高考立體幾何精選題庫3

1、277.如圖，四面體ABCD的棱BD長為2,其余各棱的長均是 求：二面角 A-BDC、ABCD、BAC-D 的大小.解析：取BD的中點0,連AO、0C.在AABD中，VAB=AD= VI, BD =2, . A ABD是等腰直角三角形，A01BD,同理0C_LBD. ZA0C是二面角ABDC的平面角 又 A0=0C=l, AC=C., /.ZA0C=90 .即二面角 ABDC 為直二面 角.(2).二面角 ABDC 是直二面角，AOBD, .AO,平面 BCD.A ABC在平面BCD內(nèi)的射影是A BOC.VSaocb=1,Saabc= , Acos o =3.即二面角 ABCD 的大小是 22

2、3V3 arccos . 3(3)取 AC 的中點 E,連 BE、DE. VAB=BC, AD=DC,/.BDAC, DEAC,，NBED就是二面角的平面角.在ABDE中，BE = DE =如，由余弦定理，得cos a =-，23.二面角BACD的大小是兀-arccos-.3評析本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利 用其所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，或利用面積的射影公式S= S , cos 0 求得.278.如圖所示，在三棱錐SABC中，SAL底面ABC, ABBC, DE垂 直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB, SB= SC.求以BD為棱，以BDE與B

3、DC為面的二面角的度數(shù).解法一：由于SB=BC,且E是SC中點，因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC1BE.又已知SCDE, BEGDE = E,，SC_L平面 BDE, ASCIBD,又.SA_L底面 ABC, BD 在底面 ABC 上，ASA1BD.而 SACSC=S,所以 BDJ_平面 SAC.DE=平面 SAC n 平面 BDE, DC=平面 SAC n 平面 BDC,ABD IDE, BD_LDC.，NEDC是所求二面角的平面角.SA_L底面 ABC, .SAIAB, SA1AC.設(shè) SA=a,則 AB=a, BC = SB= V2 a.又 ABJLBC,所以 AC=

4、VJa.在 RtASAC 中 tgNACS = = 3，所以 NAC V3ACS = 30 .又已知DE_LSC,所以NEDC=60 ,即所求的二面角等于60 .解法二：由于SB=BC,且E是SC的中點，因此BE是等腰A SBC的底邊 SC 的中線，所以 SC_LBE.又已知 SC_LDE, BEGDE=E.，SC，平面 BDE,SCBD.由于SA_L底面ABC,且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影, 由三垂線定理的逆定理得BDLAC；又ESC, AC是SC在平面內(nèi)的射影, 所以E在平面ABC內(nèi)的射影在AC上，由于DAC,所以DE在平面ABC內(nèi)的射影在AC上，根據(jù)三垂線定理得BD_

5、LDE.TDEu平面BDE, DCu平面BDC.，NEDC是所求二面角的平面角.以下解 法同解法一.279. 在直三棱柱 ABCA B C 中，NBAC=90 , AB= BB =1,直線B，C與平面ABC成30的角.（如圖所示）（1）求點C到平面AB C的距離；（2）求二面角BB C-A 的余弦值.解析：（l）TABCA Bz C 是直三棱柱，:.A C AC, ACu平面 AB C, ：.K C 平面AB C,于是C到平面AB C的距離等于點A到平面AB C的距離，作A 于M.由ACJL平面AB A得平面AB CJ_平面 AB A , ：.A MJL平面 AB，C, A M 的長是 A到平

6、面 ABC的距離.AB=B B=l, _LB CB=30 , .,.B/ C = 2, BC =百，AB =41, A= 9即C到平面AB，C的距離為爭(2)作 ANJlBC 于 N,則 AN_L平面 B BCCZ ,作 NQJ_B C 于 Q,則 AQ_LBC,，NAQN是所求二面角的平面角，AN=g =逅，AQ= ACxA BC 3BC=L .sinNAQN= =巫,cosNAQN=g AQ 33說明 利用異面直線上兩點間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，AB=BB =1, .AB =41,又NB CB=30 , ，BC=石，B C = 2, AC=&.作 AM_LB C 于 M,

7、BN_LB C 于 N,則 AM=1,CN=-, CM=1, AMN=-. VBNB/ C,AM_LB C, .BN 22與AM所成的角等于二面角BB CA的平面角.設(shè)為0.由 AB2=AM2+BN2+MN-2AMXBNXcos。得 cos。280如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的菱形，NA=60 , PC_L平面ABCD, PC=a, E是PA的中點.(1)求證平面BDE_L平面ABCD. (2)求點E到平面PBC的距離.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：設(shè)。是AC, BD的交點，連結(jié)E0.ABCD是菱形，.O是AC、BD的中點, E是PA的中點，EOPC,又PC_L平面A

8、BCD, ，EO_L平面 ABCD, EOu平面 BDE,，平面 BDE_L平面 ABCD.(2) EOPC, PCu平面 PBC, .E0平面PBC,于是點0到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作 OF_LBC 于 F, ,.EO_L 平面 ABCD, EO/PC, PCu 平面 PBC,二平面 PBC_L 平面 ABCD,于是OF_L平面PBC, OF的長等于0到平面PBC的距離.由條件可知，0B = j0F=3xE = a,則點E到平面PBC的距離為 2224（3）過 0 作 OG_LEB 于 G,連接 AG V0EAC, BDAC .ACJ_平面 BDEAAGIEB （三垂線定

