微積分課件1第六章6

1、第六章 微分方程(Differential equation ) 微分方程（differential equation) 大體上分為常微分方程 （ordinary differential equation）、 偏微分方程 （partial differential equation）。 微分方程一般應(yīng)用在物理或幾何方面的典型問(wèn)題。隨著微分方程領(lǐng)域的拓寬，微分方程的應(yīng)用面也越來(lái)越廣，它在傳染病、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)、藥物在體內(nèi)的分布與排除、香煙過(guò)濾嘴的作用、水電站調(diào)亞塔功能、人口的預(yù)測(cè)與控制、紅綠燈下的交通流、煙霧的擴(kuò)散與消失等實(shí)際的問(wèn)題中都有應(yīng)用。第一節(jié) 微分方程的基本概念解一、舉例幾何

2、中的微分方程問(wèn)題解物理中的微分方程問(wèn)題代入條件后知故開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需微分方程:凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程，稱(chēng)為微分方程。例實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).分類(lèi)1（研究方向）: 常微分方程, 偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程分類(lèi)2（微分方程的階）:例分類(lèi)3（微分方程的函數(shù)類(lèi)型）: 線性與非線性微分方程.線性微分方程：未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)是一次式的微 分程。分類(lèi)4（微分方程的個(gè)數(shù)）: 單個(gè)微分方程與微分方程組.練 習(xí)給下列微分方程分類(lèi)：

3、答案三階線性常微分方程二階線性常微分方程一階線性常微分方程一階線性常微分方程組微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù). 微分方程的解的分類(lèi)：三、主要問(wèn)題-求方程的解(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象: 微分方程的積分曲線.通解的圖象: 積分曲線族.初值條件: 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題: 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.四、微分方程解的幾何意義 常微分方程的解的圖形表示方程的積分曲線。 微分方程的通解的圖形表示方積分曲線族，通過(guò)初值條件可以確定一條積分曲線。 例如 初值問(wèn)題 的解的幾何意義是過(guò)點(diǎn) 的一條積分曲線。滿足 ,過(guò)點(diǎn) 曲線為 ,如圖13-1 01圖13-1解所求特解為補(bǔ)充:微分方程的初等解法: