狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程

1、第二章狀態(tài)波函數(shù)和薛定諤方程本章引入描述量子體系狀態(tài)的波函數(shù)，給出波函數(shù)的幾率波解釋和態(tài)的疊加原理兩個量子力學的基本假設，在此基礎上建立非相對論量子力學的基本方程一一薛定諤(Schr&dinger)方程，并通過幾個具體實例介紹定態(tài)薛定諤方程的解法。2.1波函數(shù)的幾率波解釋波函數(shù)由第一章的討論可知，微觀粒子的波粒二象性是對粒子運動的一種統(tǒng)計性的反映。數(shù)學上，把這種具有統(tǒng)計性的物質波(粒子波)用一個物理量屮來描述，稱為波函數(shù)。它是位置(x,y,z)和時間t的復值函數(shù)，表示為屮或屮(x,y,z,t)。微觀體系的狀態(tài)總可以用一個波函數(shù)屮(r,t)來完全描述，即從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質，帥(r

2、,t)和內(r,t)(C為比例常數(shù))描寫同一量子狀態(tài)。引入波函數(shù)來描寫微觀粒子的運動狀態(tài)是量子力學的基本假設之一。波函數(shù)的幾率波解釋在歷史上，人們對波函數(shù)的解釋曾有過不同的看法。有人認為波是由它所描寫的粒子組成的；也有人認為粒子是無限多波長不同的平面波疊加而成的波包。除以上兩種觀點外，還有其它一些不同的看法。但是，這些看法都與實驗事實相矛盾，而被物理學家們普遍接受的解釋是玻恩(Born)提出的統(tǒng)計解釋，即幾率波解釋。為了說明玻恩的解釋，我們首先來考察電子的雙縫衍射試驗。在電子的雙縫衍射實驗中，電子槍發(fā)射強電子束時，熒光屏上馬上顯示出明暗相間的雙縫衍射條紋，這是電子的波動性的表現(xiàn)。當電子槍發(fā)射弱

3、電子束時，屏上接收的只是一個一個的亮點(電子)，這體現(xiàn)了電子的微粒性。若對弱電子束的衍射作長時間的曝光，則得到的衍射花樣與強電子束的衍射花樣完全相同。實驗表明，在出現(xiàn)亮條紋的地方，亮點較密集，電子投射的數(shù)目較多，即電子投射幾率較大；而在比較暗的地方，達到的電子數(shù)目較少，即電子投射的幾率較小。電子在衍射實驗中所揭示的波動性質，可看成是大量電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結果，也可以認為是單個電子在多次相同實驗中顯示的統(tǒng)計結果。因此用來描述具有統(tǒng)計性的物質波的波函數(shù)也一定具有統(tǒng)計特點。據(jù)此，德國物理學家玻恩在1924年提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：空間某點波函數(shù)絕對值的平方乘以該點附近的小體積元di三dxdyd

4、z,即I屮(r,t片dt表示在t時刻在r點附近dt小體積元內找到粒子的幾率。這表示，描寫粒子的波是一種幾率波，而不是真實存在的實體，不是可觀測的物理量。波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是波函數(shù)的一個重要性質。在經(jīng)典物理中，一個經(jīng)典波可以用實數(shù)也可以用復數(shù)表示，用復數(shù)表示僅僅是為了數(shù)學上的方便，實際上只有實部才有物理意義。在量子力學中，波函數(shù)一般必須用復數(shù)表示，有物理意義的既不是實部，也不是虛部，而是它的絕對值的平方IW(r,t)I2，它表示粒子在空間r點附近單位體積內出現(xiàn)的幾率稱為幾率密度，通常用w(r,t)表示，而W叫幾率振幅，或幾率幅。練習1：設粒子波函數(shù)為屮（x,y,z），求在Xx+dx范圍內發(fā)現(xiàn)粒子的

5、幾率。解：由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋可知:I屮I2d代表在xTx+dx,yTy+dy,zTz+dz范圍內發(fā)現(xiàn)粒子的幾率,則在xTx+dx范圍內不論y,z取何值的幾率為（口1屮|2dydz）dx.練習2：設在球坐標中，粒子波函數(shù)為屮（r,e,申）求：（1）在球殼（r,r+dr）中找到粒子的幾率，（2）在（0,申）方向的立體角d0中找到粒子的幾率。解：在球坐標中，體積元的形式為di=r2drsin0d0dq，（1）在球殼（r,r+dr）中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為I屮（r,0,q）I2sin0d0dqr2dr.q=00=0（2）在（0,q）方向的立體角中找到粒子的幾率為卩I屮(r,0,q)I2r2drd0,0其中d