9、理） /. ZAG0是二面角AEBD的平面角V0E = ipC = la, 0B=a.EB=a.，0G=& 又 A0 =222EB 4la. 2/. tan N AGO =型=速/AGO=arc tan 氈. OG 33評析本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點到面距 離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應(yīng)用.281.如圖，矩形ABCD中，AB = 2, BC = 2g,以AC為軸翻折半平面， 使二平面角BACD為120 ,求：（1）翻折后，D到平面ABC的距離; BD和AC所成的角.解析：研究翻折問題，通常要畫出翻折前的平面圖形和翻折后的空間圖 形，對應(yīng)點的字母要相同.解 分別

10、過B、D作AC的垂線，垂足是E、F,過F作FB，BE,過B 作BB AC,交點B,則四邊形EFB B是矩形.VACDF, ACJLB F,.AC_L平面 B FD,即 NDF B 就是二面角 BAC 一D的平面角，亦即NDFB =120 .過 D 作 DOJLB F,垂足為 0. .0()=ac 1/?A/ = c a = ell ac 生 a J bIIa = all0.bCc = P圖答9-29. . B. A不正確是因為直線可以在平面a內(nèi)，也可能與a平行， 還可能與。相交但不成直角，C中的直線6只與月內(nèi)的直線Q垂直，不 能得出垂直力的結(jié)論.D中。、力可能相交，。內(nèi)的兩條直線均與交線平行.

11、給出以下命題：平行于同一條直線的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩條直線平行；平行于同一個平面的兩條直線平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行；平行于同一條直線的兩個平面平行；垂直于同一條直線的兩個平面平行；平行于同一個平面的兩個平面平行.其中正確的命題是（把你認為正確的命題的序號都寫上）.解析：、.由公理4知正確.由直線與平面垂直的性質(zhì) 定理知正確.由兩個平面平行判定定理可以推導出、正確.垂直 于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、或異面；平行于同 一個平面的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、或異面；平行于同一條 直線的兩個平面的位置關(guān)系是平行或相交.給出下列命題，錯誤的命題是（）.A.

12、若直線平面a,且a 平面方，則直線。與平面/的距離等于平面。、/間的距離B.若平面。平面夕，點a,則點A到平面力的距離等于平面 。、萬間的距離C.兩條平行直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離 等于這兩個平行平面間的距離D.兩條異面直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離 等于這兩個平行平面間的距離解析：C.以下按順序說明，對A中，在。上任取一點P,作P”為直線。與平面月的距離.： a /p, PH La, ：. PH又為a、 力間的距離.對于B,作AJL夕，4”的長為點A到夕的距離.又,: a 力，,. AHa,于是AH的長是a、/兩個平行平面間的距離.對于C,設(shè)ab, aa

13、, b/3,過a上任一點P作于Q, 則的長為。、b兩平行直線間的距離.因為PQ與。、力不一定垂直, 所以P。的長一般不是。、力間的距離，一般地說，a、間的距離不小 于。、力間的距離.對于D.設(shè)AA是異面直線a、h的公垂線段，Aa, Aeb , aa , 匕*，過A和b的平面與a相交于少，則b/b ,于是AAlb. ：. AAU a .同 理.故AV的長又是a、夕兩個平面間的距離（如圖答9-30）.設(shè)a、僅是兩個平面，/和加是兩條直線，那么。力的一個充分 條件是().號.0a , m與a ,且/夕，加夕 B. /a, m三.0,且/ / mC. l-La ,且/mD. I/ a , m/3,且/

14、 m解析：C.可參看圖答9-31.圖答9-31.平面a 平面夕，過平面二、夕外一點尸引直線以8分別交a、0 于A、6兩點，PA=6, AB=2,引直線PCO分別交a、/于。、。兩點.已 知6fM2,則AC的長等于().A. 10B. 9C. 8D. 7A. 10B. 9C. 8D. 7解析：B.如圖答9-32,平面PBZ)na=AC,平面PBOA4=BZ), ： a/ B, ：. AC/BD.由平面幾何知識知，以l = t =用.：PA=6,AB=2,LPB PD BD80=12, = ,AC=9.6 + 212294.已知AC, 是夾在兩平行平面a、力間的線段，Aa, Ba, C/3, DR

15、/3,且 AC=25cm, 8。=30cm, AC、8。在平面夕內(nèi)的射影的 和為25cm,則AC、8。在平面方內(nèi)的射影長分別為, AC與平 面方所成的角的正切值為, BQ與平面方所成的角的正切值為解析：設(shè)a、/間的距離為，AC在平面夕內(nèi)的射影AC = x, 8。在平面-5P內(nèi)的射影BD = y,根據(jù)已知條件可得,y2+h2 = 302,-得x + y=25.y2 -x2 =302 -252 ,即X-把代入得士“，；工;：解得盛即AC = 7cm, 87) = 18cm.又=24cm, AC與平面力所成的角為NACA , tan/ACA =,同理 tan/8m = -d = AC 7BD 18

16、3295.已知空間不共面的四個點，與此四個點距離都相等的平面有個.解析：與不共面的四個點距離相等的平面分為兩類，一類是四個點中一 個點位于平面的一側(cè)，另外三個點在平面的另一側(cè)，這樣的平面有4個; 另一類是四個點中的兩個點位于平面一側(cè)，另外兩個點在平面的另一 側(cè)，這樣的平面有3個，故一共7個平面到這四個點距離相等.296.如圖9-35,平面a 平面夕，ABC、的分別在Q、4內(nèi), 線段AV、BB，、CC相交于點O,。在。、之間.若AB=2, AC=, Z ABC=60 , OA : 04=3 ： 2,則ABC的面積為.解析：圖9-35AABB = 0 , AA、8所確定平面 平面 ABA* G a

