人大微積分課件8-8多元函數(shù)的極值與最值

1、一、多元函數(shù)的極值二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值 一、多元函數(shù)的極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).1二元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極大值；若滿足不等式，則稱函數(shù)在有極小值；(1)(2)(3)例1函數(shù)處有極小值在例函數(shù)處有極大值在處有極大值在例處無極值在函數(shù)2多元函數(shù)取得極值的條件定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：，.證不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值,則對(duì)于的某鄰域內(nèi)任意都有,故當(dāng)時(shí)，有說明一元函數(shù)在處有極大值，必有;類似地可證.推廣 如果三

2、元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在有極值的必要條件為 ，.; 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？ 駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， .例如點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)又 ， 令，則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下：（1）時(shí)具有極值，當(dāng)時(shí)有極大值， 當(dāng)時(shí)有極小值；（3）時(shí)可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論（2）時(shí)沒有極值；求函數(shù)),(yxfz=極值的一般步驟：第一步 解方程組 求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步 定出2BAC

3、-的符號(hào)，再判定是否是極值.例4求函數(shù)的極值解求得駐點(diǎn)，在點(diǎn)處所以，在處函數(shù)沒有極值在點(diǎn)處又所以，在處函數(shù)有極大值且求最值的一般方法： 1）將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值 2）求D的邊界上的最大值和最小值 3）相互比較函數(shù)值的大小，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 多元函數(shù)的最值解先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)，如圖,例5 求二元函數(shù) 在直線，軸和軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值.解方程組再求在邊界上的最值，得區(qū)域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且 在邊界和上,在邊界上，即于是,由 得 比較后可知為最大值,為最小值.解由例6 求的最大值和最小

4、值.得駐點(diǎn)和,即邊界上的值為零.無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.因?yàn)樗宰畲笾禐?，最小值為? 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問長(zhǎng)寬高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最??？此水箱的用料面積解：設(shè)水箱的長(zhǎng)為x,寬為y,則其高為時(shí)，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D(x0,y0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說，當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，水箱所用的材料最省。實(shí)例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買 張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤8

5、元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果問題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值無條件極值：對(duì)自變量除有定義域限制外，無任何其它條件限制的極值要找函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn)，其中為某一常數(shù)，可由先構(gòu)造函數(shù)解出，其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)在條件 ，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)其中均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).例8 將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)zyx,之和 使得zyxu23=為最大.解解得唯一駐點(diǎn))2,4,6(，則故最大值為解設(shè)為橢球面上一點(diǎn),例9 在第一卦限內(nèi)作橢球面 的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切