空間中的垂直關系(帶答案)教學提綱

1、空間中的垂直關系（帶答案）空間中的垂直關系專題訓練知識梳理一、線線垂直:如果兩條直線于一點或經過后相交于一點，并且交角為，則稱這兩條直線互相垂直.二、線面垂直：定義：如果一條直線和一個平面相交，并和這個平面內的，則稱這條直線和這個平面垂直.也就是說，如果一條直線垂直于一個平面，那么他就和平面內任 意一條直線都. 直線I和平面a互相垂直，記作Ila.判定定理：如果一條直線與平面內的 直線垂直，則這條直線與這個平面垂直.推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也 于這個平面.推論：如果兩條直線 同一個平面，那么這兩條直線平行. 點到平面的距離：長度叫做點到平面的距離.三、面面垂

2、直：定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面 ，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線 ，就稱這兩個平面互相垂直.平面a,B互相垂直，記作a丄B判定定理：如果一個平面經過另一個平面的 則這兩個平面互相垂直.性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于直線垂直于另一個平面.四、求點面距離的常用方法：直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個三角形.轉移法：借助線面平行將點轉移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解體積法：利用三棱錐的特征轉換位置來求解.題型一線線垂直、線面垂直的判定及性質例1.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PM底面 ABCD AB丄AD,AC丄CD / AB

3、C=60 ,PA=AB=BC,E 是 PC的中點.求證：CD 丄 AEPD丄平面ABE.證明：(I) PA丄底面AB匚Lh ,PA_CD 又AC-CD* PAnAC-A故匚平面Pi匚.又HE匸平面FA匚.，CD_AE(II)由題意：AB-AD,ABPADj從而負日一 PD=BCj ABC = 60,.ACAB,就而AOPA.又匚為兀之中點，AE_PU由(I)師：AE_CDfAHnAE-PD故PD亠平面炬巳【變式1】已知：正方體 ABCD - AiBiClDl，AA仁2，E為棱CC1的中點.(I )求證：B1D1 丄 AE ;(H )求證：AC /平面 B1DE.【解答】(I)連接BD,則BD/

4、BQ，T ABCD是正方形，二ACLBD/ CEL平面 ABCD BD?平面 ABCD / CEL BD又 ACH CE=C BDL面 ACE / AE?面 ACE 二 BDLAE.B 1D1LAE( 5 分)(H)證明：取 BB的中點F,連接AF、CF、EF. T E、F是GC、BB的中點，CE /BiF且CE=BF,.四邊形BiFCE是平行四邊形， CF / B iE.v 正方形BBGC 中，E、F是 CC BB 的中點， EF / BC 且 EF=BC又 BC / AD且BC=ADE F / AD且EF=AD 四邊形 ADEF是平行四邊形，可得AF/ ED, / AF H CF=C BE

5、H ED=E平面 ACF/ 平面 BiDE又 T AC ?平面 ACF, - AC/面 BiDE【變式2】如圖，已知四棱錐 P- ABCD，底面ABCD為菱形，PA丄平面ABCD ,/ ABC=60 點E、G分別是 CD、PC的中點，點 F在PD上，且PF: FD=2 :1.(I )證明：EA丄PB;(H )證明：BG / 面 AFC .【解答】(I)證明：因為面 ACD為等邊三角形，又因為E是CD的中點，所以EAL PA而 ABA PA=A所以EAL面PAB 所以EAL PB.(H)取 PF中點 M 所以PM=MF=F.D連接 MG MG/ CF,所以 MG/面 AFC連接BM BD設ACH

6、 BD=O連接 OF,所以BM/ OF,所以BM/面AFC而 BMH MG=M所以面BGM面AFC 所以BG/面AFC【變式3】如圖，四棱柱 ABCD - AiBlClDl的底面ABCD是正方形，0為底面中心, A10丄平面 ABCD , AB=|、：！ , AA 1=2 .證明：AA 1丄BD證明：平面 A1BD /平面CD1B1 ;求三棱柱 ABD - A1B1D1的體積.【解答】(1)證明：底面 ABCD是正方形，BDL AC 又 T A Q丄平面 ABCD且 BD?面 ABCD：A0丄BD 又T A iOn AC=O AiO?面 AAC, AC?面 AiAC,四邊形ABiCD是平行四邊