17、 =A8,平面A8An夕=A ,a B，：同理CA/CW.由于方向相反，ABC與的三內(nèi)角相等，AABCA且翳嗯且翳嗯4* xarc = -x2xlxsin60 = 4vtiv 22平面ABCfla 二 AC 平面ABCfla 二 AC 平面A8Cn = EG all (5解析:AC/FG AC/HF297.如圖9-37,兩條異面直線AB、CQ與三個平行平面。、/、7分別 相交于A、E、B,及C、F、D,又A。、與平面廣的交點為“、G.求 證：EHFG為平行四邊形.=ACM EG. mACUHF.EG II HF.同理/G.故E/FG是平行四邊形.298.如圖9-38,已知平面a 平面力，A、C

18、a, B、DR。, E、F分 別為43、C。的中點.求證：EF/a, EF/p.解析：當46、。共面時，平面A8CZ)Ca=4C,平面A6C)n，=3。. ; a /P，：. AC/BD. V E、產(chǎn)分別為 A5、CO 的中點，I. EF/AC. V AC 50，EF 4a、：. EF/a ,同理石/力.當 46、CO異面時，EiCD,：.可在平面EC。內(nèi)過點E作CD/CO,與a,，分別交 于U, D.平面 ACZna = AC 平面 AC5On夕= 8。，a /3 , /. AC/BD. V E 是 AB 中點，E 也是 C7T 的中點.平面 CC7yna = CV， 平面 CC757)n

19、夕=。，： a / (3 , /. CC/DD, V E、尸分別為 CD、 中點，.EF/CC, EF/DD. *.* CCa, EF /. EF/a,同理尸夕.299.已知矩形ABCD,過A作SA_L平面AC,再過A作AE1SB交SB于E, 過E作EF_LSC交SC于F (1)求證:AFSC若平面AEF交SD于G,求證：AG1SD解析：如圖，欲證AFJLSC,只需證SC垂直于AF所在平面，即5(3_1_平 面AEF,由已知，欲證SCL平面AEF,只需證AE垂直于SC所在平面， 即AEJ_平面ABC,再由已知只需證AE_LBC,而要證AEJ_BC,只需證BC _1_平面SAB,而這可由已知得證

20、證明 .SA_L平面 AC, BCu平面 AC, .SABC.矩形 ABCD, AABIBC，BC_L 平面 SAB.*.BCAE 又 SBAE ，AEJ_平面 SBC，SCJ_ 平面 AEF.AFJLSC(2) TSAJL平面 AC A SADC,又 AD_LDC.,.DC_L 平面 SAD .DC1AG 又由有SC_L平面AEF, AGu平面AEF/. SC AG ，AG _L 平面 SDC A AG SD已知四面體ABCD, AO平面BCD,且孰為 BCD的垂心.B()2_L平面ACD,求證：。2是AACD的垂心.證明如圖所示，連結(jié)BOi, AO2,A0平面BCD, 0i為 BCD的垂心

21、,ABOilCD,由三垂線定理得ABJLCD.又BO?，平面ACD,由三垂線逆定理得A02_LCD.同理連結(jié)DO” CO2可證BC_LAD,即C02_LAD.O2 是 AACD 垂心.立體幾何基礎(chǔ)題題庫301-350 (有詳細答案)正三棱柱ABCABG的側(cè)面三條對角線AB】、BG、CAi中，AB,BQ.求證：ABiCAi.解析：方法1如圖，延長B到D,使GD=BC.連CD、AD因ABBC”故ABCD；又B=A=GD,故NB故J)=90 ,于是DA平面AABB.故AB平面AD,因此ABAC 方法2如圖，取AB、AB的中點Eh、P.連CP、CD、AF、D,B,易證CD _L平面AA,B,B.由三垂

22、線定理可得AB-BD”從而AB.1A.D.再由三垂線定 理的逆定理即得ABAC說明證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列 方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；(3)證明直線平行于平面的垂線；(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.已知：正三棱柱 ABCA B C 中，AB _LBC , BC=2,求: 線段AB在側(cè)面上的射影長.解析：如圖，取BC的中點D. :AD_LBC,側(cè)面8CC0_L底面ABC, .二AD _L側(cè)面夕夕。是斜線AB在側(cè)面的射影.又TAB BCZ , C.BdL BC.設(shè) BB =x,在 RtA 98D 中，BE

23、： BD= BB, BD =y/ + x Ar/_ BC Ar/_ BCJLAC ， COS / = ABYE 是 ABB C 的重心.BE=BC=工+ / 33X = - Vl + x2 7x2 +4 ,解得：X=y2. 3.線段AB在側(cè)面的射影長為平面a外一點A在平面a內(nèi)的射影是卜，BC在平面內(nèi)，ZABA公 BC = (3, NABC=y, 求證：cosy =cos。, cos 3 .解析:過 A作解析:過 A作ac_LBC 于 C,連 AC，.VAA/J_平面a, BC垂直AC在平面a內(nèi)的射線4c.BC.BC又 V cos 0 又 V cos 0 =上，cos B =ABBCcos /

