非常全面的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)材料

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)大綱第一章 隨機(jī)事件與概率基本概念隨機(jī)試驗(yàn)E-指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性（每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，且事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果。樣本點(diǎn)w -隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果樣本空間W-隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體隨機(jī)事件-由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集。必然事件-每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。 不可能事件-每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件。事件之間的關(guān)系包含AB相等A=B對(duì)立事件，也稱A的逆事件互斥事件AB=也稱不相容事件A，B相互獨(dú)立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互為

2、對(duì)立事件等價(jià)于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互獨(dú)立 C、AB D、A，B構(gòu)成對(duì)樣本空間的一個(gè)剖分例2設(shè)P(A)=0，B為任一事件，則（ C ）A、A= B、AB C、A與B相互獨(dú)立 D、A與B互不相容事件之間的運(yùn)算事件的交AB或AB例1設(shè)事件A、B滿足A eq o(B,) =，由此推導(dǎo)不出 (D)A、AB B、 eq o(A,) eq o(B,) C、AB=B D、AB=B例2若事件B與A滿足 B A=B，則一定有 (B)A、A= B、AB= C、A eq o(B,) = D、B= eq o(A,) 事件的并AB事件的差A(yù)-B 注意： A-B = A eq o(sdo1(B),sup1

3、() = A-AB = (AB)-BA1,A2,An構(gòu)成W的一個(gè)完備事件組(或分斥)指A1,A2,An兩兩互不相容，且 eq o(sup1(),sdo4(i=1),sup10(n)Ai=W運(yùn)算法則交換律AB=BA AB=BA結(jié)合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)對(duì)偶律 eq o(sdo1(AB),sup1() = eq o(sdo1(A),sup1() eq o(sdo1(B),sup1() eq o(sdo1(AB),sup1() = eq o(sdo1(A),sup1() eq o(sdo1(B),sup1()

4、文氏圖 事件與集合論的對(duì)應(yīng)關(guān)系表記號(hào)概率論集合論W樣本空間，必然事件全集不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一個(gè)子集 eq o(sdo1(A),sup1()A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集AB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等AB事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB=事件A與事件B互不相容（互斥）A與B沒(méi)有相同的元素古典概型古典概型的前提是W=w1, w2, w3, wn, n為有限正整數(shù)，且每個(gè)樣本點(diǎn)wi出現(xiàn)的可能性相等。例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問(wèn)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1

5、個(gè)的事件A1，最多為2個(gè)的事件A2的概率。解：每個(gè)球有4種放入法，3個(gè)球共有43種放入法，所以|W|=43=64。(1)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯子，每個(gè)杯子恰有一個(gè)球，所以|A1|= C eq o(sdo3(4),sup5(3)3！=24；則P(A1)=24/64 =3/8. (2) 當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為2個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)杯子恰有2個(gè)球(C eq o(sdo3(4),sup5(1)C eq o(sdo3(3),sup5(2)，另有一個(gè)杯子恰有1個(gè)球(C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(1),sup5(1)，所以|A2|= C

6、eq o(sdo3(4),sup5(1)C eq o(sdo3(3),sup5(2)C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(1),sup5(1)=36；則P(A2)=36/64 =9/16 例2從1,2,9，這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，求：(1)三數(shù)之和為10的概率p1；(2)三數(shù)之積為21的倍數(shù)的概率p2。解：p1= eq f(4, C eq o(sdo3(9),sup5(3) = eq f(1,21) , p2= eq f(C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(5),sup5(1)+C eq o(sdo3(3),sup5(2), C eq

7、 o(sdo3(9),sup5(3) = eq f(3,14) P(A)= eq f(A包含樣本總個(gè)數(shù),樣本點(diǎn)總數(shù)) = eq f(|A|,|W|) 幾何概型前提是如果在某一區(qū)域W任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在W中任意兩個(gè)度量相等的子區(qū)域的可能性是一樣的。若AW，則P(A)= eq f(A的度量,W的度量)例1把長(zhǎng)度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解：設(shè)折得的三段長(zhǎng)度分別為x,y和a-x-y，那么，樣本空間，S=(x,y)|0 xa,0ya,0a-x-ya。而隨機(jī)事件A：”三段構(gòu)成三角形”相應(yīng)的區(qū)域G eq blc(aal(a-x-yx+y,xa-x-y+y,ya-x-y+x)