7、BDL面 AiAC AAi?面 AiAC, AA i 丄 BD(2)T A iBi/ AB AB/ CD - AiBi/ CD 又 AiBi=CD平面AiBD/平面CDBi.A iD/BiC,同理 AiB/ CD , / A iB?平面 AiBD, AiD?平面 AiBD CD?平面 CDBi , BiC?平面 CDB ,且 AiBQAiD=A , CDQBiC=C(3 )T A Q丄面 ABCD A iO 是三棱柱 ABD- ABD的高,在正方形 ABCD中 , AO=i 在 RtAiOA中，AA=2 , AO=i,A iO=.；, V 三棱柱 ABIAiBiD=&ABD?AiO=：? (.

8、：)2? :；2三棱柱ABD- AiBiDi的體積為.；【變式4】如圖，三棱柱 ABC - AiBiCi中，側棱AA i丄底面ABC ,AB=BC=AC=AA i=4 ,點F在CCi上,且CiF=3FC , E是BC的中點.求證：AE丄平面BCCiBi求四棱錐 A - BiCiFE的體積；證明：BieL AF .【解答】(i ) AB=AC , E是BC的中點，AE1 BC .在三棱柱 ABC- AiBiCi ,中，BB / AA i ,BB i丄平面ABC/ AE ?平面 ABCBB i 丄 AE ,.(2 分)又 BB iA BC=B .（3 分）BB , BC?平面 BBCiC,AE!平

9、面BRGC,.（4分）(2)由(1)知，即AE為四棱錐 A BCiFE的高，在正三角形 ABC中，AE=AB=2 -;，2在正方形BB* 中, ce=be=2 E，律四晰嚴甲正方形冋SCFE=4X 4 -丄X 2 乂 4 一 丄X 2X12 2佻-誓詞申四血形BCFe|?ae冒XU X 2（3）證明：連結 B1F,由（1）得 AE!平面 BBCC,t B 1E?平面 BBiCiC, AEIBtE,.(8分)在正方形 BBGC,中，B1F寸b 嚴+C=5,BE=-I S ，EF= i|. - !，B 1F2=B1E2+EF2,a B 1E丄EF.（9 B iE丄平面AEF,.（11分）分) 又

10、AEn EF=E （ 10 分）AE, EF?平面 AEF/ AF ?平面 AEF,. B 1E丄 AF.（12 分）【變式5】如圖，四棱錐 P ABCD中，PD丄平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2 , E為PC的中點，G在BC上，且 CGCB求證：PC丄BC ;求三棱錐 C DEG的體積；AD邊上是否存在一點 M,使得PA/平面MEG ?若存在，求 AM的長；否貝嘰說明理由.【解答】（1）證明：T PDL平面 ABCD： PDL BC又/ ABCD是 正方形， BCL CD又 PDn CD=D： BCL平面 PCD 又 T PC?平面 PCDPC! BC （ 2 ）T BCL

11、平面 PCDGC是三棱錐G- DEC的高.E是PC的中點,S ED -SapdC=_:x丄2x2） =1. V2 Jde=Vg de(=GC?Sde(= X 二 X 1=二.33 39(3)連結AC,取AC中點O 連結EO GO于點 M貝y PA/平面 MEG證明：TE為PC的中點，O是AC的中點，/ EO?平面 MEG PA?平面 MEGPA/平面 MEG在正方形 ABCD中, TO是AC的中點，BC=PD=2 CG=CB.3 OC3A OAM： AM=CG，所求 AM的長為 2.33【變式6】如圖所示，在三棱柱 ABC - AiBiCi中，BB1丄底面AiBiCi, A1B1丄BiCi且A