24、=cos 0 cos B . ABC在平面a內(nèi)的射影是 A B C ,它們的面積分別是S、Sz ,若AABC所在平面與平面a所成二面角的大小為0 （0V 0 V90 =,則 S =S cos 0 .證法一如圖（1）,當BC在平面a內(nèi)，過A作A DJ_BC,垂足為D.VAA/ _L平面a, AD在平面a內(nèi)的射影A D垂直BC.AADIBC. .ZADAZ = 0 .又 S =La D BC, S =ADBC, cos 0=必,.=S =S cos 0 . 22AD證法二 如圖（2）,當B、C兩點均不在平面a內(nèi)或只有一點（如C）在平 面a內(nèi)，可運用（1）的結(jié)論證明S S cos 0 .求證：端點分

25、別在兩條異面直線a和b上的動線段AB的中點共面.證明 如圖，設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ, PQ的中點是M,過M 作平面a ,使PQ_L平面a ,且和AB交于R,連結(jié)AQ,交平面a于N.連 結(jié) MN、NR. .PQ_L平面 a , MNu a , .*.PQMN.在平面 APQ 內(nèi)，PQJLa, PQ _LMN, .MNa,a a , XVPM=MQ,，AN=NQ,同理可證 NRb, RA=RB.即動線段的中點在經(jīng)過中垂線段中點且和中垂線垂直的平面內(nèi).如圖，已知直三棱柱 ABCABG 中，NACB=90 , NBAC=30 , BC=1, AA尸顯，M是CCi的中點,求證:AB-AM解析：

26、不難看出BC_L平面AACC, AG是AB】在平面AACC上的射影.欲 證AM_LABi,只要能證AM_LAC就可以了.證：連 AG,在直角 ABC 中，BC = 1, NBAC=30 ，AC=AC = 6 設(shè)NACA=a, NMA=Btanf =安日AG V3 2cot ( a + B ) =31吧叨=上4 =0, tana + tan 夕 行,22a + B =90 即 ACilA.M.VBiCilCiAi, CCBC, .BC,平面 AACG,AC,是AB.在平面AACC上的射影.AG_LAiM,.由三垂線定理得AiMJLABi.評注：本題在證AG,AM時，主要是利用三角函數(shù)，證a+B=

27、90 , 與常見的其他題目不太相同.矩形ABCD, AB=2, AD=3,沿BD把A BCD折起，使C點在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求證：CD1AB；(2)求CD與平面ABD所成角的余弦值.(1)證明如圖所示，01_1_面48。，AD_LAB,ACD1AB(2)解：VCM ABD/. ZCDM為CD與平面ABD所成的角，cosZCDM= - CD作CNJ_BD于N,連接MN,則MNJ_BD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得DM ： CD=CD : CA=AB ： AD=2 ： 3.ACD與平面ABD所成角的余弦值為|空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，NPBA=45

28、 , NPBC = 60 , M為AB的中點.求BC與平面PAB所成的角；(2)求證: AB_L 平面 PMC.解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解PAAB, /. ZAPB=90在 RtAAPB 中，NABP = 45。,設(shè) PA=a,則 PB = a, AB=Via, .PBJLPC,在 RtAPBC 中，VZPBC=60 , PB=a. .,.BC = 2a, PC=V3a.VAPPC .在 RtAAPC 中，AC = J%2 + -c2 =揚+函y =2aVPC1PA, PC_LPB,，PC_L平面 PAB,ABC在平面PBC上的射影是BP.ZCBP是CB與平面P

29、AB所成的角NPBC=60。，BC 與平面 PBA 的角為 60 .(2)由上知，PA=PB=a, AC=BC=2a.，M 為 AB 的中點,則 AB_LPM, ABJLCM.，AB_L 平面 PCM.說明 要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點，發(fā)現(xiàn)解 題捷徑.在空間四邊形 ABCP 中，PA1PC, PBBC, AC_LBC. PA、PB 與平面ABC所成角分別為30和45。（1）直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié) 論；（2）若點P到平面ABC的距離為h,求點P到直線AB的距離.解析：主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面 角，點面間距離等概念應(yīng)用，空間想象力及

30、推理能力.解（1）AB與PC不能垂直，證明如下：假設(shè)PC_LAB,作PH_L平面ABC于H,則HC是PC在平面ABC的射影，.HC_LAB,.1人、PB在平面ABC 的射影分別為HB、HA, PB1BC, PA1PC.BHBC, AH1AC.AC_LBC, .,.平行四邊形ACBH為矩形.VHC1AB,.ACBH 為正方形.HB=HAPH_L平面 ACBH. A PHB A PHA.NPBH=NPAH,且PB, PA與平面ABC所成角分別為NPBH, NPAH.由 已知NPBH=45 , ZPAH=30 ,與NPBH= NPAH 矛盾./. PC不垂直于AB.(2)由已知有 PH=h, NPB

31、H=45 .BH = PH = h. V ZPAH = 30 , .,.HA=V3h.矩形 ACBH 中，AB = yjBH2+HA2 = 7/i2+(V3/i)2 = 2h.作HE_LAB于E,:.皿=吧生=匕回=隊.AB 2h 2PH_L平面 ACBH, HEAB, 由三垂線定理有PEAB, APE是點P到AB的距離.在 Rt PHE 中，PE= J PH2 + HE2 = 即點P到AB距離為打 評析：此題屬開放型命題，處理此類問題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然 后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導出矛盾的就否定結(jié)論（反證法），導不 出矛盾的，就說明與條件相容，可采用演繹法進行推理，此題（1）屬于

