2022年圓的方程知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

1、圓的方程知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1.圓的四種方程（1）圓的原則方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注 對(duì)于圓的最值問題，往往可以運(yùn)用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后運(yùn)用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的

2、位置關(guān)系：點(diǎn)P在圓外；點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P在圓外；點(diǎn)P在圓上；點(diǎn)P在圓內(nèi).題型歸納及思路提示題型1 求圓的方程思路提示（1）求圓的方程必須具有三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的原則方程上來講，核心在于求出圓心坐標(biāo)(a,b)和半徑r；從圓的一般方程來講，必須懂得圓上的三個(gè)點(diǎn).因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的措施.（2）用幾何法來求圓的方程，要充足運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等.例9.17 根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圓的方程；（2）通過點(diǎn)

3、A(6,5),B(0,1),且圓心在直線3x+10y+9=0上；（3）通過點(diǎn)P(-2,4),Q(3,-1),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6.分析 根據(jù)待定系數(shù)法求出相應(yīng)的量即可.解析 （1）解法一：設(shè)所求圓的方程為，則由題意有，解得故所求圓的方程為解法二：由題意可求得AC的中垂線方程為x=2,BC的中垂線方程為x+y-3=0，因此圓心是兩條中垂線的交點(diǎn)P(2,1),且半徑因此所求圓的方程為即（2）AB的中垂線與AB垂直，則斜率AB的中點(diǎn)(3,3)，則由點(diǎn)斜式可得，即線段AB的中垂線方程為3x+2y-15=0由，解得，因此圓心為C(7,-3),又故所求的圓的方程為（3）設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)

4、分別代入，得，又令y=0,得.設(shè)是方程的兩根，則由韋達(dá)定理有，由有，即解得或故所求圓的方程為或評(píng)注 圓的方程有兩種形式：原則方程和一般方程.求圓的方程問題一般采用待定系數(shù)法，并有兩種不同的選擇，一般地，已知圓 上的三點(diǎn)時(shí)用一般方程；已知圓心或半徑關(guān)系時(shí)用原則方程.即一方面設(shè)出圓的方程（原則方程或一般方程），然后根據(jù)題意列出有關(guān)圓的方程中參數(shù)的方程（組），解方程或方程組即可求得圓的方程.一般地，擬定一種圓需要三個(gè)獨(dú)立的條件.變式1 求過點(diǎn)A(6,0),B(1,5),且圓心在直線上的圓的方程.變式2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程例9.18 已知圓的半徑為，圓

5、心在直線y=2x上，圓被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為，求此圓的方程.分析 求圓的原則方程，就是求中的a,b,r，可優(yōu)先考慮待定系數(shù)法.解析 解法一：設(shè)圓的方程為.由圓心在直線y=2x上，得b=2a（）由圓在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為，將y=x代入，整頓得由弦長(zhǎng)公式，得即，化簡(jiǎn)得（）由式可得或故所求圓的方程為或解法二：據(jù)幾何性質(zhì)，半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形，可得弦心距，又弦心距等于圓心(a,b)到直線x-y=0的距離，即，又已知b=2a，解得或故所求圓的方程為或評(píng)注 注意靈活運(yùn)用垂徑定理來簡(jiǎn)化圓中弦長(zhǎng)的求解過程.變式1 求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為的

6、圓的方程例9.19 圓有關(guān)直線2x-y+3=0對(duì)稱的圓的方程是（ ）A.B.C.D.解析 解法一：（推演法）將圓的方程化為原則方程，得圓心為(1,0)，半徑為，設(shè)對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)為(a,b)，則,得.故對(duì)稱圓的方程是解法二：（排除法）將圓的方程化為原則方程,得,則對(duì)稱圓的半徑也應(yīng)為，故排除選項(xiàng)A,B，在選項(xiàng)C中，圓心為(-3,2)，驗(yàn)證兩圓圓心所在的直線的斜率為，與直線垂直.故選C評(píng)注 根據(jù)圓的性質(zhì)求圓有關(guān)直線的對(duì)稱圓的方程問題，一般轉(zhuǎn)化為求圓心有關(guān)直線對(duì)稱點(diǎn)的問題，半徑保持不變.變式1 若不同兩點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為，,則線段PQ的垂直平分線l的斜率為_，圓有關(guān)直線l對(duì)稱的圓的方程為_題型2