12、iBi=BB i=BiCi, D 為 AC 的中點.(I )求證：AiB 丄 ACi(n )在直線CCi上是否存在一點 E,使得AiE丄平面AiBD，若存在，試確定E點的位置；若不存在，請說明理由.【解答】（I）證明：連接ABi BB i丄平面 AiBiGB iG 丄 BBiB iG丄A iBi 且 AiBi A BBi=BiB iG丄平面 AiBiBA A i B丄B iG . 又t A i Bl AB| 且 AB AB iCi=Bi AiB丄平面 ABCiAiB丄ACi(n)存在點 E在CG的延長線上且 CE=2CC寸，AE丄平面ABD.設 AB=a, CE=2a,A1BDLAC BDLC

13、Ci,二打耳 2 + &乎二 DEAiE 丄AiDACT) CG=C, BDL平面 ACCAi , 又AiE?平面 ACCAi A iEL BD.又 BDTA iD=D , A iE丄平面B【變式7】如圖，在直三棱柱ABC - AiBiCi 中,AC=3 , BC=4 ,AB=5，點D是AB的中AiBD占八、求證：AC 丄 BCi；求證：ACi / 平面 CDB i.【解答】 證明：(i)因為三棱柱 ABC- AiBiCi為直三棱柱,所以GC丄平面ABC所以GC丄AC又因為 AC=3 BC=4, AB=5,所以 aC+bCaB2,所以acl bc又 C|CT BC=C 所以 ACL 平面 CC

14、BiB,所以 ACL BCi.(2)連結GB交CB于E,再連結DE由已知可得 E為GB的中點，又TD 為AB的中點, DE BAG 的中位線. ACi / DE 又t DE?平面 CDB, AG?平面 CDB： AG/ 平面 CDB.【變式8】如圖，直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi=2AC=2BC , D是AA i的中點，CD 丄 BiD.證明：CD 丄 BiCi;平面CDB i分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.【解答】(i )證明：由題設知，直三棱柱的側面為矩形，由D為AA的中點，貝U DC=DG 又 AA=2AG 可得 DC2+dG=CC2, 貝U CDL DCi,而 CD

15、L B iD, BiDQ DGi=D,則CDL 平面BiGD,由于BG?平面BQD,故 CDL B iCi；(2)解：由(1)知，CDLB iCi,且BiG丄CiC,貝U BiG丄平面ACGAi,設Vi是平面CDB上方部分的體積，W是平面CDB下方部分的體積，則 Vi=Vbi-cdai Scdaic?Big4 沁?BiCi3BiG3,332V=AbC- A1B1C =2aG?BC?CG=BG3，貝y V2=V- Vi3bG3=Vi,2 1故這兩部分體積的比為 1 ： 1.【變式9】如圖所示，在長方體 ABCD - AiBiCiDi中，已知底面是邊長為2的正方形，高為1，點E在Bib上，且滿足B

16、iE=2EB .求證：Die 丄 AiCi; 在棱BiCi上確定一點F,使A、E、F、Di四點共面，并求此時 BiF的長;求幾何體 ABEDid的體積.41【解答】(I)證明：連結 BiDi.因為四邊形 AiBiCiDi為正方形，所以AiG丄B1D1.在長方體 ABCD- ABGDi中，DD丄平面 ABGD,又AiG?平面AiBiCiDi，所以DD丄AQ .因為 DDQBiDi=D, DD?平面 BBDiD, BiD1?平面 BBDD,所以 AG丄平面 BBDD.又DIE?平面BBDiD，所以DiE丄AiG.(4分)(H)解：連結 BC,過E作EF/ BG交BiCi于點F.因為 AD/ BCi