32、反證法.310.平面a內(nèi)有一個半圓，直徑為AB,過A作SAL平面a,在半圓 上任取一點M,連SM、SB,且N、H分別是A在SM、SB上的射影.（1）求證：NH_LSB. (2)這個圖形中有多少個線面垂直關(guān)系？(3)這個圖形中有多少個直角三角形？(4)這個圖形中有多少對相互垂直的直線？ 解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間 想象力.解（1）連AM, BM. TAB為已知圓的直徑，如圖所示.，SAJ_平面 a , MBg a ,ASAI MB.VAMCISA=A,，BMJ_平面 SAM.TANu平面 SAM,，BMAN.,AN_LSM 于 N, BMCSM=M,.ANJ_

33、平面 SMB.AH_LSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影.NHSB.(2)由(1)知,SA_L平面 AMB, BM_L平面 SAM.AN_L平面 SMB.VSBAHHSBHN.，SBJ_ 平面 ANH.，圖中共有4個線面垂直關(guān)系SA_L平面AMB,ASAB、ASAM均為直角三角形.平面SAM, ABMA, ABMS均為直角三角形.,.，AN_L平面SMB.，AANS、AANM、AANH均為直角三角形.平面AHN. .I ASHA、ABHA、ASHN均為直角三角形綜上所述，圖中共有10個直角三角形.(4)由 SAJL平面 AMB 知：SAJLAM, SAJLAB, SA1BM；由 BM_L

34、平面 SAM 知:BM1AM, BMSM, BM1AN；由 AN_L平面 SMB 知：ANSM, ANSB, AN1NH；SB_L平面 AHN 知：SBAH, SB1HN；綜上所述，圖中有11對互相垂直的直線.如圖，在棱長為a的正方體AG中，M是CG的中點，點E在AD上，且AE=AD, F在AB上，且AF=Ub,求點B到平面MEF的距離. 33A F B解法一：設(shè)AC與BD交于0點，EF與AC交于R點，由于EFBD所以將 B點到面MEF的距離轉(zhuǎn)化為0點到面MEF的距離，面MRCJ_面MEF,而 MR是交線，所以作OH_LMR,即011_面乂尸，0H即為所求.VOH MR=OR MC,.0H=立

35、畫. 59解法二：考察三棱錐BMEF,由Vb mef=Vwbef可得h.點評求點面的距離一般有三種方法：利用垂直面；轉(zhuǎn)化為線面距離再用垂直面；當垂足位置不易確定時，可考慮利用體積法求距離.正方體ABCDABCD的棱長為a,求AC和平面ABC間的距離.解法1如圖所示，AC平面ABC 又平面BBDD平面ABC故若過。作OE_LOBi于E,則0E平面ABC, 0正為所求的距離由 OiE OBi = OB OOi,可得：。正=叵 3解法2：轉(zhuǎn)化為求G到平面AB的距離，也就是求三棱錐GABC的高 h.由 V“Ab1c = V a-mq 可得 h = 7 a.解法3因平面AB平面GDAi,它們間的距離即為

36、所求，連B,分 別交B。、DOi與F、G（圖中未畫出）。易證B垂直于上述兩個平面，故 FG長即為所求，易求得FG =叵.3 點評（1）求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉(zhuǎn)化為求點面之間的距離，有時也可轉(zhuǎn)化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離的思路.313.已知：a n 8 =CD, EA a , EB B ,求證：CDAB.證明,CDUaEBXpGDU0卜 證明,CDUaEBXpGDU0卜 CDJ-EA卜 CD_LEBrCD-L平面ABU平面EAriEB=E)314.求證：兩條平行線和同一條平面所成的角相等.所成已知：a/b, aCl a =Ab

37、bG B =B” Z 9 i Z 0 2分別是 a、b 與 a 的角.如圖，求證：Z 9 , = Z 92.所成證：在a、b上分別取點A、B.如圖，且AA尸BBi,連結(jié)AB和AB.VAA.BB,.四邊形AABB是平行四邊形.ABAB又 ABua ,AB/ a .設(shè) 設(shè)2_L a 于 A2, BB2 a 于 B2,則 AA2=BB2在 Rt AAA?與放網(wǎng)當中 AA2=BB2, AAi=BBi Rt AAA1A2絲Rt ABB1B2.,.zaa1a2=zbb1b2即 N 0 i = N 0 2.315.經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角兩 邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射

38、影是這個角的平分線所在的直 線.已知：NABCu a ,Pa , NPBA=NPBC, PQJ_ a , QG a ,如圖.求證：NQBA=NQBC證：PRJ_AB 于 R, PS_LBC 于 S.則：NPRB=NPSB=90 .；PB=PB. NPBR=NPBS.Rt APRBRt APSB，PR = PS點Q是點P在平面a上的射影.，QR=QSXVQR1AB, QSBC.NABQ=NCBQ316.如圖，E、F分別是正方體的面ADDA,面BCCB的中心，則四邊 形BFDF在該正方體的面上的射影可能是（要求:把可能的圖的 序號都填上）解四邊形BFDF在正方體的一對平行面上的投影圖形相同，在上、