8、 解得 0 x eq f(a,2) , 0y eq f(a,2) , eq f(a,2)x+ya 。即G=(x,y)| 0 x eq f(a,2) , 0y eq f(a,2) , eq f(a,2)x+y0) P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0)全概率公式：P(B)= eq isu(i=1,n, )P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,An構(gòu)成W的一個(gè)分斥。貝葉斯公式：P(Ak|B)= eq f

9、(P(B|Ak)P(Ak),P(B) = eq f(P(B|Ak)P(Ak), eq isu(i=1,n, )P(B|Ai)P(Ai)應(yīng)用題例1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A, B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，則事件A與B獨(dú)立 P(B|A)=P(B)2. 事件A與事件B獨(dú)立事件A與事件 eq o(sdo1(B),sup1()獨(dú)立事件 eq o(sdo1(A),sup1()與事件B獨(dú)立事件 eq o(sdo1(A),sup1()與事件 eq o(sdo1(B),sup1()獨(dú)立事件A1,A2,An相互獨(dú)立-指任意k個(gè)事件Ai1,Ai2,Aik滿足P(Ai1Ai2Aik)=P

10、( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中k=2,3,n?？煽啃栽目煽啃訮(A)=r系統(tǒng)的可靠性： 串聯(lián)方式 P(A1A2An)=rn并聯(lián)方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 貝努里概型指在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)；每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種A與 eq o(sdo1(A),sup1()；各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同P(A)=p, P( eq o(sdo1(A),sup1()=1-p。二項(xiàng)概率-在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p)，則b(k;n,p)= C eq o(sdo3(n),sup5(k)pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,

11、n)。第二章 隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)定義：F(x)=Pxx, -x+分布函數(shù)(x)實(shí)質(zhì)上表示隨機(jī)事件Pxx發(fā)生的概率。分布函數(shù)F(x)的性質(zhì) (1)0F(x)1;(2) eq o(sup4(lim),sdo4(x-) F(x)=0, eq o(sup4(lim),sdo4(x+) F(x)=1(3)單調(diào)非減，當(dāng)x1x2時(shí)，F(xiàn)(x1)F(x2)(4)右連續(xù) eq o(sup4(lim),sdo4(xx0+) F(x)=F(x0)一些概率可用分布函數(shù)來(lái)表示Paxb=F(b)-F(a),Px=a=F(a)-F(a-0), Pxa=1-F(a), Pxa=1-F(a-0), 例1

12、.設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為 F(x)= eq blc(aal(0 x0, sinx 0 xp/2,1 xp/2) , 則 Pxp/4 = ( ) (選C，因?yàn)镻xp/4 =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、 eq r(2) /2 D、1例2.設(shè)隨機(jī)變量x1和x2的分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，為使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5(選A，因?yàn)镕(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=

13、a-b )例3.連續(xù)型隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)為 F(x) = A + B arctanx, -x求：(1) 常數(shù)A,B； (2) x 落入（-1，1）的概率。解：因?yàn)镕(+)=1, F(-)=0，所以A + Bp/2=1，A - Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = eq f(1,2) + eq f(1,p) arctanx .x 落入（-1，1）的概率為P-1x1=F(1)-F(-1) = eq f(1,2) + eq f(1,p) arctan1 ( eq f(1,2) + eq f(1,p) arctan(-1)= eq f(1,4) + eq f(1,4)

14、 = eq f(1,2) 離散型隨機(jī)變量定義：隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡(jiǎn)稱為分布列： eq bbc(aalcon1( X x1 x2 x3 . xn . ,概率 p1 p2 p3 . pn .) 其中每一個(gè) pi0 且 eq isu(i=1,pi) =1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。離散型隨機(jī)變量常見(jiàn)分布：1)兩點(diǎn)分布X(0,1)；X的取值只有0或1，其概率為PX=0=p, PX=1=1-p2)二項(xiàng)分布XB(n,p)；分布律為 b(k;n,p)= PX=k= C eq o(sdo3(n),sup5(k)pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,