17、,所以 AD/ EF.所以A、E、F、Di四點共面.即點 F為滿足條件的點.又因為 BiE=2EB所以BiF=2FG，所以諾B&禺_( 8分)(川)解：四邊形 BEDD為直角梯形，幾何體 ABEDD為四棱錐A- BEDD.BDI 因為.丄I =.=1 ，點a到平面BEDD的距離h丄廠二，所以幾何體ABEDD的體積為：，=.(13 分)乜-:g題型二面面垂直的判定例2.如圖，在三棱錐 P ABC中，PA!底面ABC ABC為正三角形，D、E分別是BC CA的中點.求證：平面 PBEL平面PAC如何在BC上找一點F,使AD/平面PEF?并說明理由(I)： PA丄底聞AB匸，$E 二匚，-PA丄(E

18、. tl 廿)黑A ABC杲王二呈F)，弓E為皐中點、-BE LCA. ( 25)SPA 1CA=A翌丄平UjPAC，7甘 BE 二平面PEE.平KPBH-L T S?AC.)(11 r： SKD審中臣i揺EF網(wǎng)卩即旬斯葦.(75J)丁即F分別溝CA，CD的中點./. BF U). (8#)又郎二平伍PEP，AI)cT面per.丸1&平西PEF “【沙廿【變式1】如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE丄平面ABCD .證明：平面 AEC丄平面BED.【解答】證明：(I)：四邊形 ABCD%菱形， ACLBD t BE!平面ABCD ACL BE,貝U ACL平面 BED ： A

19、C?平面 AEC 二平面 AECL平面 BED【變式2】如圖，三棱臺 DEF- ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中占I 八、求證：BD /平面FGH ;若CFLBC，AB丄BC,求證：平面 BCD丄平面EGH .【解答】在三棱臺DEL ABC中，AB=2DE G為AC 的中點.二DF H GC，A四邊形CFDG是平行四邊形， DM=MC又 BH=HC MH/ BD,又 BD?平面 FGH MH 平面 FGH BD/ 平面 FGH證法二：在三棱臺 DEF- ABC中，AB=2DE H為BC 的中點.；.丄二，四邊形BHFE為平行四邊形 BE/ HF.在厶ABC中, G為AC的中點

20、，H為BC的中點，二GIH/ AB又GH? HF=H二平面FGH/ 平面 ABED： BD?平面 ABED 二 BD/平面 FGH(II )證明：連接HE T G, H分別為AC, BC的中點，二GH/ AB ： AB丄BC, GHL BC,又 H為 BC的中點，二 EF/ HC, EF=HC： EFCH是平行四邊形，二 CF/ HECF丄 BC,二 HE! BC 又 HE GH 平面 EGH HEH GH=H BCL平面EGH又BC?平面BCD二平面BCDL平面EGHN分別是AC、AD的中點,【變式3】如圖所示,已知AB丄平面BCD , M、BCLCD.求證：平面BCD丄平面ABC .【解答

21、】因為AB丄平面BCD CD?平面BCD 所以AB丄CD又 CDL BC, ABA BC=B所以CDL平面ABC又CD?平面BCD所以平面BCDL平面ABC【變式4】如圖，已知在四棱錐 P- ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AD是正三角形，平面 PAD丄平面ABCD, E, F, G 分別是 PD, PC, BC 的中占八、求證：平面EFG丄平面PAD ;（2）若M是線段CD上一點，求三棱錐M - EFG的體積.【解答】（1）v平面PADL平面ABCD平面PACT平面 ABCD=A，CD?平面 ABCD CDLAD CDL平面 PAO-（ 3 分）又 PCD中, E、F分別是PD

22、PC的中點， EF/ CD 可得EF丄平面PAD EF?平面 EFG 二平面 EFGL平面 PAD （ 6分）（2）v EF/ CD EF?平面 EFG CD?平面 EFG CD/ 平面 EFG因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離, VM-efg=VD-efg,取 AD的中點 H連接 GH EH 貝U EF/ GHv EF平面 PAD EH?平面 PAD 二 EF丄 EH于是 Sefh=-EFX EH=2=Sefg,平面EFGL平面PAD平面EF 平面PAD=EH EHD是正三角形點D到平面EFG的距離等于正 EHD的高,即為.； , （ 10分）因此，三棱錐 M- E