39、 下底面上，E、F的射影在棱的中點，四邊形的投影圖形為，在左右側(cè) 面上，E、F的連線垂直側(cè)面，從而四邊形的投影圖形為，在前后側(cè)面 上四邊形投影圖形也為.故應(yīng)填.317.如圖，ABGABC是直三棱柱，3BCA=90 ,點D” F1分別是AB, AC的中點，若BC=CA=CC“則BD】與AR所成角的余弦值是() TOC o 1-5 h z A.畫 B. 1 C.叵 D.姮 1021510解 連DE,則DE_LAC,又BC_LCA,所以BD在平面ACCA內(nèi)的射影 為 CF” 設(shè) AC=2a,則 BC=CG = 2a.取 BC 的中點 E,連 EF” 則 EFB.cos 9 i = cosNEFC=嚀

40、，EF y/6a V6cos o 2 : COSNAFC= a +p2a = 3 , 2 75a 75a5cos 0 =cos 0 i , cos 0 2=，-=，應(yīng)選 A.V6 510.(1)如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的角都相等，且頂點S在底面的射影。在AABC內(nèi)，那么。是AABC的A.垂心B.重心A.垂心B.重心C.夕卜心D.內(nèi)心設(shè)P是AABC所在平面a外一點，若PA, PB, PC與平面a所成的角 都相等，那么P在平面a內(nèi)的射影是A ABC的（）A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心解（1）利用三垂線定理和三角形全等可證明。到AABC的三邊的距離 相等，因而。

41、是 ABC的內(nèi)心，因此選D.（2）如圖所示，作POJL平面a于0,連0A、OB、0C,那么NPAO、NPB0、 NPC0分別是PA、PB、PC與平面a所成的角，且已知它們都相等.，Rt PAORt A PBORt A PCO.OA = OB = OC/.應(yīng)選B.說明 三角形的內(nèi)心、外心、垂心、旁心、重心，它們的定義和性質(zhì)必 須掌握.已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC ，平面ABCD,且GC = 2,求點B到平面EFG的距離.解析：注意到直線BD平面EFG,根據(jù)直線和平面的距離在BO中點0 的距離等于B到平面EFG的距離.解 連結(jié)AC、BD,設(shè)交于0, TE, F

42、分別是AB、AD的中點.EF/7BD.BD平面 EFG,設(shè) EFAAC=M.則M為0A的中點.又 AB=4 /.AC=4V2 , M0=AC=VLMC=NaC=3上 44.GCJL平面 ABCD.GCJLCA, GCEF又 EF_LAC, GCAAC=C.，EF_L 平面 GCM.過 0 作 OHGM 于 H,則 OH_LEF.故OH_L平面EFG.在 Rt GCM 中，GM= 7gc2+cm2 =百+(3揚2 =后.X *.* OH GM. /. s i n ZGMC = = s i n Z HMO = = GMOM V2.0H=V2 4 =巫V2211AB點到平面GEF的距離為智說明 本題

43、解法甚多，學習兩面垂直及簡單幾何體后，可用兩面垂直的 性質(zhì)求解或者用“等體積法”求解.320.已知兩條異面直線a, b所成的角為0 ,它們的公垂線段AAi的長 度為d,在直線a、b上分別取點E、F,設(shè)AE=m, AF=n.求證：EF= m +n2 +d2 2mncosff解過A作a / a.VAA.la, .*.A1Aa,AAib, a Gb = A二AA垂直a、b所確定的平面a.,.aa，a、a能確定平面B ,在8內(nèi)作EHAA,交a于H.Va/a, ,.AiAME為平行四邊形.*.AiA=EH=d, AH=AiE=mVA.A1 a .EH a .VFHc a , AEHIFH.在 Rt A

44、FHE 中，EF= yeh2 + fh2 = yld2 + FH2Va/ a .,.a與b的夾角為0 .即 NHAF=。，此時 AH=m, AF=n.由余弦定理得FH2=m-+n2-2mncos（）EF yjm2 + n2 + d2 -2mncos0當F（或E）在A（或A）的另一側(cè)時，同理可得EF y/m2 +n2 +d2 -2mncos（-0） yjm2 +n2 +d +2mncos0 綜上所述，EF y/nr +n +d 2mncosO.如圖，ABCD和ABEF均為平行四邊形，M為對角線AC上的一點，N 為對角線FB上的一點，且有AM : FN=AC : BF,求證：MN平面CBE.解析：

45、欲證MN平面CBE,當然還是需要證明MN平行于平面CBE內(nèi)的 一條直線才行.題目上所給的是線段成比例的關(guān)系，因此本題必須通過 三角形相似，由比例關(guān)系的變通，才能達到“線線平行”到“線面平行” 的轉(zhuǎn)化.證：連AN并延長交BE的延長線于P.BE/AF, ABNPsAFNA.*FN_ AN則 FN ANNBNPFN + NB AN + NP即FN_ ANFBAP乂AM_ ACAM _ FNFNBFAC BFAMANACAPMN/7CP, CPu平面 CBE.，MN 平面 CBE.一直線分別平行于兩個相交平面，則這條直線與它們的交線平行.已知：a G B =a, 1 a , 1 8 .求證：la.解析