15、n) 其中 0p13)泊松分布XP(l)；分布律為 PX=k= eq f(lk,k!) e-l (k=0,1,2,3,) 。4)幾何分布：XGe(p)；分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 。在伯努利試驗(yàn)序列中，記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的可能取值為1,2,稱X服從幾何分布。5)超幾何分布：X h(n,N,M)；分布列為 PX=k= eq f(C eq o(sdo3(M),sup5(k)C eq o(sdo3(N-M),sup5(n-k),C eq o(sdo3(N),sup5(n) (k=0,1,2,3,r, 其中

16、r=minM,n) 。 設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)，則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從超幾何分布。離散型例題例1設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為Px=k= eq f(C,2k) ，k=1,2,，則常數(shù)C= ( )A、1/4 B、1/2 C、1 D、(因?yàn)?eq isu(k=1, )Px=k=1, 即 eq f(c/2,1-1/2) =1, 所以c=1 )例2某射手有5發(fā)子彈，射一次命中的概率為0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子彈數(shù)x的分布列。解：x的分布列為x 1 2 3 4 5概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3設(shè)

17、離散型隨機(jī)變量x的概率分布為x 0 1 2p 0.3 0.5 0.2其分布函數(shù)為F(x)，則F(3)= ( )A、0 B、0.3 C、0.8 D、(選D，因?yàn)镕(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)連續(xù)性隨機(jī)變量定義：-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個(gè)范圍, 如果對(duì)于隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有 F(x)= eq o(sdo5(-),sup11(x)p(u)du， 則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中p(x)為的概率密度函數(shù).密度函數(shù)必須滿足條件：(1) p(x)0, -x+(2) eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x)dx=F(+)=

18、1連續(xù)型型隨機(jī)變量的性質(zhì)：1.分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；2 F(x)=p(x);3 Px=a=0, 所以Paxb= Paxb= Paxb= Paxb= eq o(sdo5(a),sup11(b)p(x)dx 4 Pxxx+Dx p(x)Dx常見(jiàn)連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布：1)均勻分布xUa,b；密度函數(shù) p(x)= eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) 分布函數(shù)F(x)= eq blc(aal( 0 xb) 2)指數(shù)分布xexp(l)；密度函數(shù) p(x)= eq blc(aal( le-lx x0, 0 x0) 分布函數(shù)F(x)= eq blc(aal(1-e-lx x0, 0

19、 x0) 3)正態(tài)分布xN(m,s2)；密度函數(shù)p(x)= eq f(1,sr(2p)e eq sup3(-f(t-m)2,2s2) (-x+) 分布函數(shù)F(x)= eq f(1,sr(2p)eq o(sdo5(-),sup11(x)e eq sup3(-f(t-m)2,2s2) dt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，它的分布函數(shù)F(x)可查表得到，一般F(x)=F( eq f(x-m,s)。正態(tài)分布的密度函數(shù)的曲線是鐘形對(duì)稱曲線，對(duì)稱軸為直線x=m，y=0是它的水平漸近線。連續(xù)型例題例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則PX=EX2= .解：因?yàn)閄 服從參數(shù)為1的泊松分布，所以 EX2=DX+

20、(EX)2=1+12=2， 于是 PX=EX2=PX=2= eq f(1,2)e 1 例2設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y的分布函數(shù) F(y)。解: XE(l), 因?yàn)镋X=1/l=5 l=1/5, 每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y=minX,2,易見(jiàn)當(dāng)y0 時(shí)，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y2時(shí)，F(xiàn)(y)=1；當(dāng)0y2時(shí)，F(xiàn)(y)=PYy=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以Y的分布函數(shù) F(y)= eq blc(aal( 0 若y0,1-e-y/5 若