23、FG的體積 Vm-efg=VD-efX S efgX =；.（ 12 分）33的【變式5】如圖，已知AB丄平面ACD , DE/AB, AD=AC=DE=2AB=2 , 且 F 是 CD中點，AF=.（1）求證：AF/平面BCE;（2）求證：平面 BCE丄平面CDE;（3）求此多面體的體積.【解答】證明：（1）取CE中點P,連接FP、BP, v PF/ DE且FP=1又AB/ DE,且 AB=1, AB/ FP,且AB=FP ABPF為平行四邊形, AF/ BP. （2分）又v AF?平面BCE BP?平面 BCE - AF/平面 BCE（4 分）（2）證明：v AD=AC F是CD的中點,A

24、二&;.所以 ACD為正三角形，二AF 丄CDv AB丄平面 ACD DE/ Ab DEL平面 ACD 又 AF?平面 ACD - DEI AF.又 AFL CD cm DE=D - AF丄平面 CDE又 BP/ AF, BP丄平面 CDE又v BP平面BCE, 平面BCEL平面CDE.（3）此多面體是以C為頂點,以四邊形ABED為底邊的四棱錐,等邊三角形AD邊上的咼就是四棱錐的咼T二二.：二：:；二: （12分）【變式6】如圖，三棱柱ABC - AiBiCi的側面AAiBiB為正方形，側面AB 丄 BiC.BBiCiC 為菱形，ZCBBi=60(I)求證：平面AAiBiB丄平面BBiCiC;

25、(II )若AB=2，求三棱柱 ABC -AiBiCi 體積.【解答】(I)證明：由側面 AAiBiB為正方形，知AB丄BB .又：AB丄BiC,BBGBiC=B,. AB丄平面 BBGC，又：AB?平面 AABB,：平面 AABB 丄 BBGC.(U)由題意，CB=CB設0是BB的中點，連接 CO則COLBB.由(I) 知, COL平面 ABBiA,且 CO=!bcaB* .2 2連接AB,則比譏層眄?C0= XABCO警.m =比-坷B C 卻皿-A F c 誇3，二V三棱柱二勵.1111 L 113【變式7】如圖，四邊形 ABCD為梯形，AB /CD, PD丄平面ABCD , ZBAD=

26、ZADC=90 DC=2AB=2a , DA=a, E為 BC 中點.(i)求證：平面PBC丄平面PDE;(2)線段PC上是否存在一點F,使PA /平面BDF ?若有，請找出具 體位置，并進行證明；若無，請分析說明理由.【解答】(i)證明：連結BD / BAD=90 ,-/ - ； BD=DC=2,a E為 BC中點，二 BCLDE又PDL平面 ABCD BC?平面ABCD BCL PD, DG PD=D 二 BCL平面 PDE BC?平面PBC二平面PBCL平面PDE(2)如上圖，連結AC交BD于 O點，貝CODDC=2Ab 靠疇斗在PC上取F,使FF誌FC ；連接OF則OF/ PA而OF?

27、平面BDF, PA?平面BDF； PA/ 平面 BDF題型三：面面垂直性質應用ABCD是/ DAB=60且邊長為 a的菱形，側面ABCD若G為AD邊的中點.例3.如圖所示，在四棱錐 P ABCD中,底面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面求證：BGL平面PAD求證：ADL PB.證明；Cl -AED為尊邊三胃砒且G為麵的中點EG 丄又平面PAD平面ABCD,附_平面PAD(2) FAD曇等邊三宙時且GJAD的中宜,.AD_PG且AU丄BG. PGnBG-Gj&D亠平面PBG；AD1PB【變式1】如圖，已知在四棱錐 P- ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AD是正三角形，平面 PAD

