中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專(zhuān)題：平行四邊形與面積的不解之緣

1、平行四邊形與面積的不解之緣 平行四邊形作為一類(lèi)特殊的四邊形在平面幾何中占據(jù)著舉足輕重的地位，人們爛熟、并善用其邊、角、對(duì)角線的各種性質(zhì)，殊不知平行四邊形與面積也有著十分親密的聯(lián)系，下面就隨筆者去欣賞一番. 一、平行四邊形的一條對(duì)角線把平行四邊形分為兩個(gè)面積相等的三角形 例1 如圖1, 中，過(guò)對(duì)角線上一點(diǎn)作/, /.圖中哪兩個(gè)平行四邊形面積相等?為什么?簡(jiǎn)析 由結(jié)論知，, 同理可得. 即圖中共有三對(duì)面積相等的平行四邊形，它們分別為與、與、與面積相等. 二、平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分為四個(gè)面積相等的三角形. 例2 (2014年第二十五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一第一試)如圖2，平行四邊

2、形的面積是4,和分別是和的中點(diǎn).與交于點(diǎn)與交于點(diǎn).則四邊形的面積是 . 簡(jiǎn)析 如圖2，連接，易證四邊形和四邊形均為平行四邊形，則由結(jié)論得所以四邊形的面積. 三、連接平行四邊形邊上一點(diǎn)與其對(duì)邊的兩頂點(diǎn), 把平行四邊形分為三個(gè)三角形.則兩邊的兩個(gè)三角形面積之和等于中間的一個(gè)三角形的面積, 均等于平行四邊形面積的一半.即如圖3有:. 證明非常簡(jiǎn)單，這里從略. 例3 (2011年第二十二屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一第2試)如圖4,都是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上. 的面積依次記為，則( ). A. B. C. D. 與大小關(guān)系不確定. 簡(jiǎn)析 由結(jié)論知.根據(jù)等底等高的三角形面積相等可知，故選

3、C. 四、平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)連接，把平行四邊形分為四個(gè)三角形，相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積和相等且等于平行四邊形面積的一半.即如圖5中有:成立.證明比較簡(jiǎn)單.這里從略.例4 如圖6,以的三邊為一邊，在的同側(cè)分別作,，且點(diǎn)共線，點(diǎn)共線.求證:. 證明 如圖6,連接、，由結(jié)論三可得:,.根據(jù)結(jié)論四 得,所以，即.證畢. 五、連接平行四邊形一條對(duì)角線上所在的直線上一點(diǎn)與另一對(duì)角線的兩端點(diǎn)，兩條連線、對(duì)角線所在直線、兩組臨邊所構(gòu)成的兩組三角形面積分別相等.即如圖7中，點(diǎn)是的對(duì)角線所在的直線上一點(diǎn)，則.結(jié)論根據(jù)同底等高的三角形面積相等可證，具體證明過(guò)程從略.例5 (2014年第二十五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一第1試)如圖8，點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且,是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若平行四邊形的面積是20，則的面積是 ，的面積是 . 簡(jiǎn)析 由結(jié)論一知的面積是平行四邊形的面積的一半為10.因?yàn)?，再根?jù)同高三角形的面積比等于底邊的比，則得的面積是5.如圖8連接，由結(jié)論五知的面積是5，此時(shí)只需求出線段與的比即可解決問(wèn)題.如圖8過(guò)點(diǎn)作/交于點(diǎn)，從而可知是的中位線，所以，又已知，從而得.再由/得，又，所以，所以的面積=的面積=.以上筆者給出五個(gè)平行性四邊形與面積有關(guān)的結(jié)論及