高中數(shù)學(xué)4.4參數(shù)方程4.4.3參數(shù)方程的應(yīng)用知識導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-4

1、4.4.3參數(shù)方程的應(yīng)用自主整理1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,則其參數(shù)方程為 （。為參數(shù)，9C 0,2兀），幾何意義為旋轉(zhuǎn)角）.答案：(x-a) 2+(y-b) 2=r2x a rcos y b r sin22.橢圓與 y- 1答案：(x-a) 2+(y-b) 2=r2x a rcos y b r sin22.橢圓與 y- 1的參數(shù)方程為a2 b2為離心角）.0為參數(shù)，0 0,2兀），幾何意義答案：a cos bsin.直線的參數(shù)方程為（l為參數(shù)，l的幾何意義是有向線段 PoP的數(shù)量）.答案：x0 l cosy0 l sin.直線參數(shù)方程一般式:其中（1） k=XXoat,y v。 btt為參數(shù)）.;

2、（2）設(shè)直線上兩點 A B對應(yīng)的參數(shù)分別為ti、t2,則|AB|答案：（i） b （2）a2 b2 |t i-t 2|a高手筆記.參數(shù)方程的應(yīng)用比較廣泛，可以用來解決許多幾何問題、三角函數(shù)問題、物理學(xué)問題，所以首先要正確理解曲線的參數(shù)方程的概念，掌握直線、橢圓、圓以至于拋物線、雙曲線等曲線的參數(shù)方程，要深刻理解其中的參數(shù)的幾何意義.參數(shù)方程的最突出的優(yōu)點是曲線上的動點的坐標(biāo)（x,y）中的x、y可以分別用第三個變量t來表示，因此在利用參數(shù)方程解題時就可以消去x、y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程或關(guān)于t的函數(shù)問題了.利用參數(shù)方程或參數(shù)的方法解題時，要注意合理選參，巧妙消參.名師解惑參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用.剖

3、析：參數(shù)方程在解析幾何中是一個十分重要的內(nèi)容，而且是高中數(shù)學(xué)的一個難點.近幾年來高考對參數(shù)方程和極坐標(biāo)的要求稍有降低，但是，可用參數(shù)方程求解的問題和內(nèi)容有所增加且與三角函數(shù)聯(lián)系緊密.參數(shù)方程在解題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：.探求幾何最值問題：在求多元函數(shù)的幾何最值有困難時，我們不妨采用參數(shù)方程進行轉(zhuǎn)化，化為求三角函數(shù)的最值問題來處理；.解析幾何中證明型問題：運用直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，能簡捷地解決與過定點的直線上的動點到定點的距離有關(guān)的問題；.探求解析幾何定值型問題：在解析幾何中點的坐標(biāo)為（x , y）,有兩個變元，若用參數(shù)方程則只有一個變元，則對于有定值和最值的問

4、題，參數(shù)法顯然比較簡捷.講練互動【例題1】設(shè)P是橢圓2x2+3y2=12上的一個動點，則 x+2y的最大值為 ,最 小值為.解析：思路一：注意到變量（x, y）的幾何意義，故研究二元函數(shù)x+2y的最值時，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè) x+2y=t ,則方程x+2y=t表示一組直線（t取不同的值，方程表示不同的直線），顯然（x,y直線），顯然（x,y）既滿足2x2+3y2=12,又滿足x+2y=t ,故點（x,y）是方程組222x2 3y2x 2y t12,的公共解.由題意，可知直線x+2y=t與橢圓總有公共點，從而轉(zhuǎn)化為研究消元后的一元二次 方程的判別式 A 0.人 口、 x 2y t,、 一 口，

5、 心，、令x+2y=t,聯(lián)立得方程組 9：該方程組有解，消去x,得關(guān)于y的一元二次方2x2 3y2 12,程 11y2-8t y+（2t 2-12）=0 .由 A=64t 2-4X 11x（2t 2-12）0,解得-V22 t 722 .所以x+2y的最大值為22 ,最小值為-花 .思路二：由于研究二元函數(shù) x+2y相對困難，因此有必要消元，但由x、y滿足的方程2x2+3y2=12 表示出x或y,會出現(xiàn)無理式，這對進一步求函數(shù)最值依然不夠簡捷，能否有其他途徑把二元函數(shù)x+2y轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)呢？由橢圓的方程2x2+3y2=12,可設(shè) x “6COs Y 0 C 0,2兀），代入到 x+2y中，得