21、0y2, 1 若y2) 隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布1離散型的求法設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為： eq bbc(aalcon1(X x1 x2 xk ,P p1 p2 pk ) ,則X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為： eq bbc(aalcon1(Y g(x1) g(x2) g(xk) ,P p1 p2 pk ), 當(dāng)g(xj)有相同情況時(shí)，概率為相應(yīng)之和。2連續(xù)型的公式法：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為fX(x)，設(shè)g(x)是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域a,b，且g(x)0，記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為fY(y)= eq blc(aal(fX(h(y)|h(

22、y)| ayb, 0 其它) 3連續(xù)型的直接變換法(分布函數(shù)法)：FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS，其中S=x|g(x)y，然后再把FY(y)對(duì)y求導(dǎo)，即得fY(y)fY(y)= eq blc(aal(dFY(y)/dy 當(dāng)FY(y)在y處可導(dǎo)時(shí), 0 當(dāng)FY(y)在y處不可導(dǎo)時(shí)) 隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的例題例1設(shè)X的分布律為： eq bbc(aalcon1(X -1 0 1 2,P 0.2 0.3 0.1 0.4)，求Y=(X-1)2的分布律。解：先由X的值確定Y的值，得到 eq bbc(aalcon1(X -1 0 1 2,Y 4 1 0 1)，將Y的值相同的X的概率合在一

23、起，得到Y(jié)的分布律 eq bbc(aalcon1(Y 4 1 0 ,P 0.2 0.7 0.1)。例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)，求隨機(jī)變量Y=3X+2的分布函數(shù)FY(y).解：FY(y)=PYy= P3X+2y= PX eq f(y-2,3)= FX( eq f(y-2,3) 例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)= eq blc(aal(f(3,2)x2 -1x1, 0 其它) ,求隨機(jī)變量Y=3X+2的密度函數(shù)fY(y).解：用公式法：設(shè)y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函數(shù)為x=h(y)= eq f(y-2,3) , -1 eq f(y-2,3)1 -1y5, |h(y

24、)|= eq f(1,3)則Y=g(X)的密度函數(shù)為fY(y)= eq blc(aal(fX(h(y)|h(y)| ayb, 0 其它) = eq blc(aal(f(3,2)( eq f(y-2,3)2 eq f(1,3) -1y5, 0 其它) = eq blc(aal(f(1,18)(y-2)2 -1y5, 0 其它) 例4設(shè)X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，試求Y=X3的概率密度。解：因XU0,2，所以 fX(x)= eq blc(aal(1/2 0 x2, 0 其它) 。 用分布函數(shù)法分段討論：當(dāng)y0時(shí), FY(y)=PYy= PX3y= 0，當(dāng)0y8時(shí), FY(y)=PYy= PX3y

25、= PX eq r(3,y)=eq o(sdo5(0),sup11( eq r(3,y) eq f(1,2) dx，fY(y)= FY(y)= eq f(1,2) eq f(1,3) (y) eq sup5(-f(2,3) = eq f(1, 6 eq r(3,y2) ,當(dāng)y8時(shí), FY(y)=PYy= PX3y= PX eq r(3,y)=eq o(sdo5(0),sup11(2) eq f(1,2) dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= eq blc(aal( eq f(1, 6 eq r(3,y2) 0y8, 0 其它) 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量

26、二維隨機(jī)向量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)指F(x,y)=Pxx,hy0F(x,y)1 ; F(-,+)= F(x,-)= F(-,y)=0; F(+,+Px1xx2,y1hy2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)二維隨機(jī)向量(x,h)的邊緣分布函數(shù)Fx(x)= Pxx=F(x,+), Fh(y)= Phy=F(+,y)二維離散隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布 Px=xi,h=yj=pij , 其中 eq isu(i=1, , ) eq isu(j=1, , )pij=1 且 pij0 可用一個(gè)分布列表或分布列矩陣 (pij) 來(lái)表示x的邊緣分布列為 P

