2022屆湖南省邵陽市洞口、隆回、武岡高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（ ）ABCD2拋物線的焦點為，點是上一點，則（ ）ABCD3若是第二象限角且sin =，則=ABCD4我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的

2、變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“ ”如圖就是一重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（ ）ABCD5已知命題：任意，都有；命題：，則有則下列命題為真命題的是（）ABCD6馬林梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（ ）A3B4C5D67在正方體中，點，分別為棱，的中點，給出下列命題：；平面；和成

3、角為.正確命題的個數(shù)是（ ）A0B1C2D38一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（ ）mA1BCD29在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（ ）ABCD10定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx2x-1ABCD11已知復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（ ）ABCD12一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13我國古代數(shù)學名著九章算術對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四

4、個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為_14數(shù)列的前項和為 ，則數(shù)列的前項和_15在中，角的平分線交于，則面積的最大值為_16（5分）已知橢圓方程為，過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則面積的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（）設為數(shù)列的前項的和，求證：.18（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關于的方程的兩根分別為，求證：.19（12分）2019年

5、是中華人民共和國成立70周年為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（1）現(xiàn)從年齡在，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為當最大時，求的值20（12分）設函數(shù).（）討論函數(shù)的單調性；（）如果對所有的0，都有，求的最小值；（）已知數(shù)列中，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.21（12分）某市調硏機構對該市工薪階層對

6、“樓市限購令”態(tài)度進行調查，抽調了50名市民，他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521（1）若所抽調的50名市民中，收入在的有15名，求，的值，并完成頻率分布直方圖（2）若從收入（單位：百元）在的被調查者中隨機選取2人進行追蹤調查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數(shù)學期望（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結果22（10分）在直角坐標系中，點的坐標為

7、，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結果.【詳解】已知，則，所以有， ，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運用對應方法求

8、解.2B【解析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3B【解析】由是第二象限角且sin =知：，所以4C【解析】利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的

9、方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.5B【解析】先分別判斷命題真假，再由復合命題的真假性，即可得出結論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則 不成立.則，均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.6C【解析】模擬程序的運行即可求出答案【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p1，S1，輸出S的值為1，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p3，S7，輸出S的值為7，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p5，S31，輸出S的值為31，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p7，S127，輸出S的值為127，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p9，S511，輸出S的值為511，此時

10、，不滿足條件p7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題7C【解析】建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，.，所以，故正確.，不存在實數(shù)使，故不成立，故錯誤.，故平面不成立，故錯誤.，設和成角為，則，由于，所以，故正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.8C【解析】由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即得解

11、【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得所以物體在間的運動路程是故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應用，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9A【解析】根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎題.10D【解析】根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5

12、【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關于f1.52故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關于1,0中心對稱是解題的關鍵.11A【解析】對復數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數(shù).【詳解】 因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.12B【解析】由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，故選：B【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】三視圖

13、還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，填?！军c睛】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。14【解析】解： 兩式作差，得 ，經過檢驗得出數(shù)列的通項公式，進而求得 的通項公式， 裂項相消求和即可【詳解】解：兩式作差，得 化簡得 ，檢驗：當n=1時， ，所以數(shù)列 是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列； ，令 故填： 【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側重考查運算能力1515【解析】

14、由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，由角平分線定理得,設，則由余弦定理得：即當且僅當，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.16【解析】由題意，則，得由題意可設的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，恒成立，則，點到直線的距離為，則，又，則，當且僅當即時取等號故面積的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）， （）見解析【解析】（）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.（），根據(jù)裂項求和法計算得到

15、得到證明.【詳解】（）等差數(shù)列的公差為，由，得，即，解得，.，.（），即.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計算，裂項求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.18（1）見解析； （2）見解析【解析】（1）對函數(shù)求導，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調區(qū)間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構造新函數(shù)利用函數(shù)單調性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調遞增，此時函數(shù)既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當時，單調遞增；當時，單調遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當時，單調遞增；當時，單調遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；（2）依題意，

16、則，故，；要證：，即證，即證：，即證，設，只需證：，設，則，故在上單調遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數(shù)極值及利用導數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉化為證明一元不等式，再轉化為函數(shù)最值問題.利用導數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù) 的單調性或最值，證明.19（1）分布列見解析,（1）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總人數(shù)，結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學期望公式即可求得其數(shù)學期望.（1）先求得年齡在內

17、的頻率，視為概率.結合二項分布的性質，表示出，令，化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值【詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人，年齡在內的人數(shù)為人年齡在內的人數(shù)為人所以的可能取值為0，1，1所以，所以的分市列為011 （1）設在抽取的10名市民中，年齡在內的人數(shù)為，服從二項分布由頻率分布直方圖可知，年齡在內的頻率為，所以，所以設，若，則，；若，則，所以當時，最大，即當最大時，【點睛】本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學期望的求法，二項分布的綜合應用，屬于中檔題.20（）函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增；（）；（）證明見解析【解析】（）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過解關于導數(shù)的

18、不等式，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；（）設g（x）f（x）ax，先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出a的最小值；（）先求出數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，問題轉化為證明：，通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可【詳解】解：（） f（x）的定義域為（1，+），當時，f（x）2，當時，f（x）2，所以函數(shù)f（x）在上單調遞減，在單調遞增（）設，則，因為x2，故，（）當a1時，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）單調遞減，而g（2）2，所以對所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）當1a1時，21a1，若，則g（x）2，g（x）單調遞增，而g（2）2，所以當時

19、，g（x）2，即f（x）ax；（）當a1時，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）單調遞增，而g（2）2，所以對所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；綜上，a的最小值為1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，由（）知a1時，x2，即，x2法一：令，得，即因為，所以，故法二：下面用數(shù)學歸納法證明（1）當n1時，令x1代入，即得，不等式成立（1）假設nk（kN*，k1）時，不等式成立，即，則nk+1時，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式對任何nN*都成立故考點：1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；1、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值； 3、數(shù)列的通項公式；4、數(shù)列的前