7、直線系方程和圓系方程思路提示求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是運(yùn)用它們的直線系方程（圓系方程）.（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為： 當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A,B兩點(diǎn)，則過A,B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注 與圓C共根軸l的圓系例9.20 （1）設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)P,求過點(diǎn)P且與直線平行的直線的方程.（2）求圓心在直線上且過兩圓與的交點(diǎn)的圓的方程.分析 把兩條直線（圓）的方程聯(lián)立，解得直線（圓）的交點(diǎn)坐標(biāo)的措施看似平常，實(shí)則復(fù)雜難

8、解，而運(yùn)用直線系（圓系）方程的概念，則較易求得答案.解析 （1）解法一：由，得交點(diǎn).由于，故設(shè)，又過點(diǎn)，故，得即解法二：設(shè)，即由于，因此，得，故(2)設(shè)所求圓為化為一般式因此，故圓心為代入直線中，得解得，把代入所設(shè)的方程中，得故所求圓的方程為評(píng)注 直線系或圓系是具有共同性質(zhì)的直線或圓的集合，在解題過程中合適運(yùn)用直線系或圓系方程，往往可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，迅速得出結(jié)論.變式1 過直線和圓的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程是_變式2 （1）設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)P，求過點(diǎn)P且與直線垂直的直線的方程.（2）已知圓，若直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值和以AB為直徑的圓的方程.題型3 與圓有關(guān)的軌

9、跡問題思路提示要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的核心所在.例9.21（北京豐臺(tái)高三期末理18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；（2）若直線與曲線W交于A,B兩點(diǎn)，在曲線W上與否存在 一點(diǎn)Q，使得，若存在，求出此時(shí)直線l的斜率；若不存在，闡明理由.解析 （1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意知，即即（2）由于直線與曲線W相交于A,B兩點(diǎn)，因此即或 假設(shè)曲線W上存在點(diǎn)Q，使得由于A,B在圓上，因此，且由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OA

10、QB為菱形，因此OQ與AB互相垂直平分.故，即，解得，符合式因此存在點(diǎn)Q，使得評(píng)注 在平面上到兩定點(diǎn)的距離之比不為1的正數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.變式1 在中，若，則的最大值為_變式2 （北京石景山一模理8）如圖9-10所示，已知平面是l上的兩個(gè)點(diǎn)，C,D在平面內(nèi)，且,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一種動(dòng)點(diǎn)P，使得，則P-ABCD體積的最大值是（ ）A.B.16C.48D.144例9.22 如圖9-11所示，已知P(4,0)是圓內(nèi)的一點(diǎn)，A,B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程解析 解法一：設(shè)AB的中點(diǎn)為R,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則在中，又由于R是弦AB的中點(diǎn)，由垂徑定

11、理，在中，又(*),得,故則矩形的頂點(diǎn)Q的軌跡方程是解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，Q的坐標(biāo)為(x,y),則，在矩形中有在中，則，即評(píng)注 式（*）的根據(jù)是，平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和.在矩形APBQ中，O為矩形外一點(diǎn)，有變式1 已知圓上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)的一定點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).（1）求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若，求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡.變式2 已知點(diǎn)P(0,5)及圓（1）直線l過P且被圓C截得的線段長(zhǎng)，求l的方程；（2）求過點(diǎn)P的圓C的動(dòng)弦的中點(diǎn)M的軌跡方程.題型4 用二元二次方程表達(dá)圓的一般方程的充要條件思路提示方程表達(dá)圓的充要條件是，故在解決圓的