6、0=sin0d0dq.波函數(shù)的歸一化量子力學第一基本假設告訴我們，I5I2與I屮I2描寫同一微觀狀態(tài)，這是因為|C屮|2和I屮(r,t)I2I屮(r,t)I22I屮I2表示的幾率分布是一樣的。比如粒子出現(xiàn)在空間1與t兩點的相對概率可表示成:。這說明量子力學中波函數(shù)描述的是相對幾率密度分布。這與經(jīng)典波（聲波、光波等）完全不一樣，經(jīng)典波的振幅增加一倍，則其波動能量增加為原來的四倍，為兩種完全不同的態(tài)。既然I屮（r,t）I2di表示t時刻，r點附近di體積元發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，而非相對論下,實物粒子不會產(chǎn)生或湮滅，必定會在空間某點出現(xiàn)，則對一個粒子而言，它在整個空間出現(xiàn)的幾率為1，數(shù)學上表示為：1)Jl

7、v(r,t)|2du二1.這稱為波函數(shù)的歸一化條件，滿足上式的波函數(shù)(r,t)稱為歸一化的波函數(shù)。為方便引入符號2)則歸一化條件可簡寫為：屮，屮=1或屮n=1。由于屮與內描寫同一量子狀態(tài)，所以描寫同一量子狀態(tài)的波函數(shù)形式不是唯一的，一般情況下，我們都是選取歸一化了的波函數(shù)來討論問題，對不是歸一化的波函數(shù)二即，通常需要把波函數(shù)歸一化，即要求W滿足下面條件：3)JI刖|2du=1,g式中積分號下的無限大符號表示對整個空間積分。由(3)式有IC|2=-4)JN|2du.gC稱為歸一化常數(shù)，其解具有不確定性，可以是正負實數(shù)，也可是復數(shù)。如考慮一個常數(shù)e/5(為實常數(shù))，因為1eiS|2=1，則|C|2

8、=CeiS2，eiS稱為相因子。由此可見，歸一化后的波函數(shù)可以含有一任意相因子，仍然不是完全確定的，為了方便，一般規(guī)定歸一化常數(shù)C取正實數(shù)，不討論相因子(=0)，這樣歸一化的波函數(shù)不會有相因子的不確定性。例假設粒子在一維空間中運動，已知描寫它的波函數(shù)為屮(x,t)=Ae1a2x2-丄t22式中a和為已知常數(shù)，A為任意常數(shù)。求：(1)歸一化波函數(shù)；(2)粒子坐標的幾率密度分布；(3)粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。解：(1)在一維空間中，歸一化條件為J”(x,t)|2dx=1,于是有屮(x,t)=Aei(kx-).7)1=|A|2fe-a2x2dx=2|A|2fe-a2x2dxg0=21A12,a所以

9、歸一化的波函數(shù)為屮(x,t)=丄_丄2e2a2x2丄t22)粒子坐標的幾率密度分布為w(x)=1屮(x,t)|2=ae-a2x2兀(3)根據(jù)求最大值的條件，令則有dw(x)=odxe-a2x2=0，可得x=0，即在x=0處粒子出現(xiàn)的幾率最大。并不是所有的波函數(shù)都可以按(1)式或(3)式進行歸一化。這種歸一化條件要求波函數(shù)絕對值平方在整個空間是可以積分的，如果這個積分是發(fā)散的，則不能使用上述歸一化條件。關于這類波函數(shù)如何歸一化，以后遇到再介紹。4.自由粒子運動的波函數(shù)平面波自由粒子不受外場的作用，其能量E和動量P均不隨時間變化。由德布羅意關系知道，與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，它的頻率和波長都不

10、變，數(shù)學上稱為平面波。角頻率為，波長為九，沿x軸正向傳播的平面波可表示為：y=Acos(kxwt)，(5)。有時為了數(shù)學上的方便，也用復數(shù)形式表示：6)y=Aei(kxwt)，6)式中有物理意義的是其實部。在量子力學中波函數(shù)一般取復數(shù)形式，所以描寫一維自由粒子的平面波波函數(shù)取為：pE將德布羅意關系k=,=代入（7）式，得到具有確定動量p的一維平面波波函數(shù)：xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 屮（x,t）=Aei（pxx-Et），（8）Px將（8）式推廣至三維情況，具有確定動量p的自由粒子波函數(shù)為屮（r,t）=Aei（