46、：由線面平行推出線線平行，再由線線平行推出線面平行，反復(fù)應(yīng) 用線面平行的判定和性質(zhì).證明：過1作平面交a于b. 1 a ,由性質(zhì)定理知lb.過1作平面交B于c. .口，由性質(zhì)定理知lc./. bc,顯然 cuB.，bB.又 bu a , a Pl B =a, ba.又 1 b.1 /7 a.評注：本題在證明過程中注意文字語言、符號語言，圖形語言的轉(zhuǎn)換和 使用.如圖，在正四棱錐SABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD 上，且 SP ： PC=1 ： 2, SQ ： SB = 2 ： 3, SR ： RD=2 ： 1.求證：SA平面 PQR.解析：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQ

47、R內(nèi)找一條直線 與AS平行即可.證：連AC、BD,設(shè)交于0,連S0,連RQ交SO于M,取SC中點N,連 0N,那么 ONSA.SQ _ SR _ 2而 SD 3，RQBD.總=2而辿=2SO 3 SN 3：JM_=SP_ ApM/0N SO SNVSA/70N. .1.SA/7PM, PMu平面 PQR，SA 平面 PQR.評析：利用平兒中的平行線截比例線段定理.三角形的中位線性質(zhì)等知識促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化.證明：過平面上一點而與這平面的一條平行線平行的直線，在這平面上.證明 如圖，設(shè)直線a 平面a ,點AW a,AW直線b,ba,欲證bua. 事實上，ba,可確定平面8, B

48、與a有公共點A,，a, B交于過A 的直線c, a,，ac,從而在B上有三條直線，其中b、c均過點 A且都與a平行.于是b、c重合，即bua. S是空間四邊形ABCD的對角線BD上任意一點，E、F分別在AD、CD上，且AE ： AD=CF ： CD, BE與AS相交于R, BF與SC相交于Q.求證:EFRQ.證 在 ADC 中，因 AE ： AD=CF ： CD,故 EFAC,而 ACu平面 ACS,故 EF平面ACS.而RQ=平面ACS n平面RQEF,故EFRQ （線面平行性質(zhì)定 理）. 已知正方體ABCDA B C D中，面對角線AB、BC上分 別有兩點E、F且B E=C F求證：EF平

49、面AC.M B解析：如圖，欲證EF平面AC,可證與平面AC內(nèi)的一條直線平行， 也可以證明EF所在平面與平面AC平行.證法1過E、F分別做AB、BC的垂線EM、FN交AB、BC于M、N,連接MNVBB/ J_平面 AC ，BB AB, BB, BC .*.EMAB, FNBC，EMFN, VAB/ =BC ， B E=C F ，AE=BF 又NB AB = NC BC=45Z.Rt AAMERt ABNF，EM = FN四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN 又 MNu平面 AC，EF平面AC證法2 過E作EGAB交BB于G,連GF.BE _ BG西 BBVB7 E=C F, B A=C B.竺=

50、四 .,.FGB Cz BC CB BB又: EGDFG=G, ABDBC=BI.平面EFG 平面AC又EFu平面EFG.EF平面 AC327.如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形，求證：(l)AB平面EFGH； (2)CD平面EFGH證明：二EFGH為平行四邊形，EFHG,THGu平面 ABD,.EF平面 ABD.，EFu平面ABC,平面ABDD平面ABC=AB./. EF AB, I. AB 平面 EFGH.(2)同理可證：CDEH, .CD平面 EFGH.評析：由線線平行=線面平行n線線平行.328.求證：如果兩條平行線中的一條和一個平面相交，那么另一條也和

51、 這個平面相交.已知：a/b, a A a =A,求證：b和a相交.證明：假設(shè)bu a或b a .若 bua, ,.，ba, .1.a/ a .這與aD a =A矛盾，bu a不成立.若b a ,設(shè)過a、b的平面與a交于c.,.,b a ,.bc，又 ab .t.a/c.,.a/ a這與aG a =A矛盾.，b a不成立.，b與a相交.329.求證：如果兩個相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中的一條，那么它 們的交線和這條直線平行.已知：ab, aua, bu B , a C B =c.求證：caba 宙證：bC BaBa 宙證：bC BaB=aU a a A g =cac： = ab= cab33

52、0.在F列命題中，真命題是（）A.若直線m、n都平行平面a ,則mn;B.設(shè)a1B是直二面角，若直線m_Ll,則m_Ln, m_L B ；C.若直線m、n在平面a內(nèi)的射影是一個點和一條直線，且m_Ln,則n 在a內(nèi)或n與a平行；D.設(shè)m、n是異面直線，若m和平面a平行，則n與a相交.解析：對于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒有傳遞性故 A不正確；平面與平面垂直可得出線面垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂 直于交線，而B中m不一定在a內(nèi)，故不正確；對D來說存在平面同時 和兩異面直線平行，故不正確；應(yīng)選C.331.設(shè)a、b是兩條異面直線，在下列命題中正確的是（）A.有且僅有一條直線與a、b都垂

53、直B.有一平面與a、b都垂直C.過直線a有且僅有一平面與b平行D.過空間中任一點必可作一條直線與a、b都相交解析：因為與異面直線a、b的公垂線平行的直線有無數(shù)條，所以A不 對；若有平面與a、b都垂直，則ab不可能，所以B不對.若空間的 一點與直線a（或b）確定的平面與另一條直線b （或a）平行，則過點與a 相交的直線必在這個平面內(nèi)，它不可能再與另一條直線相交，所以D不 對，故選C.三個平面兩兩相交得三條交線，若有兩條相交，則第三條必過交 點；若有兩條平行，則第三條必與之平行.已知：a C B =a, a Cl z =b, /Da =c.求證：要么a、b c三線共點，要么abc.證明：如圖一，設(shè)