6、y 2 sinx+2y= v6 cos 0 +2X 2sin 0 = J22 sin（ 0 +（）,其中 tan（）=.由于一1 w sin（ 0 +（） 1,所以-V22 x+2y a 22 .所以x+2y的最大值為22 ,最小值為-722 .答案： 22 -22綠色通道以上兩種方法都是通過引入新的變量來轉(zhuǎn)化問題，方法一是通過引入t,而把x+2y幾何化為直線的縱截距的最值問題；方法二則是利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)出點P的坐標(biāo)（6 cos 0 , 2sin 0）代入到x+2y中，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù) f（ 0 ）求最值.變式訓(xùn)練221.點P在橢圓 -y- 1上，求點P到直線3x-4y=24的最大距離和最

7、小距離.1122 cos( 一1122 cos( 一) 24|4112cos 12sin 24解： 設(shè) P(4cos 0 ,3sin 0 ),貝U d=-當(dāng) cos( 0 + 一)=-1 時 d dma)= -(2+ 22 )；當(dāng) COS( 0 + 一)=1 時，dmin= (2- J2 ). TOC o 1-5 h z 4545【例題2】求函數(shù)y 叫1的最大值和最小值.cos 2sin1Vcysin1思路分析：y 的形式類似于斜率 y 的形式，因此可以把 y cos2X2Xicos2看作是動點(cos 0 , sin 0)與定點(2 , 1)連線的斜率.所求問題轉(zhuǎn)化為求斜率y的最大值和最小值

8、.由于動點(cos 0 , sin 0 )在圓x2+y2=l上，因此可以把這個問題轉(zhuǎn)化到圖形上來處理.解：如圖所示，依題意，要求函數(shù)y=f(。戶身一1的最大值與最小值，等于求動點P(x,y)cos 2與定點(2,1)連線的斜率的最大值和最小值.從圖上可以得知，直線PM的方程為從圖上可以得知，直線PM的方程為y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k =0.當(dāng)直線PM與圓相切時，斜率分別為最大、最小值，此時|OP|一 11 2kl44=1 ,即 J = 1 ,解得 k = 0 或 k= ，f( 0 ) min=0,f( 0 ) ma)=.1 ( k)233綠色通道可以看出，轉(zhuǎn)化的思想方法與數(shù)形結(jié)

9、合的思想方法對于解題是相當(dāng)有幫助的.變式訓(xùn)練.求函數(shù) f(x)= Jx43x2 6x 13 Jx4x2 1 的最大值.解：f(x)= J(x 3)2 (x22)2J(x 0)2 (x2 1)2,構(gòu)造三點P(x,x 2), A(3,2), B(0,1),則動點 P 的軌跡方程為 y=x2,則 f(x)=|PA|- |PB| 0)的頂點任作兩條互相垂直的弦OA OB(1)設(shè)OA的斜率為k,試用k表示點A B的坐標(biāo);(2)求弦AB中點M的軌跡方程.解：(1)直線OA的方程可設(shè)為y=kx,因為OAL OB故直線 OB的方程為y= 1x k、一， y kx, - 2p 2p聯(lián)立方程組 解之，得xa=24

10、，ya=2p.y 2 px,k k1 y x, 解方程組k 解之，得xb=2pk ,y b=-2pk .y2 2px,所以 A(2p, 2p),B(2pk 2,-2pk).k2 kx p(k2 2)，(2)設(shè)M(x,y),則k消去參數(shù)k,得y2=px-2p：此即為點M軌跡的普通y p(1 k),k方程.4. 一炮彈在某處爆炸， 在F1 ( 5 000, 0)處聽到爆炸聲的時間比在 F2 (5 000, 0)處晚 如017秒，已知坐標(biāo)軸的單位長度為1米，聲速為340米/秒，爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上？并求爆炸點所在曲線的參數(shù)方程.思路分析：本題與實際生活緊密相關(guān)，主要考查學(xué)生能否將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際生活中 來解決相關(guān)的問題，并注意曲線的普通方程與參數(shù)方程之間的關(guān)系.解：由聲速為340米/秒，可知Fi、F2兩處與爆炸點的距離為340X 200 = 6 000（米）.因此17爆炸點在以Fi、F2為焦點的雙曲線上.二爆炸點離Fi處比F2處更遠，爆炸點應(yīng)在靠近F2的一支上.設(shè)爆炸點 P 的坐標(biāo)為（x, y）,則 |PFi| |PF2| =6 000 ,即 2a=6 000 ,從而