基于新型流形法的三維應力強度因子求解-第1篇

1、 基于新型流形法的三維應力強度因子求解 祁勇峰 蘇海東 龔亞琦摘 要：為保證在裂紋尖端具有最佳的逼近，裂紋尖端的解析解與其周邊數(shù)值解聯(lián)合應用的新型流形法可用來求解應力強度因子，但僅限于平面問題的型和型裂紋。沿用解析解與數(shù)值解聯(lián)合應用的思路，以三維穿透直裂紋為研究對象，在裂紋尖端引入Williams解析解級數(shù)，應用解析覆蓋與周邊數(shù)值覆蓋聯(lián)合求解三維應力強度因子，相對于其他數(shù)值方法而言，計算精度高。推導相應的剛度矩陣和應變矩陣的表達式，通過典型算例驗證了三維應力強度因子精確求解方法的有效性。Key：三維應力強度因子;數(shù)值流形方法;裂紋尖端Williams解析級數(shù);解析覆蓋;數(shù)值覆蓋Abstract

2、： This paper proposes a new manifold method combined with the analytical solutions of the crack tip and its surrounding numerical solutions is used to solve the stress intensity factor to ensure the best approximation at the crack tip. But this method is limited to type I and type II cracks in the p

3、lane problem. This method follows the idea of combined application of analytical and numerical solutions. Taking the three-dimensional penetrating straight crack as the research object， the Williams analytical solution series is introduced at the crack tip， and the analytical covers and the surround

4、ing numerical covers are combined to solve the 3D stress intensity factor. Compared with other numerical methods， this method has higher computational precision. Meanwhile， the corresponding formulas of the stiffness matrix and the strain matrix have been deduced，and typical numerical examples shows

5、 the validity of the method in solving the exact solution of the 3D stress intensity factor.Keywords： 3D stress intensity factor; numerical manifold method; Williams series for crack tip; analytical covers; numerical covers應力強度因子準則1是目前最常用的結構裂縫擴展準則之一，基于線彈性斷裂力學的應力強度因子（Stress Intensity Factor，簡稱SIF）是用來

6、表征裂紋尖端附近應力場和應變場強度，是控制裂紋尖端應力場和應變場強度的關鍵參數(shù)，在裂紋擴展分析中有著極其重要的地位。由于應力強度因子取決于外力的大小和分布、結構的幾何條件以及裂縫的形狀和位置，實際上只有少數(shù)問題存在解析解，對于復雜幾何形狀和加載條件的問題，只能通過數(shù)值方法來計算。目前裂縫擴展分析的主流數(shù)值計算方法有有限元法、擴展有限元法、數(shù)值流形法等。有限元法2-4是目前分析裂縫等不連續(xù)問題的主要方法，為體現(xiàn)裂紋尖端（下簡稱裂尖）周圍的應力集中和奇異性，往往需要在裂尖附近的復雜應力區(qū)布置高密度的單元網(wǎng)格，導致單元數(shù)目非常龐大;另外，在模擬裂縫擴展過程時，需不斷重構網(wǎng)格，因此，有限元法對網(wǎng)格的要

7、求和依賴性極大地影響了計算效率。擴展有限元法5-7通過在單元插值函數(shù)中引入能夠反映裂縫面特性的不連續(xù)階躍函數(shù)及反映裂尖局部特性的裂尖漸進位移場函數(shù)，裂縫可以穿過單元內(nèi)部，裂縫擴展以后無需重新劃分單元網(wǎng)格，采用同一網(wǎng)格就可以分析任意位置的裂縫問題，克服了常規(guī)有限元進行裂縫擴展分析的缺點，極大地簡化了前處理工作。數(shù)值流形方法8-11引入不連續(xù)覆蓋模擬裂縫，裂縫可以在網(wǎng)格內(nèi)部穿過，巧妙地解決了常規(guī)有限元法裂縫面必須與單元邊一致、裂縫擴展后需要重新劃分網(wǎng)格的問題。相對于擴展有限元法設立不連續(xù)階躍函數(shù)的方式而言，這種方式效果更好，在裂縫非?？拷鼏卧吔鐣r不會產(chǎn)生后者容易出現(xiàn)的數(shù)值誤差。但無論是常規(guī)有限元