11、p.r-Et），（9）p在某一時刻，如t=0，具有確定動量p的平面波函數(shù)表示為屮（r）=Ae卻.（10）p2.2態(tài)的疊加原理微觀粒子的量子狀態(tài)用波函數(shù)來描述，這與經(jīng)典力學的描述方法完全不同。在經(jīng)典力學中，粒子的坐標和動量有完全確定的數(shù)值，并且一旦給定某一時刻粒子的坐標和動量，不但可確定該時刻粒子的狀態(tài)，而且可以確定以后任何時刻粒子的狀態(tài)。而在量子力學中，粒子的力學量如坐標、動量等一般可以有許多可能值，這些可能值各自以一定的幾率出現(xiàn)。量子力學與經(jīng)典力學的這種差別來源于微觀粒子的波粒二象性，這種性質由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋來表現(xiàn)，還可通過態(tài)疊加原理表現(xiàn)出來。態(tài)的疊加原理若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)屮屮

12、，屮，則這些不同的可能狀態(tài)的線性1,2n疊加態(tài)屮=c屮+c屮+c屮+=c屮（c為復常數(shù)），也是該體系的一個可能1122nnnnnn的狀態(tài)。態(tài)疊加原理是量子力學的一個基本假設，無法從更基本的概念把它推導出來，它的正確性由實驗來驗證。量子力學對態(tài)疊加原理的解釋設體系有兩個可能的狀態(tài)屮和屮。當在屮狀態(tài)下，無論何時測量體系的某物理量121G（如能量）時，都有一個確定值g；當在屮狀態(tài)下，無論何時測量某物理量G，都有一個12確定值g。根據(jù)態(tài)疊加原理，屮=c+c屮也是體系可能的狀態(tài)，那么在屮態(tài)下測量21122力學量G，能得到什么樣的結果呢？量子力學告訴我們，在屮態(tài)下測量力學量G，每次測得的結果是不確定的，即

13、可能是g，也可能是g，但不會是另外的值，而測得g及g的相對概1212率是確定的。從數(shù)學上講，態(tài)的疊加原理就是幾個函數(shù)相加等于另一個函數(shù)，沒有新的物理意義.從經(jīng)典物理角度來看，量子力學對疊加原理的解釋是不可理解的。量子力學認為當粒子處于疊加態(tài)屮時,粒子既處在屮態(tài)，又處在屮態(tài)，只有這樣理解，才能夠解釋為什么在疊加態(tài)屮下測12量力學量G有時測到g，而有時測到g這種事實。疊加原理的正確性是通過實驗事實驗證12了的。3.任意波函數(shù)的平面波展開在經(jīng)典力學中，任何復雜波都可以看成是許多頻率不同的簡諧波疊加而成.在量子力學中，波函數(shù)也有類似的特點，根據(jù)疊加原理，任意一個波函數(shù)屮(r,t)都可以看成是各種不同動

14、量的單色平面波的疊加.以一個確定的動量p運動的粒子的波函數(shù)為一個平面波，其波函數(shù)為屮(r,t)=Aei(”-Et).(1)p任意波函數(shù)屮(r,t)可按上述平面波展開：屮(r,t)=工c(p(r,t).pp考慮到動量p可以連續(xù)變化，求和應改為積分：2)屮(r,t)=c(p)屮(r,t)dpgp股c(p茴pte-討dpg=aJ+gc(p,t協(xié)dp,g3)上式中采用了記號c(p,t)二c(p)eEt取歸一化常數(shù)A二一J(2nh)2屮(r,t)卜0c(p,t茴”dp.(2兀方)2g4)(4)式表示任意波函數(shù)屮(r,t)可以看成是將具有任意動量值p的平面波疊加在一起，在數(shù)學上就是屮(r,t)的傅立葉展開

15、。4.動量表象中的波函數(shù)(4)式的逆變換為c(p,t)=1(2兀力)2卜屮(r,t)e-ip：dr,g5)(4)、(5)兩式互為傅氏變換，由此可見，屮(r,t)和c(p,t)是對應的：已知屮(r,t),c(p,t)就完全確定了，反之亦然。既然屮(r,t)是完全描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，因此c(p,t)也可以用來完全地描述粒子的狀態(tài)。它們是同一個狀態(tài)的兩種不同的描述方式。兩者的區(qū)別在于：屮(r,t)是以坐標為自變量，稱為坐標表象的波函數(shù)；c(p,t)是以動量為自變量，稱為動量表象的波函數(shù)。由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：I屮(r,t)bdxdydz表示t時刻，r點附近di體積范圍內找到粒子的幾率，則c(p,t)

