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文檔簡介

1、橢球面面積的近似計算專題摘要：利用曲面面積計算公式和函數(shù)幕級數(shù)展開的麥克勞林公式，給出橢球面表面積的 近似計算公式。我們知道半徑為R的球的表面積為4兀R2,但橢球的表面積如果通過曲面面積計算公式來計算，其積分為第二類橢圓積分，不能通過重積分方法計算出表面積值。下面給出近似計 算公式。設(shè)橢球面方程為（1） TOC o 1-5 h z x 2y 2z 2（1）+ + = 1, c b a， a 2b 2c 2由對稱性我們只需求出第一卦限部分的表面積再乘8即可。由曲面面積計算公式40出&7（2）S = jj 1 + G7)2 + G7)2dxdy，ddxay（2）其中 D = (x, y其中 D =

2、 (x, y):x2y2a2b21:1一。于是dz =ca 2xdx1x 2.1 -一，y2a 2b 2c空=-b 2 y8y： x 2 y 2 a 2 b 2所以 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document x 2y 2C 2c 21 -+ x 2 + y 2, a 2b 2a 4b 4x 2y 2a 2b 2兀設(shè)x = ra cos 0, y = rb sin 0, 0 r 1, 0 。號，則上述廣義極坐標(biāo)變換的Jacobi行列 式為J = abrcos? 0sin 2 0r Qz、雙、，1 - r 2 + c 2 r 2(

3、-0二 + bT) 1 + ()2 + ()2 = |abdxdy1 - r 2.1 - r2 + (b)2 r2(1 - ecos2 0 )11 - r 2b2其中e = 1 一 -。從而正1S = 8正1S = 8j11 + r 2v1 r 20 02(1 - e cos2 0) - 1abrdrdQ（3）由于有冪級數(shù)展式1.1 - 3v 1 + X = 1 + X X2 + X3 X G 1, 1,2 - 42 - 4 - 6所以當(dāng)X很小時有(4)因?yàn)? e 1,所以0 ecos20 1(0 0 K )，因此21 r2()2(1 ecos20 ) 1 rr 31 c-二 8abj j+ _(_)2(1 ecos2 0) 1dr d0 v1 r 2v1 r 2 2 b0工=8ab j1 + 1(C )2(1 e cos2 0) 1d03 b0jZ + 上(C )2 (C )2 e (C )2 e cos 20 H03 3 b 6 b 6 b01 c 2 11=8ab，-+e(云

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