2022屆江西省宜春高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為（ ）AB16CD2用一個平面去截正方體，則截面不可能是（ ）A正三角形B正方形C正五邊形D正六邊形3設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD4已知，則

2、的大小關(guān)系為ABCD5已知函數(shù)f(x),若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A B C D 6已知m為實(shí)數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（ ）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件7函數(shù)的定義域?yàn)椋?）ABCD8若，則的值為（ ）ABCD9一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海里10對于定義在上的函數(shù)，若下列說法中有且僅有一個是

3、錯誤的，則錯誤的一個是（ ）A在上是減函數(shù)B在上是增函數(shù)C不是函數(shù)的最小值D對于，都有11的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A-40B-20C20D4012在中，則=（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_.14若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則實(shí)數(shù)的值為_.15函數(shù)的最小正周期是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_.16已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 為焦點(diǎn)，且 過 C, D 兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求

4、數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18（12分）在中，角，的對邊分別為， 且的面積為.(1)求；(2)求的周長 .19（12分）設(shè)橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).()若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形的面積;()若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;()在()的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.20（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，M、N分別為、的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.21（12分）設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)，求不等式的解集；（2）已知，的最小值為1，求證：.22（10分）在如圖所示的幾何

5、體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB =2BC，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).（1）求證：AC/平面DQF；（2）若ABC=60，ACFB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，由此求得點(diǎn)的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，設(shè)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡得，由于點(diǎn)在第

6、一象限內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.2C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論3A【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長公式求解即可【詳解】復(fù)數(shù)，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4D【解析】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)

7、整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，即，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確5D【解析】由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：yf(x)的圖象和直線ykx有4個交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線ykx的下方，即可求得：k；再求得直線ykx和yln x相切

8、時，k；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)kx恰有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則yf(x)的圖象和直線ykx有4個交點(diǎn)作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線ykx的下方k10，解得k.當(dāng)直線ykx和yln x相切時，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k，m.此時，k，f(x)的圖象和直線ykx有3個交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題6A【解析】根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】當(dāng)m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y1=0

9、，l2：x+y2=0滿足l1l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時，兩直線方程分別為y1=0，和2x2=0，不滿足條件當(dāng)m0時，則l1l2，由得m23m+2=0得m=1或m=2，由得m2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.7C【解析】函數(shù)的定義域應(yīng)滿足 故選C.8A【解析】取，得到，取，則，計算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點(diǎn)睛】

10、本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.9A【解析】先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：BAC704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得，即，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.10B【解析】根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可【詳解】由得關(guān)于對稱，若關(guān)于對稱，則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數(shù)，在在上是增函

11、數(shù)，則為函數(shù)的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件故錯誤的是，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵11D【解析】令x=1得a=1.故原式=的通項(xiàng)，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40，故所求的常數(shù)項(xiàng)為40 ，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項(xiàng)=-40+80=4012B【解析】在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案【詳解】如

12、下圖，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B. 【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。130.4【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性，即得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.143【解析】依題意可得二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為即可得到方程，解得即可；【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)的計算，屬于

13、基礎(chǔ)題.15 ， 【解析】化簡函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可【詳解】函數(shù)，最小正周期，令，可得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題162【解析】根據(jù)為焦點(diǎn)，得；又求得，從而得到離心率.【詳解】為焦點(diǎn) 在雙曲線上，則又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）【解析】（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1），當(dāng)時，當(dāng)時，得

14、：，適合，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.18（1）（2）【解析】（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2），所以，又，且 ，的周長為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，也考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19 () ；()證明見解析；()不能，證明見解析【解析】()計算得到故，計算得到面積.() 設(shè)為，聯(lián)立方程得到，計算，同理，根據(jù)得到，得到證明.() 設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)差法得到，同理，故，得到結(jié)論.【詳解】()，故，

15、.故四邊形的面積為.()設(shè)為，則，故，設(shè)，故，同理可得，故，即，故.()設(shè)中點(diǎn)為，則，相減得到，即，同理可得：的中點(diǎn)，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形狀，根據(jù)四邊形形狀求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取 中點(diǎn)，連接，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積【詳解】解：（1）證明：取中點(diǎn)D，連接，.因?yàn)?，所以且，因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，所以；（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，由于，所以所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題21（1）或；（2）證明見解析【解析】（1）將化簡，分類討論即可；（2）由（1）得，展開后再利用基本不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題，考查學(xué)生基本的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.22（1）見解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過證明，