16、|2dpdpdp表示t時刻，粒子動量取值在xyzpp+dx,pp+dy,pp+dz范圍的幾率。相應的，I屮(r,t)I2表示t時刻，rxxyyzz點附近單位體積內找到粒子的幾率，而|c(p,t)|2表示t時刻，動量為p的粒子概率。I屮(r,t)|2和c(p,t)|2分別稱為坐標幾率密度和動量幾率密度。一般在量子力學中討論坐標幾率密度分布與動量幾率密度分布，我們只討論一維情況，即屮(x,t)=1c(p,t斷dp,(2兀方)2f6)c(p,t)=1J股屮(x,t)e-加dx.(2兀方)2p7)若僅考慮在某一時刻粒子的兩表象波函數(shù)的關系，在(6)、(7)式中取t=0，則有屮(x)=1J股c(p)e加

17、dp(2兀力)tf8)c(p)=1J股屮(x)e-ipxdx.(2兀方)；卞9)例一維運動的粒子處在屮(x)=v2九2xe-Ax,x0;0,x0。求:(1)粒子在動量表象中的波函數(shù)，粒子坐標幾率密度分布，粒子動量幾率密度分布。解：(1)將屮(x)帶入(9)式后做分部積分，便有c(p,t)=（2兀方）tr丄J股屮(x)efpxdxgxe-(九hP)xdx(九-耳)2n2）粒子坐標幾率密度分布為I屮(x)|2=屮*(x2(x)=N(x)2=4九3x2e2Ax.3）粒子動量幾率密度分布為|c(p)|2=c*(p)c(p)=(2九3加兀（九2方2+p2）22.3薛定諤方程在經(jīng)典力學中，體系運動狀態(tài)用坐

18、標和動量描述，它們滿足牛頓方程，如果知道初始條件，由牛頓方程可求出體系在其后任何時刻的運動狀態(tài)。在量子力學中，由量子力學第一基本假設（波函數(shù)假設）可知，體系的運動狀態(tài)由波函數(shù)屮（r,t）來完全描述，屮（r,t）如何隨時間演化？它滿足什么樣的運動方程呢？為回答這一問題，我們給出量子力學第二基本假設，即薛定諤方程假設：體系的狀態(tài)波函數(shù)屮（r,t）滿足薛定諤方程說理冬=H屮o,dt其中HH為體系的哈密頓（Hamilton）算符。對于薛定諤方程應注意如下幾點：薛定諤方程是1926年由薛定諤提出來的,它是量子力學的一個基本假設,不能從理論上推導出來,它的合理性已由實驗所驗證。/、。屮d卻薛定諤方程既然描

19、述波函數(shù)屮（r,t）隨時間t的演化規(guī)律，就必然含項，但不含亍dtdt210)項,否則要用兩個初始條恤（,0）及滬.才能確定屮（，t），這就意味著體系的初始狀態(tài)不能由波函數(shù)屮（r,0）完全描述，違反了波函數(shù)完全描述量子狀態(tài)的基本假設。薛定諤方程是虛數(shù)域上的方程,所以屮（r,t）一般表述為虛數(shù)。薛定諤方程適用于非相對論粒子。當力0時，它能過渡到經(jīng)典牛頓方程。下面我們來討論幾種情況下的薛定諤方程。1.自由粒子的薛定諤方程一個自由粒子不受勢場作用，其波函數(shù)為平面波:屮(r,t)=Aei(”-EE)2）2）式是自由粒子薛定諤方程的解，兩端對時間求一階偏導數(shù)，可得彷冀0=帥（r,t），（3）dt由（3）式

20、可以看出，粒子能量E與下面作用在波函數(shù)上的算符相當：八dE=滴一（4）dt稱為能量算符。再求（2）式兩端分別對坐標x,y,z的二階偏導數(shù)：.d卻(滴)2P2屮，dx2xd卻(滴)2=P2屮，dy2yd沖（滴）2=p2屮，dz2z將（5）、（6）、（7）式相加，得(彷)2(+)屮(r,t)=(p2+p2+p2)屮(r,t)dx2dy2dz2xyz(6)(7)8)已知算符v=dij+?k,v2=d-+$+巻，且p2=p-p=p2+p2+p2,dxdydzdx2dy2dz2x所以（8）式可寫為yz(滴)2V2屮(r,t)=p2屮(r,t).9)由（9）式可以看出，粒子的動量p與下面作用在波函數(shù)上的算