8、法在裂尖布置細密網(wǎng)格的方式，還是擴展有限元法引入裂尖漸近位移場的方式，其主要目的都是為了提高裂尖附近的求解精度，從而提高應力強度因子的計算精度，這些方法都有改進的余地。即使是目前認為最適合于裂縫擴展分析的擴展有限元法，由于其只是使用了裂尖漸近位移場的部分特征函數(shù)，嚴格地說，還不能構成對裂尖位移場的最佳逼近。文獻12提出的新型數(shù)值流形方法，實現(xiàn)了裂紋尖端的解析解與其周邊數(shù)值解聯(lián)合應用以求解應力強度因子，能夠采用裂尖真實位移場的最佳逼近，并直接得到應力強度因子，計算精度高，但僅限于平面問題的型和型裂紋。在上述研究的基礎上，沿用解析解與數(shù)值解聯(lián)合應用的思路，在裂紋尖端直接引入Williams解析解作

9、為數(shù)學覆蓋，應用裂紋尖端的解析解與周邊數(shù)值解的三維流形覆蓋聯(lián)系技術，可直接得出裂紋尖端的三維應力強度因子，精度高且計算收斂快。隨著覆蓋函數(shù)階數(shù)的增加，三維應力強度因子計算值基本接近理論值。Williams級數(shù)的階數(shù)以及周邊數(shù)值覆蓋階數(shù)對計算值有較大影響。1）Williams級數(shù)的階數(shù)（m）影響最大。當m3，則KI與理論值相差較大;當m4時，KI接近理論值。2）周邊數(shù)值覆蓋階數(shù)升高有利于提高解的精度。當周邊數(shù)值解取1階時，KI的計算值普遍小于取2階的情況，當m4時，KI與理論值接近，但仍有差距，僅當m取為7時才達到1.42，與理論值1.45最為接近。而當周邊數(shù)值覆蓋取2階，m7時，計算值與理論值

10、基本一致。前期平面問題研究表明，在大的覆蓋中單純依靠提高覆蓋函數(shù)階次的方法往往會帶來計算結果的振蕩跳躍。反之，如果采用較小的覆蓋而用相對簡單的低階多項式，則可以更好地逼近實際復雜的分布情況。表2的計算結果也說明，三維問題中，基于大覆蓋，僅僅采用提高級數(shù)解及相鄰覆蓋函數(shù)的階數(shù)的做法來提高計算精度，計算也表現(xiàn)出一定的不穩(wěn)定性，要取得滿意的計算精度，裂紋尖端及其周邊的覆蓋函數(shù)的階數(shù)不小于7階。考慮到裂紋所在的獨立覆蓋區(qū)域較大，因此，將裂紋所在的獨立覆蓋進行局部加密，將裂紋尖端覆蓋分別加密1倍及2倍，采用局部覆蓋加密技術16，重新計算應力強度因子，如表2所示。表2結果表明，當裂紋尖端獨立覆蓋加密1倍后

11、、Williams級數(shù)的階數(shù)4或當裂紋尖端獨立覆蓋加密2倍后，Williams級數(shù)的階數(shù)3時，KI與理論解十分接近，且隨著Williams級數(shù)階數(shù)的提高，計算結果趨于穩(wěn)定。4.2 兩端受剪切荷載作用考慮三維荷載作用下的算例。如圖5所示，無限長柱沿z方向施加均布荷載Q=100 kN/m2，裂紋長度a=0.02 m，柱體尺寸以及材料參數(shù)同上，其應力強度因子理論值為KIII=Qc15，其中c=aw。KIII的理論值為2.51。流形元網(wǎng)格如圖6所示，共劃分18個獨立覆蓋（方塊區(qū)域）和25個部分重疊覆蓋（窄條區(qū)域），每個獨立覆蓋的大小基本相同。裂紋所在的獨立覆蓋區(qū)域大小為0.2 m0.2 m1 m（長寬

