2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷(A卷)答案

1、2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page1of9北京交通大學(xué)20122013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷（A卷）參考答案某些標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值x0.340.530.6751.161.741.962.332.58x0.66310.70190.750.8770.95910.9750.990.995其中x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)一（本題滿分5分）口袋中有10個(gè)球，分別標(biāo)有1到10，從中任意取出4個(gè)球求最小是5的概率解：設(shè)A“取出4個(gè)球，最小是5”10個(gè)球取出4個(gè)球，有取法C104種.2分若最小是5，有取法C53種，因此PAC53101.3分C104

2、21021二（本題滿分5分）一間宿舍住有5位同學(xué)，求他們之中至少有兩位的生日在同一個(gè)月份的概率解：設(shè)A“5位同學(xué)至少有兩位的生日在同一月份”5位同學(xué)，每一位在12個(gè)月份中任意選擇，共有125種可能.2分考慮A的逆事件A，它表示5位同學(xué)中，沒(méi)有兩位的生日是同一月份的5P則PA1PA1120.6181.3分512三（本題滿分8分），已知男人中5%的是色盲患者，女人中色盲患者占0.25%，今從男女比例為22:21的人群中隨機(jī)地第1頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page2of9摘要一人，發(fā)現(xiàn)是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？解：A“任選一人為男性”

3、，B“任選一人是色盲患者”所求概率為PAB由Bayes公式，得PABPAPBAPAPBA.3分PAPBA220.052243210.9544.5分0.050.00254343四（本題滿分8分）在一小時(shí)內(nèi)，甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床需要維修的概率分別是0.9，0.8和0.85，而且這三臺(tái)機(jī)床是否需要維修是相互獨(dú)立的求在一小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)床不需要維修的概率；（4分）至多只有一臺(tái)機(jī)床需要維修的概率（4分）解：設(shè)A甲機(jī)床需要維修，B乙機(jī)床需要維修，C丙機(jī)床需要維修則P至少有一臺(tái)機(jī)床不需要維修PABC1PABC.2分1PAPBPC10.90.80.850.388.2分P至多有一臺(tái)機(jī)床需要維修PABCABCAB

4、CABC.2分PABCPABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.10.20.150.90.20.150.10.80.150.10.20.850.059.2分五（本題滿分8分）試確定常數(shù)a，b，c，d的值，使得函數(shù)ax1Fxbxlnxcxd1xedxe為一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第2頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page3of9解：因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fx是連續(xù)函數(shù)，因此函數(shù)Fx在分段點(diǎn)x1及xe處連續(xù)，所以有F10F10F1，即有acd.2分Fe0Fe0Fe，即有becedd.2分又分布函數(shù)Fx必須滿足

5、：limFx0，limFx1xx因而有alimFx0，dlimFx1.2分xx由此得方程組c10，解此方程組，得bece11a0,b1,c1,d1.2分六（本題滿分8分）某地區(qū)成年男子的體重X（以kg計(jì)）服從正態(tài)分布N,2若已知PX700.5，PX600.25，求與的值；如果在該地區(qū)隨機(jī)抽取5名成年男子，求至少有兩個(gè)人的體重超過(guò)65kg的概率解：由已知PX70PX70700.5，PX60PX60600.25.2分700.5700.5得60即60，110.250.750.7570查正態(tài)分布表，得070，14.81.2分，解方程組，得600.675第3頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與

6、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page4of9設(shè)A“從該地區(qū)任意選取一名成年男子，其體重超過(guò)65kg”則X7065701PX70PX651PX651P14.810.337614.8114.8110.33760.33760.6631.2分設(shè)X：該地區(qū)隨機(jī)抽取的5名成年男子中體重超過(guò)65kg的人數(shù)則XB5,0.6631設(shè)B“5人中至少有兩人的體重超過(guò)65kg則PBPX21PX11PX0PX11C500.663100.33695C510.663110.336940.9530（已知0.6750.75，0.340.6631）.2分七（本題滿分8分）設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為fx,y5x2y

7、0y1x240其它求：隨機(jī)變量Y的邊緣密度函數(shù)fYy解：當(dāng)0y1時(shí)，1y551yfYyfx,ydxx2ydxx2ydx.3分1y4201x3x1y3151y12y.3分5xy511y2y1y2230236所以，隨機(jī)變量Y的邊緣密度函數(shù)為51y12yfYy60y1.2分0其它八（本題滿分10分）第4頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page5of9設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，X1服從參數(shù)為的指數(shù)分布令TminX1,X2,Xn，求隨機(jī)變量T的密度函數(shù)解：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，隨機(jī)變量T的分布函數(shù)為FTxPTxPminX1,X2,Xnx1P