21、符相對應:p=ihV(11)4.算符小結p二-滴呂。zozTOC o 1-5 h zQ0稱為動量算符其三個分量式為Pxioxpyi09對于自由粒子,能量與動量的關系滿足:卩為粒子的質量。(11)式兩邊同乘屮(r,t)，得 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 砌(r,t)=PV(r,t).(12)2卩將(4)、(10)兩式代入(12)式可得0屮(r,t)加i=-V2屮(r,t)，(13) HYPERLINK l bookmark123 o Current Document Ot2卩這便是自由粒子的薛定諤方程。P2八方2考慮到自由粒子的動能T=，可

22、引入動能算符T=-V2，自由粒子勢能為零, HYPERLINK l bookmark183 o Current Document 2卩2卩其總能量就是它的動能，即H=T，H為經(jīng)典力學中的哈密頓量。由此引入哈密頓算符:2H=T=-V2，貝J(13)式可表示為：2卩0入i屮(r,t)=Hv(r,t).(14)Ot2.勢場中粒子的薛定諤方程勢場中運動的粒子，其總能量為動能與勢能之和.設粒子在勢場中的勢能為U(r),貝粒子的能量和動量關系式為15)上式兩邊同乘屮(r,t)，并以(4)、(10)兩式代入，可得i丁屮(r,t)=-V2+U(r)V(r,t),(16)Ot2卩該式即為勢場中運動粒子的薛定諤方

23、程。p2此種情況下，H=+U(r)，相應的哈密頓算符為2卩代入(16)式得2H二V2+U(r),2卩di屮(r,t)=H屮(r,t)ot17)18)對于不同的運動粒子，方程中的方具有不同的形式。方程(18)稱為含時薛定諤方程。多粒子體系的薛定諤方程N個粒子的體系，其坐標分別為r,r,r，體系總波函數(shù)屮為r,r,r的函數(shù),TOC o 1-5 h z12N12N即屮=屮(r,r，尸,t)，體系總能量為ET+U，艮卩12NE-藝笙+U(r,ir，r).(19)2卩12N-體系勢能U包括N個粒子在外場中的勢能U(r)與粒子間的相互作用能ii1V(r,r,r)。TOC o 1-5 h z12N上式兩邊同

24、乘波函數(shù)屮(r,rr,t)，并作代換12N八oEi,pihV,Otii則得i力f屮(r,r，r,t)迓V2+U(r,r,r(r,r,r,t).(20)Ot12N2ui12N12Ni1i這便是多粒子體系的薛定諤方程，按照前述規(guī)則，體系的哈密頓算符為H-遲空V(21)2卩i12N練習：寫出氦原子(核帶有+2e電荷)中的兩電子體系的哈密頓算符及相應的薛定諤方程。解：由(21)式，該體系的哈密頓算符為占右212e21e2H乙V2+乙()+2pi4ker4ke|rrIi1i0i1i012相應的薛定諤方程為O八i屮(r,r,t)H屮(r,r,t).Ot12123)動能算符：這里我們對前面給出的算符形式作個

25、小結。能量算符：能量算符：E=滴.333ix3xy3yz3z動量算符：P=一滴V.,其分量p=_i,p=_i,p=_i.勢能算符：U(r)=U(r).2哈密頓算符：H二T+U(r)二V2+U(r).能量算符與哈密頓算符是有區(qū)別的，當U不含時時，H與E一致，也可以叫能量算符。2對于自由粒子U(r)二0，所以有H二一V2。2.4定態(tài)與定態(tài)薛定諤方程含時薛定諤方程反映了波函數(shù)如何隨時間演化問題。此波函數(shù)是普遍的，可以描寫任意量子態(tài)。這些量子態(tài)中包括能量本征態(tài)(能量具有確定值狀態(tài))，動量本征態(tài)(動量具有確定值狀態(tài))，能量疊加態(tài)(能量無確定值狀態(tài))等。本節(jié)我們討論一種特殊而常見的狀態(tài)，即定態(tài)；給出定態(tài)波