12、一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為，半徑例9.23方程表達(dá)圓，則a的取值范疇是（ ）A.B.C.D.解析 由可得即，得 .故選D評(píng)注 對(duì)于用二元二次方程表達(dá)圓的方程的充要條件的不等式不需要記憶，只需通過配方，然后讓右邊不小于零即可變式1 方程表達(dá)圓的方程的充要條件是（ ）A.B.C.D. 變式2 若圓有關(guān)直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a 的值為_題型5 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷思路提示在解決點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式相應(yīng)的不同判斷措施，此外還應(yīng)注意其她約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對(duì)參數(shù)的制約.例9.24 若點(diǎn)A(1,1)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a 的取值范

13、疇是（ ）A.B.C.D.解析 點(diǎn)A(1,1)在圓內(nèi)部，滿足，即，解得故選A評(píng)注 判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的代數(shù)措施為若點(diǎn)在圓上,則；若點(diǎn)在圓外,則；若點(diǎn)在圓內(nèi),則.反之也成立.變式1 點(diǎn)A(1,0)在圓上，則a的值為_變式2 過占P(1,2)可以向圓引兩條切線，則k的范疇是（ ）A.B.C.D.題型6 與圓有關(guān)的最值問題思路提示解決此類問題，應(yīng)綜合運(yùn)用方程消元法、幾何意義法、參數(shù)方程法等多種思想和措施求解，才干做到靈活、高效.例9.25 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值分析 方程表達(dá)圓心為（2，0），半徑為的圓.的幾何意義是圓上一

14、點(diǎn)M(x,y)與原點(diǎn)連線的斜率；設(shè)y-x=b，可看作直線y=x+b在y軸上的截距；是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，可借助于平面幾何知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的措施求解.解析 （1）原方程可化為，表達(dá)以點(diǎn)（2，0）為圓心，覺得半徑的圓.設(shè)，即.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率最大值和最小值，此時(shí)，解得故的最大值為，最小值為（2）設(shè)y-x=b，即y=x+b，當(dāng)y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b獲得最大值和最小值，此時(shí)，即，故y-x的最大值為，最小值為（3）解法一：（幾何法）表達(dá)圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處獲得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2，故,解法二：（參數(shù)方程法）把圓

15、的方程化為原則方程設(shè)（為參數(shù),）則故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解法三：（方程消元法）由圓的原則方程為，可得且故由故故所求最大值為，最小值為評(píng)注 波及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問題變式1 若圓上任意一點(diǎn)(x,y)都使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式2 若圓上任意一點(diǎn)(x,y)都使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范疇是（ ）A.B.C.D.題型7 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用思路提示研究曲線的交

16、點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，特別要注意需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防浮現(xiàn)錯(cuò)誤.例9.26 方程表達(dá)的曲線是（ ）A.一條射線B.一種圓C.兩條射線D.半個(gè)圓分析 對(duì)于方程的變形要注意等價(jià)性，即在變形前，先制約變量的取值范疇解析 由題可知，且，故原方程表達(dá)圓心在（0，0），半徑為5的下半圓.故選D變式1 方程表達(dá)的曲線是（ ）A.一條射線B.一種圓C.兩條射線D.半個(gè)圓例9.27 直線與曲線有且僅有一種公共點(diǎn)，則b的取值范疇是（ ）A.B.C. D.分析 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法求解解析 將曲線方程變形為，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，滿足，整頓可得，即.如圖9-12所示，可得當(dāng)或

17、時(shí)，直線與曲線有且僅有一種公共點(diǎn).故選B變式1 當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式2 若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式3 設(shè)集合,，若，則實(shí)數(shù)m的取值范疇是_有效訓(xùn)練題1.若直線y=kx與圓的兩個(gè)交點(diǎn)有關(guān)直線x+y+b=0對(duì)稱，則（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若點(diǎn)(4a-1,3a+2)不在圓的外部，則a的取值范疇是（ ）A.B.C.D.3.設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（ ）A.必在圓內(nèi)B.必在圓上C.必在圓外D.以上三種情形均有也許4.已知圓，過點(diǎn)A(4,0)作圓的割線ABC，則弦BC中點(diǎn)的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 5.已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(0,2)，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值與最小值分別是（ ）A.B.C. D. 6.已知圓C的方程為，當(dāng)圓心C到直