12、厚），柱體底面施加法向約束。應力強度因子的計算結果見表3。表3計算結果表明：采用圖6所示計算網(wǎng)格，當m7時，周邊數(shù)值覆蓋階數(shù)取2、3的多項式階數(shù)時，計算結果與理論值比較符合。當m7，計算結果與理論值有一定差別，局部數(shù)值出現(xiàn)跳躍，表明裂紋附近的網(wǎng)格還沒有達到足夠的密度。當網(wǎng)格加密一倍后，周邊數(shù)值覆蓋階數(shù)均取2階，當m7時，計算值與理論值十分接近，且隨著階數(shù)的提高，計算結果趨于穩(wěn)定。以上算例驗證了三維裂縫計算公式和程序的正確性，表明裂紋尖端解析解覆蓋和周邊數(shù)值解覆蓋聯(lián)合應用求解三維線彈性斷裂力學問題可行。與常規(guī)有限元方法相比，無需在裂紋尖端布置細密的網(wǎng)格，計算精度高，收斂相對較快。裂紋尖端獨立覆蓋

13、的密度、解析覆蓋的級數(shù)以及相鄰數(shù)值覆蓋的階數(shù)是影響應力強度因子計算精度的重要因素，但在保證獨立覆蓋有一定密度的情況下，提高與獨立覆蓋相鄰數(shù)值覆蓋的階數(shù)可以得到應力強度因子的精確解。裂紋尖端獨立覆蓋的合理布置對應力強度因子的計算精度及穩(wěn)定性有一定的影響，因此，下一步要重點研究裂紋尖端附近的覆蓋自動布置及密度問題，以保證方法的收斂性，便于開展三維裂縫擴展的動態(tài)模擬研究。5 結論將裂紋尖端解析解覆蓋和周邊數(shù)值解覆蓋聯(lián)合應用，分析三維線彈性斷裂力學問題，得到以下主要結論：1）在包含裂紋尖端的解析覆蓋中，應用裂紋尖端附近的Williams位移解析解作為覆蓋函數(shù)，并采用高階多項式三維覆蓋函數(shù)與解析覆蓋的條

14、形連接技術，實現(xiàn)了在解析覆蓋中直接求得裂紋尖端的三維應力強度因子。2）典型的張開型和撕開型的裂紋算例表明，應力強度因子的計算精度較高。鑒于三維裂縫擴展問題的復雜性，裂紋尖端周邊數(shù)值覆蓋階數(shù)以及獨立覆蓋網(wǎng)格密度對應力強度因子計算精度的影響較二維問題更大。因此，協(xié)調獨立覆蓋密度、階數(shù)與周邊三維數(shù)值覆蓋階數(shù)的關系，來保證高精度求解收斂性的快速、穩(wěn)定是下一步研究的重點?？紤]到解析級數(shù)是裂尖附近真實位移場的最佳逼近，相比其他方法而言，可以認為該方法在應力強度因子求解方面逼近效果更好、收斂更快，同時，由于網(wǎng)格布置根據(jù)不同區(qū)域的精度要求，只在裂尖附近進行覆蓋加密，因此，相比采用均勻網(wǎng)格的擴展有限元而言，計算

15、效率將有所提高，可以實現(xiàn)大規(guī)模計算。另外，應力強度因子SIF本身就是裂尖解析級數(shù)的未知數(shù)，在求解系統(tǒng)方程組時一并得到，而不需要像其它方法那樣通過所謂的“直接”法或“間接”法來推求，不僅方便，而且不會引入額外誤差，這也是該方法的優(yōu)勢所在。該方法可以同時求解型、型、型（撕開型）裂紋的應力強度因子，應用復合型裂紋擴展準則就可以判斷其是否繼續(xù)開裂，因此，該方法在三維裂縫擴展的動態(tài)模擬方面極具應用前景。Reference：1 PEREZ N. Linear-elastic fracture mechanics M Fracture Mechanics. Cham： Springer Internatio

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