26、函數(shù)的形式及其所滿足的運動方程定態(tài)薛定諤方程。1.定態(tài)若勢場U(r)不顯含時間t，則每次測量體系的能量時均有確定值，體系所處的這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)時，體系的波函數(shù)及薛定諤方程有什么樣的數(shù)學形式呢？2.定態(tài)薛定諤方程U(r)不含時時，含時薛定諤方程為3t2卩1)設方程的特解為2)屮(r,t)二屮(r)f(t)，代入(1)式，經(jīng)分離變量可得如下兩個方程2TOC o 1-5 h z-V2+U(r)M(r)=刖(r).(4)2卩方程(3)的解是f(t)=Ce-鈾,(5)將(5)式代入(2)式，并將常數(shù)C歸入屮(r)內，則有屮(r,t)=屮(r)e-Et,(6)式中，E是體系處于這個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)

27、時的能量。由此可見，體系處于定態(tài)時，能量具有確定值。描寫該狀態(tài)的波函數(shù)(6)式稱為定態(tài)波函數(shù)。引入哈密頓算符2H=-V2+U(r),2卩(4)式可寫為H屮(r)=刖(r).(7)該方程不含時間t,稱為定態(tài)薛定諤方程。這種類型的方程稱為本征值方程，E稱為算符方的本征值(即能量本征值)，屮稱為算符H的本征函數(shù)，它所描述的狀態(tài)稱為本征態(tài)。練習1自由粒子的單色平面波是否處于定態(tài)？答：自由粒子無外場作用處于定態(tài)，其波函數(shù)形式為屮(r,t)=Aei(”-Et)=屮(r)e鼬.練習2幾個不同單色平面波的疊加態(tài)是否為定態(tài)？答：不是，因為能量不確定。疊加態(tài)的波函數(shù)為屮(r,t)=c屮(r,t)+c屮(r,t)+

28、PPP2P2=屮(r)eEp11+屮(r)eep2t+P1P2練習3兩個沿相反方向傳播的具有相同能量(同色)的平面波疊加態(tài)是否為定態(tài)？答：以上平面波疊加以后形成駐波，處于定態(tài)。若所討論體系所處外場U(r)不顯含時間，即為定態(tài)問題。這時求體系的波函數(shù)屮(r,t)及與此定態(tài)相對應的能量E，就歸結為解定態(tài)薛定諤方程(7)，求出屮(r)和E。函數(shù)屮(r)求出后乘上時間因子e鼬，即為定態(tài)波函數(shù)。有時為了方便，也稱屮(r)為波函數(shù)。練習2一般來說，方程(7)的解不唯一，即可能的態(tài)和可能的能量不只一個，以E表示體系n能量算符的第n個本征值，屮(r)是與E相應的波函數(shù)，則相應能量本征值方程為nnH屮(r)=E

29、屮(r)，nnn8)體系第n個定態(tài)波函數(shù)是屮(r,t)(r)ehEn.nn含時薛定諤方程的通解，可寫為這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加:9)屮(r,t)=工c屮(r,t)=工c屮(r)e品n.nnnnnn在定態(tài)問題中，若已知波函數(shù)初始值，則可確定任意時刻t時的波函數(shù)。設定態(tài)波函數(shù)10)為屮(r,t)(r)e細，屮(r)為任意時刻波函數(shù)的坐標部分。當t=0時，屮(r,0)=屮(r)。在定態(tài)下，坐標幾率密度分布不隨時間變化，即I屮(r,0)12=1屮(r,t)b=1屮(r)b，則屮(r,t)(r,0)e一詛,11)可見U(r)不含時時，知道初始時刻的波函數(shù)，乘上時間因子后就是t時刻的波函數(shù)。練習1已知一維

30、自由粒子在初始時刻的波函數(shù)為屮(x,0)=1扣,(2兀方)12求其在任意時刻的波函數(shù)屮(x,t)。解：自由粒子U(r)=0，U不顯含時間t，屬定態(tài)問題。由(11)式:E=巴=玄,2m2m式中po為初始時刻動量，所以1丄i-P02屮(r,t)=epxef2m(2兀方)123)設一非定態(tài)波函數(shù)在t0時為屮(r,0)c屮(r)+c屮(r)求任意時刻該波函數(shù)的形式屮(r,t)。解：任意時刻該波函數(shù)的形式為屮(r,t)屮(r,t)+屮(r,t)EE屮(r,0)e一冏+屮(r,0)e以勺EE.c屮(r)eEit+c屮(r)e以E2.練習3當體系勢能改變一常數(shù)，粒子的能量本征函數(shù)是否改變？能量本征值是否改變