8、minX1,X2,Xnx1PX1x,X2x,Xnx.2分1PX1xPX2xPXnx11PX1x1PX2x1PXnx11FXxn.3分所以，隨機(jī)變量T的密度函數(shù)為fTxFTxn1FXxn1fXx.2分如果X1服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則X1的密度函數(shù)為fXxexx00 x0分布函數(shù)為x1exx0FXxfXtdt.1分0 x0因此此時(shí)TminX1,X2,Xn的密度函數(shù)為fTxn1FXxn1fXxnexn1exnenx，x0.2分九（本題滿分8分）設(shè)隨機(jī)向量X1,X2,X3間的相關(guān)系數(shù)分別為12,23,31，且，EX1EX2EX30，DX1DX2DX320令：YXX2，YXX,YXX1證明：Y,Y,Y兩

9、兩不相關(guān)的充要條件為11223331231223311第5頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page6of9證明：充分性：如果1223311，則有12233110而covY1,Y2covX1X2,X2X3covX1,X2covX1,X3covX2,X2covX2,X312DX1DX213DX1DX3varX223DX2DX32222120.3分121323122313這說(shuō)明隨機(jī)變量Y1與Y2不相關(guān)同理可得covY2,Y30，covY3,Y10，這就證明了隨機(jī)變量Y1,Y2,Y3兩兩不相關(guān).1分必要性：如果隨機(jī)變量Y1,Y2,Y3兩兩不相關(guān)，則有co

10、vY1,Y20，covY2,Y30，covY3,Y10而由上面的計(jì)算，得covY1,Y2122313120，.3分由于20，所以121，即12131.1分231323十（本題滿分8分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為x若1x1fx其它X1,X2,X50是從X中抽取的一個(gè)樣本，X與S2分別表示樣本均值與樣本方差求EX，DX，ES2解：因?yàn)?EXxfxdxxxdx0，1111，EX2x2fxdxx2xdx2x3dx102第6頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page7of9所以，DXEX2EX212所以，EXEX0，.2分DX11，.3分DX2n50100ES2D

11、X1.3分2十一（本題滿分8分）設(shè)總體XN0,4，X1,X2,X9是取自該總體中的一個(gè)樣本求系數(shù)a、b、c，使得統(tǒng)計(jì)量TaX1X22bX3X4X52cX6X7X8X92服從2分布，并求出自由度解：因?yàn)閄1,X2,X9是取自總體N0,4中的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，所以XiN0,4，i1,2,9而且X1,X2,X9相互獨(dú)立所以X1X2N0,8，X3X4X5N0,12，X6X7X8X9N0,16.2分所以，X1X2N0,1，X3X4X5N0,1，X6X7X8X9N0,1.2分81216因此，X1X22X3X4X52X6X7X8X9223.2分81216因此，當(dāng)a1,b1,c1時(shí)，統(tǒng)計(jì)量81216222TX18

12、X2X3X4X5X6X7X8X923，1216自由度為3.2分十二（本題滿分8分）第7頁(yè)共9頁(yè)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（A卷）答案Page8of9一家有500間客房的旅館的每間客房裝有一臺(tái)2kW（千瓦）的空調(diào)機(jī)，該旅館的開房率為80%求需要多少電力，才能有99%的可能性保證有足夠的電力使用空調(diào)機(jī)解：設(shè)X：該旅館開房數(shù)目，則XB500,0.8.2分a：向該旅館供應(yīng)的電力則若電力足夠使用空調(diào)機(jī)，當(dāng)且僅當(dāng)2Xa因此P2X由題設(shè)，查表，得aaPX2a5000.825000.80.2a5000.825000.80.2aaX5000.85000.85000.822P0.80.25000.80.25000.85000.20.99，.3分2.33，.1分所以有a25000.82.335000.80.2841.68即至少向該旅館供電842千瓦，才能保證該旅館的空調(diào)機(jī)正常使用.2分十三（本題滿分8分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為cx1xcfx0 xc其中c0是已知常數(shù)，而1是未知參數(shù)X1,X2,Xn是從該總體中抽取的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的最大似然估計(jì)量解：似然函數(shù)為nn1ncnx