專題06 超越不等式（方程）-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

1、專題06 超越不等式（方程）【方法點(diǎn)撥】含有指對運(yùn)算的方程(或不等式)稱之為超越方程(或超越不等式),實(shí)現(xiàn)解這類方程、不等式，一般是先猜根，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決.【典型題示例】例1 （2022新高考I22改編）已知函數(shù)和有相同最小值，則實(shí)數(shù) .【答案】 【分析】利用導(dǎo)數(shù)知識易得，根據(jù)最小值相等得，即，猜根易得可求是其中一個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，說明根的唯一性從而得解.【解析】的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)

2、，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.例2 (2022四川成都二檢)已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則 . 【答案】1【分析】【解析】由題意得: 設(shè)在上單增故有，即.例3 (多選題)(2022江蘇七市三模)已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則ABCD【答案】BCD【解析】，則，顯然單增，故等價(jià)于，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閱卧?，且，故，則故，則B正確；，則C正確；D.，因?yàn)?，故，則，而，則，故D正確.例4 已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段的長度的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解析】考慮從“形”的角度切入，與已知圓同心且與相切的圓的半徑與已知圓的半徑之差即為所求如下圖設(shè)該圓與相

3、切的切點(diǎn)為則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義、圓的切線性質(zhì)得即，此為超越方程，應(yīng)先猜根，易知為其中一個(gè)根設(shè)，則，單調(diào)遞減故為其唯一的一個(gè)根，此時(shí)切點(diǎn)為所以的長度的最小值為，故選A.例5 已知函數(shù)(aR)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則a的取值范圍是 【答案】(2，4)【解析】由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，得x2axa0恒成立，所以a24a0，解得0a4 方法1（討論單調(diào)性）由f(x) eq sdo1(f(ex,x2axa)，得f(x) eq sdo1(f(ex(xa)(x2),(x2axa)2) 當(dāng)a2時(shí)，f(2)f(a)，不符題意 當(dāng)0a2時(shí)，因?yàn)楫?dāng)ax2時(shí)，f (x)0，所以f(x)在(

4、a，2)上單調(diào)遞減， 所以f(a)f(2)，不符題意 當(dāng)2a4時(shí)，因?yàn)楫?dāng)2xa時(shí)，f (x)0，所以f(x)在(2，a)上單調(diào)遞減， 所以f(a)f(2)，滿足題意 綜上，a的取值范圍為(2，4) 方法2（轉(zhuǎn)化為解超越不等式，先猜根再使用單調(diào)性）由f(2)f(a)，得 eq sdo1(f(e2,4a) eq sdo1(f(ea,a) 因?yàn)?a4，所以不等式可化為e2 eq sdo1(f(ea,a)(4a) 設(shè)函數(shù)g(x) eq sdo1(f(ex,x)(4x)e2， 0 x4 因?yàn)間(x)ex eq sdo1(f(x2)2,x2)0恒成立，所以g(x)在(0，4)上單調(diào)遞減又因?yàn)間(2)0，所

5、以g(x)0的解集為(2，4)所以，a的取值范圍為(2，4) 例6 已知函數(shù)f(x)x1(e1)lnx，其中e為自然對數(shù)的底，則滿足f(ex)0的x的取值范圍為 【答案】【解析】易得f(1)f(e)=0當(dāng)時(shí)，在單減；當(dāng)時(shí)，在單增的解集是令，得，故f(ex)0的x的取值范圍為例7 若存在正數(shù)，使得，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 . 【答案】【分析】對進(jìn)行“完全分參”，兩邊同時(shí)除以、移項(xiàng)得，令，問題轉(zhuǎn)化為存在正數(shù)，使得成立，再設(shè)，只需的值域.【解析】對兩邊同時(shí)除以、移項(xiàng)得，令，問題轉(zhuǎn)化為存在正數(shù)，使得成立，設(shè)，只需的值域.猜根，往與的方向猜，可得再設(shè)，則故在區(qū)間單減所以在區(qū)間只有一個(gè)零

6、點(diǎn)為且當(dāng)時(shí)，故有當(dāng)，單增；當(dāng)，單減故當(dāng)時(shí)，取得極大值也就是最大值為，無最小值故即為所求.【鞏固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 2. 關(guān)于的不等式的解集為_.3. 方程的根是_.4.已知、分別是方程、的根，則的值是 .5.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的值是 .6.不等式的解集是 .7.方程的根是 .8. 已知函數(shù)，則的解集為_【答案或提示】1. 【答案】D【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【解析】因?yàn)?，所以等價(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.2.【答案】【提示】設(shè)，則，單增.3. 【答案】【解析】設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所?4.【答案】1【提示】設(shè)，則，單增.由，得代入得，即，得1.5.【答案】2020【提示】兩邊取自然對數(shù)得設(shè)，則易得其為上的單增奇函數(shù)所以，故.6.【答案】【解法一】顯然是方程一個(gè)根令，則故在單增，且所以不等式的解集是.【解法二】變形為設(shè)，而在單減，在單增，且圖象均過（1,0）所以