31、？解：設已知哈密頓算符H的本征方程為H屮(r)E呻(r)，0nnn當體系勢能平移u時，即HH土u，則H滿足的本征值方程為000Hv(r)(HUN(r)(E0U)屮(r)，n00nn0n所以H與H的本征波函數(shù)是一樣的，而H的本征值變?yōu)镋0U。0n02.5幾率流密度與幾率守恒定律體系波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律滿足薛定諤方程，而屮本身無經(jīng)典物理意義，有物理意義的是I屮I2w(r,t)，稱之為幾率密度。那么一個在勢場U(r)中運動的粒子，它的幾率密度隨時間的變化滿足什么樣的方程呢？下面就這一問題進行討論。1.幾率守恒定律設描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)為屮(r,t)，則在時刻t在r點附近單位體積內粒子出現(xiàn)的幾率(即

32、坐標幾率)是1)2)w(r,t)Iv(r,t)I2v*(r,t)v(r,t)，w隨時間的變化率是屮十屮*dtdtdt由薛定諤方程(2.5節(jié)(16)式)可得（3）式中，我們假定U（r）不含時，并且為實數(shù)，即U*二U（在量子力學中，如不做特別聲明，都假定U取實數(shù)），則上式的復共軛方程為4)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 竽=Jw屮*-1U(r)屮*.dt2口i方將（3）、（4）式代入（2）式中，得dwdt=V帥*V屮一屮V屮*）（5）2卩令J三3V屮*屮*V），（6）2卩則（5）式可寫成 HYPERLINK l bo

33、okmark187 o Current Document 學+VJ二0.（7）dt此方程是經(jīng)典物理中的連續(xù)性方程，量子力學稱之為幾率守恒定律（微分式），也叫粒子數(shù)守恒定律。在方程（7）中，w代表幾率密度，而按照連續(xù)性方程，J應具有流密度的含義，所以叫做幾率流密度。為了進一步說明（7）式的意義，我們將（7）式對空間任意體積V求積分得8)fwdT=JvJdT,dtVVS8)式可進一步寫為9)（9）式也稱為幾率守恒定律的積分式，它表示單位時間內體積V中增加的幾率，等于從體積V外部穿過V的邊界面S而流進V內的幾率。而矢量J的大小表示單位時間內流過垂直于流動方向單位面積的幾率，其方向為該點幾率流動的方向

34、。幾率為什么會流動呢？在外場U（r）的作用下，粒子在r處出現(xiàn)的幾率密度w可能會隨時間變化，有的地方密度增加了,有的地方密度減少了（非相對論粒子既不產(chǎn)生，也不湮滅，總數(shù)目不變），這表明幾率在流動。練習：若波函數(shù)屮（r,t）與坐標有關的部分是實數(shù)，證明幾率流密度等于零。證明：屮為實數(shù)波函數(shù)，即屮*=屮，由（6）式可得J=0，即實數(shù)波函數(shù)的幾率流密度為零。將（9）式的積分區(qū)域V擴展到整個空間，這時S界面之外的幾率為零，則有II屮卩dT二0,（10）dt這說明II屮I1屮卩=有限值.V以上三個條件稱為波函數(shù)的標準條件。這些條件在求解量子力學問題中具有重要的作用。實際上在勢能間斷點處邊界條件的實質是，要

35、求幾率密度連續(xù)和幾率流密度連續(xù)。在多數(shù)情況下，這種要求可以簡化為波函數(shù)連續(xù)和其一階導數(shù)連續(xù)。在特殊情況下（如U=g），其波函數(shù)一階導數(shù)不連續(xù)，但其幾率流密度卻是連續(xù)的。定態(tài)波函數(shù)的一階導數(shù)在勢能存在無窮大時是不連續(xù)的,這可以分為三種情況：.U連續(xù)或不連續(xù)，波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)；dT=常數(shù)。（11）g即對一個粒子來說，在全空間發(fā)現(xiàn)該粒子的幾率與時間無關，為常數(shù)；但是在有效體積V內找到粒子的幾率與時間有關。初始時刻，如卿為歸一化的，則在以后任意時刻t，屮總是歸一化的，在全空間內找到粒子的總概率是1。對非相對論實物粒子，無產(chǎn)生、湮滅現(xiàn)象，幾率守恒即相當于粒子總數(shù)守恒。2波函數(shù)的標準條件粒子的狀態(tài)可