27、x=xi= eq isu(j=1, , )pij = pi*h的邊緣分布列為 Ph=yj= eq isu(i=1, , )pij = p*j例1設(shè)二維隨機(jī)向量（x,h）的聯(lián)合分布律為hx1211/61/321/4a則常數(shù)a= （ ）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、答案： eq isu(i=1, , ) eq isu(j=1, , )pij=1 所以 a=1/4 , 選B. 二維連續(xù)隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)向量(x,h)的分布函數(shù)F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv p(x,y) 稱為隨機(jī)向量(x,h)的聯(lián)

28、合密度函數(shù)p(x,y)0, eq o(sdo5(-),sup11(+)eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dxdy=1 , eq f(2F(x,y),xy)=p(x,y)利用密度函數(shù)求概率 P(x,h)D= eq o(sdo6(D),sup0()p(x,y)dxdy二維連續(xù)型隨機(jī)向量(x,h)的邊緣分布, px(x)，ph(y) 稱為邊緣密度函數(shù)px(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dy ph(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dx條件分布離散型：在條件Y=yj下隨機(jī)變量X的條件概率分布為PX=xi|Y=yj= eq

29、f(PX=xi，Y=yj,PY=yj) = eq f(pij,p*j) , i=1,2,連續(xù)型：在條件Y=y下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)FX|Y(x|y)與條件概率密度函數(shù)fX|Y(x|y)分別為：FX|Y(x|y)= eq iin(-,x, f(f(u,y),fY(y) du) fX|Y(x|y) = eq f(f(x,y),fY(y)例1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間 (0,1)上服從均勻分布，在X=x (0 x1)的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間(0,x)上服從均勻分布，求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；解：X的概率密度為 fX(x)= eq blc(aal(1 0 x1,0 其他) ，在X=x (0 x

30、1)的條件下，Y的條件概率密度為fY|X(y|x)= eq blc(aal(1/x 0yx,0 其他) 當(dāng) 0yx1時(shí)，隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x在其它點(diǎn) (x,y)處，有 f(x,y) =0，即X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y) = eq blc(aal(1/x 0yx1,0 其他) 例2：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X概率分布為PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度為fY(y)= eq blc(aal(1 0y1,0 其它) ，記Z=X+Y， 求PZ1/2 | X=0。解：(1) PZ eq f(1,2)|X=0= PX

31、+Y eq f(1,2)|X=0= PY eq f(1,2)=eq o(sdo5(0),sup11(1/2)1dy= eq f(1,2). 二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布N(m1,m2,s12,s22,r)的密度函數(shù)p(x,y)= eq f(1,2ps1s2r(1-r2) exp- eq f(1,2(1-r2) eq f(x-m1)2,s12) - eq f(2r(x-m1)(y-m2),s1s2) + eq f(y-m2)2,s22)二元正態(tài)分布N(m1,m2,s12,s22,r)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布 xN(m1,s12) , hN(m2,s22)邊緣概率密度為 fX(x)= eq f(1,

32、s1r(2p)e eq sup3(-f(x-m1)2,2s12) , fY(y)= eq f(1,s2r(2p)e eq sup3(-f(y-m2)2,2s22) 二元均勻分布(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為A。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= eq blc(aal(f(1,A) (x,y)D,0 其他) ，則稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。例1:設(shè) (X,Y) 服從區(qū)域D：(x, y)：axb, cyd上的均勻分布，求（1）(X,Y) 的聯(lián)合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的邊際概率密度 pX(x) , pY(y) ;解

33、：(1) f(x,y)= eq blc(aal( f(1,(b-a)(d-c) axb cyd, 0 其他) ;(2) pX(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dy = eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) , pY(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dx= eq blc(aal( f(1,d-c) cyd, 0 其他) 例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctan eq f(x,2)(C+arctan eq f(y,3)。試求：(1)常數(shù)A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。解：

34、由分布函數(shù)性質(zhì)，得到F(+,+)=A(B+ eq f(p,2)(C+ eq f(p,2), F(x,-)=A(B+arctan eq f(x,2)(C- eq f(p,2)=0, F(-,y)=A(B- eq f(p,2)(C+arctan eq f(y,3)=0, 解得 A= eq f(1,p2), B=C= eq f(p,2) . 即F(x,y)= eq f(1,p2)( eq f(p,2)+arctan eq f(x,2)( eq f(p,2)+arctan eq f(y,3)。(2) f(x,y) = eq f(2F(x,y),xy) = eq f(6,p2(x2+9)(y2+4) .

