?cè)蟮?群的不可約表示為：對(duì)于 ，元素(e)與(12)的各不可約表示為： 第46頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院47對(duì)于楊圖故 亦即對(duì)于楊圖故 ，亦即第47頁(yè)，共66頁(yè)，2022年

26、，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院48對(duì)于楊圖 ，故亦即所得結(jié)果與3.3節(jié)例1的結(jié)果相符合. 第48頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院493.6 SU(n)群的不可約表示 本節(jié)將扼要地介紹楊圖在特殊幺正群SU(n)表示中的應(yīng)用. 設(shè)有非奇異n階復(fù)矩陣U(n)群, 如果它的元素 滿足關(guān)系亦即則稱U(n)為幺正群(Unitary Group), 在U(n)中, 行列式等于1的元素的全體構(gòu)成的群稱為特殊幺正群(Special Unitary Group), 記為SU(n), 即第49頁(yè)，共66頁(yè)，2022

27、年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院501. 楊圖與SU(n)的不可約表示 SU(n)群的不可約表示通過n-1個(gè)參數(shù)來描述，這一組參數(shù) 可用楊圖表示出來，如圖所示，為具體起見，圖中取 、 、 、 、若這個(gè)楊圖代表的是SU(7)群的一個(gè)不可約表示，則該表示應(yīng)記為 第50頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院51若代表的是SU(6)群的一個(gè)不可約表示，則該表示應(yīng)記為： 同理若代表的是SU(5)群的一個(gè)不可約表示，則該表示應(yīng)記為：這時(shí)標(biāo)有 的一列格子是多余的. 因?yàn)镾U(5)群的不可約表示有四個(gè)參數(shù)，因此最多

28、只需四行格子，這樣多余的五行格子可以去掉，如下圖所示第51頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院52 SU(n)群各不可約表示的維數(shù)由下述公式求得. SU(2)群各不可約表示由一個(gè)參數(shù) 描述，記為 ，其維數(shù)為： SU(3)群的不可約表示由兩個(gè)參數(shù) 、 描述，記為 ，其維數(shù)為第52頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院53 一般地，SU(n)群的不可約表示由個(gè)n-1個(gè)參數(shù)描述，記為 ，其維數(shù)為 如：SU(4)群不可約表示的維數(shù)為SU(5)群不可約表示的維數(shù)為 第53頁(yè)，共66頁(yè)，202

29、2年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院54另簡(jiǎn)單地計(jì)算可得：2. 表示直積的分解 現(xiàn)在我們來介紹一下如何用楊圖將SU(n)的兩個(gè)不可約表示的直積分解為不可約表示的直和的方法，也就是給出表示直積的克萊布施戈登展開:第54頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院55作出兩個(gè)直積的不可約表示的楊圖. 例如，SU(3)群兩表示的直積 ，相應(yīng)的楊圖為：選擇其中的一個(gè)楊圖作為基礎(chǔ)圖，為了簡(jiǎn)單起見，通常選擇比較復(fù)雜（格子數(shù)較多者）的一個(gè)作為基礎(chǔ)圖，保持基礎(chǔ)圖不變，然后將另一個(gè)圖中的格子編上行號(hào)，第一行都填1，第二行都填2，等等.然后將帶行號(hào)1的格子按下述規(guī)則加到基礎(chǔ)圖上去,作出一切可能擴(kuò)大的楊圖，再將帶行號(hào)2的格子按同樣的規(guī)則加到已擴(kuò)大了的楊圖上去，等等，第55頁(yè)，共66頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)45分，星期三2022/9/13數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院56一直耗盡所有格子為止. 最后將所有可能擴(kuò)大了的楊圖加起來，就得到直積表示的分解. 拼圖的規(guī)則是: (1) 拼到基礎(chǔ)圖上同一行的格子行號(hào)從左到右是不減的. (2) 拼到基礎(chǔ)圖上同一列的格子行號(hào)不能相同，同一列中的行號(hào)從上到下是增加的. (3) 拼出的每一個(gè)圖必須是楊圖,