28、丄平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是pd，pc，bc的中點.求證：平面EFGL平面PAD ;若M是線段CD上一點，求三棱錐 M - EFG的體積.【解答】(1)v平面PADL平面 ABCD平面PADT平面 ABCD=ADCD?平面abcd cdlad cdl平面 pad 又 PCD中, E、 分別是pd PC的中點， EF/ cd 可得 EFL平面 PAD. v EF?平面 EFG 平面EFGL平面PAD(2)： EF/ CD EF?平面 EFG CD?平面 EFG 二 CD/平面 EFG因此CD上的點M到平面EFG的距離等于點D到平面EFG的距離，二 VefG=VDEFG取AD的中點H連接GH

29、EH 則EF/ GHv EF丄平面PAD EH?平面PAD二EF丄EH于是 Saefh-EFX EH=2=Sefg, v 平面 EFGL平面 PAD 平面 EF平面 PAD=EHXSa efgX：.3【變式2】 已知點P是菱形ABCD外一點，/ DAB= 60，其邊長為a,側面 EHD是正三角形，.點D到平面EFG的距離等于正 EHD的高,即為_，因此，三棱錐 M- EFG的體積Vm-efg=VD-ef臺PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD G為AD的中點.求證：AD丄PB 若E為BC邊中點，能否在棱PC上找 一點F,使平面DEFL平面ABCD并證明 你的結論.解析證明：連接BG P

30、G.v四邊形ABCD1菱形且/ DAB= 60 .二BGLAD.又厶PAD為正三角形，且 G是AD中點，二PGLAD.v PGH BG= G,a ADL平面 PBG又 PB?平面 PBG 二 ADL PB.(2)當F是PC中點時，平面DEFL平面ABCD.證明如下：取PC的中點F,連接DE EF、DF.在厶PBC中, EF/ PB.在菱形ABCD 中，BG/ DE.平面 DEF/ 平面 PGB.v 平面 PADL平面 ABCD PGL AD. a PGL平面 ABCD.又PC?平面PGB.a平面PGBL平面ABCD/.平面DEFL平面ABCD.題型四求點面的距離例4.如圖，已知在長方體 ABC

31、D-ABGD中,D1A .BCD,的距鳥”妊點R作甜人府于懇C1CV 甌丄f尙為砂尅X MME二氐域E丄乎面小購線貝離$的 氏即為所取”形,棱A Ai=5, AB=12求直線BiCl到平面AiBC D的距離.【變式】如圖，在四棱錐 P-PA丄平面 ABCD , AP=AB=1 , E, F 分別是 PB ,PC的中點.ABCD中，底面 ABCD是正方?(I )求證：AE丄PC;（n ）求點A到平面PBD的距離.【解答】（I）證明：T AP=AB , E是PB的中點， AE1PB / PAL平面 ABCD： PAL BC,v AB丄 BC 且PAH AB=A BC丄平面 PAB / AE?平面

32、PAB AE1 BC , / pba bc=b AE!平面 PBC - AE1 PC .（6 分）(n)解：設點 A到平面PBD的距離為d,利用體積法，嘰血譏沁=刖圖血尸召，點a到平面pbd的距離為3 .課后作業(yè)對于任意的直線I與平面，在平面 必有直線m與I ()A. 平行 B. 相交 C.垂直 D.互為異面直線若平面 丄平面，I，點P ,P I，則下列命題中的真命題有( )過P垂直于I的平面垂直于；過P垂直于I的直線在 內;過P垂直于 的直線平行于 ；過P垂直于 的直線在 內.A. B. C. D. 空間四邊形ABCD中，若ADLBC,BDLAD那么有（）A.平面ABCL平面ADCB. 平面ABCL平面ADBC.平面ABCL平面BDCD.平面ADCL平面BDC4.若m,n是兩條不同的直線,a,B,丫是三個不同的平面，則下列結論中正確的是（）A.若 m? B, aL B,則 m 丄 aB.若 aA Y=m , pH = n , m / n,貝 UaBC.若 mXp,m /a,貝 UaLp D.若aL Y,aLp，貝U pL 丫6.如圖所示，四棱錐 P ABCD勺底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱 PA=a, PB=PD=. 2 a ,則它的5個面中，互相垂直的面有7.三個平面兩兩互相