35、 例2: 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1。.解：PmaxX,Y1=PX1且Y1，因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以PX1且Y1= PX1PY1= eq f(1,3) eq f(1,3)= eq f(1,9) 。（這里PX1=eq o(sdo5(0),sup11(1) eq f(1,3)dx= eq f(1,3)） 例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y) = eq blc(aal(1， 0 x1，0y2x,0， 其它) 求：(1) (X,Y) 的邊緣概率密度f(wàn)X(x), fY(y)；(2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) 。解：(1) fX

36、(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dy eq o(sdo1(=),sup8(0 x1) eq o(sdo5(1),sup11(2x)1dy= 2x, 所以邊緣概率密度f(wàn)X(x)= eq blc(aal(2x 0 x1,0 其它) fY(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dx eq o(sdo1(=),sup8(0y2) eq o(sdo5(y/2),sup11(1)1dx= 1- eq f(1,2)y, 所以邊緣概率密度f(wàn)Y(y)= eq blc(aal(1-y/2 0y2,0 其它) (2) FZ(z)=P2x-yz= eq o(sd

37、o10(2x-yz),sup0()f(x,y)dxdy eq o(sdo1(=),sup8(0z/21) 1- eq o(sdo10(D1),sup0()1dxdy=1-eq o(sdo5(z/2),sup11(1)dxeq o(sdo5(0),sup11(2x-z)1dy =1-eq o(sdo5(z/2),sup11(1)(2x-z)dx= z - eq f(z2,4)得到FZ(z)= eq blc(aal(0 z0,z-z2/4 0z2,1 z2) ，所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ(z)= eq blc(aal(1-z/2 0z2,0 其它) 例4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

38、 f(x,y)= eq blc(aal(x2+cxy 0 x1.0y2, 0 其他) 求(1)常數(shù)C; (2)PX+Y1;(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解：(1)由的概率密度性質(zhì)得到1=eq o(sdo5(-),sup11(+)eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dxdy=eq o(sdo5(0),sup11(1)eq o(sdo5(0),sup11(2)(x2+cxy)dxdy= eq f(2,3)+c c= eq f(1,3) ;(2)PX+Y1= eq o(sdo10(x+y1),sup0( )f(x,y)dxdy= eq o(sdo6(D),sup0() f(x,y

39、)dxdy=eq o(sdo5(0),sup11(1)dxeq o(sdo5(1-x),sup11(2)(x2+ eq f(xy,3)dy=eq o(sdo5(0),sup11(1)( eq f(5,6)x3+ eq f(4,3)x2+ eq f(1,2)x)dx = eq f(65,72)(3) 當(dāng)x0或y0時(shí)，F(xiàn)(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=0;當(dāng)0 x1, 0y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=eq o(s

40、do5(0),sup11(x)eq o(sdo5(0),sup11(y)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(x3y,3)+ eq f(x2y2,12);當(dāng)0 x1, y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=eq o(sdo5(0),sup11(x)eq o(sdo5(0),sup11(2)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(2x3,3)+ eq f(x2,3); 當(dāng)x1, 0y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup1

41、1(y)p(u,v)dudv=eq o(sdo5(0),sup11(1)eq o(sdo5(0),sup11(y)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(y,3)+ eq f(y2,12);當(dāng)x1, y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=1綜上所述F(x,y)= eq blc(aal( 0 x0或y0, eq f(x3y,3)+ eq f(x2y2,12) 0 x1及0y2, eq f(2x3,3)+ eq f(x2,3) 0 x1及y2, eq f(y,3)+ eq f(y2,12) x1