54、aGb=A,ac a 而 AG a.AAe a .又 B G / =b.buy,而 A G b.則人。，Aez,那么A在a、7的交線c上.從而a、b、c三線共點.如圖二，若2)3,顯然Cuy, buya/y而 au a , an y =c.a/ c從而abc一根長為a的木梁，它的兩端懸掛在兩條互相平行的，長度都為b 的繩索下，木梁處于水平位置，如果把木梁繞通過它的中點的鉛垂軸轉(zhuǎn) 動一個角度6,那么木梁升高多少？MNMN解析：設(shè)M、N為懸掛點，AB為木梁的初始位置，那么AB=a, MANB, MA=NB=b, NA=NB=90 .設(shè)S為中點，L為過S的鉛垂軸，那么Lu平面MANB,木梁繞L轉(zhuǎn)動角

55、 度6后位于CD位置，T為CD中點，那么木梁上升的高度為異面直線AB 與CD之間的距離ST.在平面MANB中，作TKAB,交MA于K,則AK=ST.設(shè) ST=x,則 x=b-KM.又 KT=CT = j NKTC= 6 ,有 KC=asin. 22從而 KM= b2-a2 sin2 .X b-J/?2 -a2 sin2 (.(1)棱柱成為直棱柱的一必要但不充分的條件是：()A.棱柱有一條側(cè)棱與底面垂直B.棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直C.棱柱有兩個相鄰的側(cè)面互相垂直D.棱柱有一個側(cè)面與底面的一條邊垂直 解析：根據(jù)直棱柱定義，A是充分條件，C、D不是必要條件，所以選B.說明解答此題要熟知直棱柱

56、的定義及其充分必要條件的含義.335.長方體的一條對角線與一個頂點上的三條棱所成的角分別為、B、Y .求證：cos- a +cos2 3 +cos2 Y = 1解析：證明三角恒等式，可用從左邊推出右邊的方法.證明：設(shè)對角線BJ)與長方體的棱AD、DC、D山所成的角分別為a、B、Y ,連結(jié)AB1、CB), DB,則ABDA、AB,DC A都是直角三角形. TOC o 1-5 h z , ,eg a = res R - DCDDtC。、u f COS N , C。、X DBDB、DB2.2 n .2DA2 + DC2 + DD7 cos a +cos p +cos Y =；L = 1.DB；評析：

57、這里運用了長方體對角線長定理.336. 在三棱柱 ABC-AB& 中，已知 AB=AC = 10cm, BC= 12cm,頂點兒 與A、B、C的距離等于13cm,求這棱柱的全面積.解析：如圖，作 AQ_L平面 ABC 于 0, VA1A=A1B=A1C, .0A=0B=0C,是 A ABC 的夕卜心，.ABC 等腰，.AOLBC 于 D, .AAi_LBC, AB.B BC,四邊形BBCCi為矩形，S矩形=1213=156(cm2), (AAB底邊上高 AIE = J132 52 = 12, s.ABB = SAACC = 120(cm2), Saabc= SA?tBC =- -12 -8 r

58、uZlUUiZiaZ1 W |=48(cm?), S 全=156+2 . i20+2X48 = 492(cm2)337.在平行六面體中，一個頂點上三條棱長分別是a, b,c,這三條棱 長分別是a, b, c,這三條棱中每兩條成60角，求平行六面體積.解析：如圖，設(shè)過A點的三條棱AB, AD, AAi的長分別是a,b, c,且兩面所成角是60 ,過A作AH_L平面ABCD, H為垂足，連HA,則NHAB=30 ,由課本題得：cosNAiAB = cosNAiAH , cosZHAB,cos NAAH = cosZA|Afi =%對=3,sinNAAH =旦cos Z.HAB cos300 33.

59、，.V=Sabcd , AiH=absin60 c sinZAiAH= abc. 2338.在棱長為a的正三棱柱ABCABG中，0、Ch分別為兩底中心，P 為00i的中點，過P、Bi、G作一平面與此三棱柱相截，求此截面面積.B.解析：如圖，AAiJ_面ABG, AA析00“設(shè)過P、B1、G的截面與AA】 的延長線交于Q,連結(jié)AQ延長交BC于D,連QD,則P必在QD上，;Oi為AABG的中心，P為00i的中點，故絲=也=二，Q在&A延 QA 0A 3長線上且QA = PO”又QBi交AB于E, QG交AC于F,則EFBC,所以 截面為EFBC是等腰梯形，又QAi ： QA=3 ： 1, .EF=

60、q 設(shè)QD與EF交3于H,得QD_LBC.因此HD為梯形EFCB的高.DQ=7汴而 = Wa,.3苧a.s叫安叫）.（苧a）=a?為所求截面積.339.如圖，已知正三棱柱ABCABG的各棱長都為a, D為CG的中點.（1）求證：AE_L平面ABD （2）求平面A.BD與平面ABC所成二面角的度數(shù).解析：這雖是一個棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都 還是要利用直線和平面中的有關(guān)知識.解（1）：正三棱柱的各棱長都相等, 二.側(cè)面ABBA是正方形.ABCD AAiC.D,.BD=AD 而E為AB的中點,AiB_LDE. .AiB_L 平面 ABD延長A,D與AC的延長線交于S,連BS,則