42、及 0y2, 1 x1及y2) 獨(dú)立性若F(x,y)=Fx(x)Fh(y)，則稱隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立。幾個(gè)充要條件：連續(xù)型隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立 p(x,y)=px(x)ph(y) 離散型隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立 pij=pipj 二元正態(tài)分布N(m1,s12,m2,s22,r) 隨機(jī)變量x與h相互獨(dú)立r=0。X與Y相互獨(dú)立f(X)與g(Y)也相互獨(dú)立。例：袋中有2只白球，3只黑球,現(xiàn)進(jìn)行無(wú)放回地摸球，定義：x = eq blc(aal( 1 第一次摸出白球, 0 第一次摸出黑球) h= eq blc(aal( 1 第二次摸出白球, 0 第二次摸出黑球) 求:(1)（x，h）的聯(lián)合分布；（2）

43、x，h 的邊際分布；（3）x，h 是否相互獨(dú)立？解:(x,h)的聯(lián)合分布與邊際分布為x h01px03/103/106/1013/101/104/10ph6/104/10因?yàn)閜(0,0)=3/10px(0)ph(0)=9/25所以x與h不獨(dú)立。 例2：設(shè)A, B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量 X= eq blc(aal(1 若A出現(xiàn),-1 若A不出現(xiàn)) Y= eq blc(aal(1 若B出現(xiàn),-1 若B不出現(xiàn)) 試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。例3設(shè)(X,Y)的概率密度為，f(x,y)= eq blc(aal(8xy 0 x1及0yx, 0 其他) , 求：關(guān)于X及關(guān)于Y的

44、邊緣概率密度，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立。解：關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dy, 當(dāng)0 x1時(shí)，fX(x)= eq o(sdo5(0),sup11(x)8xydy=4x3, 當(dāng)x1時(shí)，fX(x)=0; 所以 fX(x)= eq blc(aal(4x3 0 x1, 0 其他) 。同理當(dāng)0y1時(shí)，fY(y)= eq o(sdo5(y),sup11(1)8xydx=4y(1-y2), 其它情況fY(y)=0, 所以關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)= eq blc(aal(4y(1-y2) 0 x1, 0 其他) . 因?yàn)楫?dāng)0 x1, 0y1時(shí)，

45、f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布幾條結(jié)論：1. XP(l1), YP(l2), 若X與Y相互獨(dú)立，則X+YP(l1+l2);2. XN(m1,s12), Y N(m2,s22), X與Y相互獨(dú)立，則X+Y N(m1+m2,s12+s22);3.(卷積公式)設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y)，關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fX(x), fY(y)，設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則Z=X+Y的概率密度為 fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(x)fY(z-x)dx=eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,

46、z-x)dx 或fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(z-y)fY(y)dy=eq o(sdo5(-),sup11(+)f(z-y, y)dy.例1:已知的聯(lián)合概率分布為 eq bbc(aalcon1(X|Y 0 1 2, 0 1/4 1/10 3/10, 1 3/20 3/20 1/20), 求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。解：令Z1=X+Y，則Z1的加法表為 eq bbc(aalcon1(X+Y 0 1 2, 0 0 1 2, 1 1 2 3),令Z2=XY，則Z2的乘法表為 eq bbc(aalcon1(XY 0 1 2, 0 0 0 0, 1 0

47、 1 2),(1) Z1的分布律為 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2 3,P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20), 即 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2 3,P 1/4 5/20 9/20 1/20)(2) Z2的分布律為 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2,P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20), 即 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2,P 4/5 3/20 1/20) 例2:設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從0,1上的均勻分布，求X+Y的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以Z=X+

48、Y在有效區(qū)間0,2上取值。利用卷積公式得到fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(x)fY(z-x)dx。 積分變量的有效區(qū)域?yàn)?0 x1, 0z-x1 0 xz, z-1x1.當(dāng)0z1時(shí)，fZ(z)= eq o(sdo5(0),sup11(z)11dx=z; 當(dāng)1z2時(shí)，fZ(z)= eq o(sdo5(z-1),sup11(1)11dx=2-z;當(dāng)?shù)钠溆嗳≈禃r(shí)，fZ(z)=0。所以Z的概率密度f(wàn)Z(z)= eq blc(aal( z 0z1,2-z 10ll均勻分布Ua,bp(x)= eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) eq f(a+b,2

49、) eq f(b-a)2,12) 幾何分布XGe(p)分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) eq f(1,p) eq f(1-p,p2)超幾何分布X h(n,N,M)PX=k= eq f(C eq o(sdo3(M),sup5(k)C eq o(sdo3(N-M),sup5(n-k),C eq o(sdo3(N),sup5(n) k=0,1,2,3, minM,n eq f(nM,N) eq f(nM(N-M)(N-n),N2(N-1)指數(shù)分布exp(l)p(x)= eq blc(aal( le-lx x0, 0 x0) eq f(1,l) eq f(1,l2)

50、正態(tài)分布N(m,s2)p(x)= eq f(1,sr(2p)e eq sup3(-f(x-m)2,2s2) (-x+)ms2二維正態(tài)分布N(m1,s12,m2,s22,r)p(x,y)= eq f(1,2ps1s2r(1-r2) exp- eq f(1,2(1-r2) eq f(x-m1)2,s12) - eq f(2r(x-m1)(y-m2),s1s2) + eq f(y-m2)2,s22)Ex=m1Eh=m2Dx=s12Dh=s22第五章 大數(shù)定律及中心極限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P|x-Ex|e eq f(Dx,e2) , P|x-Ex|e 1 - eq f(Dx,e2)例1：

51、設(shè)隨機(jī)變量x1, x2, x3，獨(dú)立同分布，且xi服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，i=1,2,3，試根據(jù)切比雪夫不等式證明：P0 x1+x2+x36/l2/3 .證：xiexp(l), ExI=1/l; 令X=x1+x2+x3 ,則EX=E(x1+x2+x3)=3/l，DX=D(x1+x2+x3)=3/l2.P0 x1+x2+x36/l= P0X6/l= P-3/lX-3/l3/l= P|X-3/l|3/l1 - eq f(DX,e2) = 1- eq f(3/l2,(3/l)2) = 1- eq f(3,9) = eq f(2,3) 例2：已知隨機(jī)變量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估

52、計(jì)X落在(80,120)內(nèi)的概率。解：P80X120= P-20X-10020= P|X-E(X)|20 1 - eq f(DX,202) = 1 - eq f(10,400) = 0.975. 大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，分別具有數(shù)學(xué)期望與方差，且方差一致有上界，則對(duì)任意給定正數(shù)e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(1,n) eq isu(i=1,n,xi) eq f(1,n) eq isu(i=1,n,Exi) | e= 1。伯努利大數(shù)定理：設(shè)nA是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則

53、對(duì)任意給定正數(shù)e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(nA,n) - p|e= 1 (或 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(mn,n) - p| e= 0)辛欽大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXk=m，則對(duì)任意給定正數(shù)e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(1,n) eq isu(i=1,n,xi) m | e= 1中心極限定理棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：設(shè)隨機(jī)變量Yn (n=1,2,3,)服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，即Yn

54、B(n,p)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P eq f(Yn-np,r(npq)x= F(x) = eq o(sdo5(-),sup11(x) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt eq o(sdo5(a),sup11(b) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt這一定理說(shuō)明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量Yn作標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量 eq f(Yn-np,r(npq)的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。中心極限定理(林德貝格-勒維)：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)

55、學(xué)期望EXk=m，和方差D(Xk)=s20，隨機(jī)變量Yn=( eq isu(k=1,n,xk)-nm)/ eq r(n)s 的分布函數(shù)為 Fn(x)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n)Fn(x)= eq o(sup4(lim),sdo4(n)PYnx= F(x) = eq o(sdo5(-),sup11(x) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt這一定理說(shuō)明， eq isu(k=1,n,xk)的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量Yn=( eq isu(k=1,n,xk)-nm)/ eq r(n)s 的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。中心極限定理的用例1：某計(jì)算機(jī)系統(tǒng)由120個(gè)終端，每個(gè)終端在1小時(shí)內(nèi)平均有3分鐘使用打印機(jī)，假