36、以用波函數(shù)完全描述。那么怎樣的函數(shù)才能作為波函數(shù)，或者說數(shù)學上要求波函數(shù)滿足哪些條件呢？（1）單值性”（r,t）卩代表粒子的幾率密度，物理上要求它是單值的。這樣屮（r,t）不一定是單值的,但只要屮（r,t）是r，t的單值函數(shù)，I屮I2就是單值的，這就是波函數(shù)單值性的含義。（2）連續(xù)性由于w及J應當連續(xù)，且定態(tài)薛定諤方程包含屮（r,t）對坐標的二階導數(shù)，因此要求屮（r,t）及其對坐標的一階導數(shù)連續(xù)。當勢能躍變?yōu)橛邢拗禃r，上述性質依然成立；當勢能躍變?yōu)闊o限值時，屮不連續(xù)，波函數(shù)的連續(xù)性意味著屮I二0，所以一個粒子不可能進U=g入U=g的空間。（3）有限性（平方可積性）這是說粒子在有限的空間范圍內出

37、現(xiàn)的幾率有限，即6).U趨向無窮大(一階)，波函數(shù)連續(xù)，其一階導數(shù)不連續(xù)；.U趨向無窮大(二階以上)，波函數(shù)不連續(xù)，其一階導數(shù)不連續(xù)。2.6定態(tài)問題之一維無限深勢阱求解薛定諤方程是量子力學的核心任務。從本節(jié)起，我們將討論在幾種不同勢場下定態(tài)薛定諤方程的求解問題。我們只研究較為簡單的一維情況，首先討論一維無限深勢阱問題。如圖2-1所示，對稱勢場廠0,Ixla.0圖2-1一維無限深勢阱稱為一維無限深勢阱。它是一種最簡單的勢形式，金屬中自由電子的運動就可以簡化為在該勢場中的運動。在勢阱內，體系滿足的定態(tài)薛定諤方程為力2d即(x)TOC o 1-5 h z-=(x),Ixla，(3) HYPERLIN

38、K l bookmark387 o Current Document 2pdx20式中U0十。由波函數(shù)的連續(xù)性和有限性條件粒子進不到勢場為8的區(qū)域即4)將(2)式變形，得d22pE/、n屮(x)+屮(x)=0.(5)dx22由能量動量關系式2pE二p2及德布羅意關系式p2二加k2,得k2（7）（8）（9）10）（11）n=1,2,3.12)代入（5）式，方程變?yōu)閐2(x)+k2屮(x)=0,Ixla.dx2其解為屮(x)=csin(kx+c),Ixla.12在邊界處由(4)式得csin(一ka+c)=0,12csin(ka+c)=0.12即ka+c=i兀,i=0,1,2；2，ka+c=j兀,j

39、=0,1,2.2將上面兩式相減，得2ka=(j一i)k=n兀.式中，取n=1,2,3。當n=0時，k=0,E=0，粒子能量恒為零，沒有物理意義。當n為負數(shù)時，不給出新的解。將（11）式兩邊平方后代入（6）式，得到體系的能量為E代表體系的能量本征值，n為量子數(shù)。對于量子數(shù)n的全部可能值，有無限多個能量值,n因而能量是分立的，它們構成體系的分立能級，又稱為能量量子化。將、（1）式聯(lián)立，確定出分并與En一同代入到（8）式，根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件，并考慮到（4）式，可得體系的波函數(shù)為1=sin一a2asin巴(x+a),屮(x)=0,IxIa.13)屮（x）稱為體系的能量本征函數(shù)。n下面對解的物理意義

40、作幾點討論：束縛態(tài)與分立能級。由（13）式可見，粒子被束縛在-ax1的狀態(tài)稱為激發(fā)態(tài)。激發(fā)態(tài)的能級與量子數(shù)的平方成正比，能級分布不均勻；當量子數(shù)很大時，能級可以看作是連續(xù)的，量子效應消失而過渡到經(jīng)典情況。圖2-2給出一維無限深勢阱中粒子的前四個能量本征函數(shù)，由圖可看出，屮有n-1個節(jié)點。na圖2-2.一維無限深勢阱的能量本征函數(shù)阱內駐波。若阱內為駐波則此波在-a與a處為節(jié)點處，即n2a,n1,2,32將實物粒子波7占代入上式并平方得竺止-4a2,42卩En2兀2方2體系可能的能量為E-En-麗廠，n-1,2,3，這與（12）式完全相同，說明粒子完全束縛在阱內，形成駐波。對稱勢阱中波函數(shù)的宇稱。

41、波函數(shù)在空間反演(rt-r)下的奇偶性稱為宇稱。若屮(-r)=屮(r)，稱為偶宇稱態(tài)；若屮(-r)=呼(r)，稱為奇宇稱態(tài)。對于能量本征函數(shù)/、1n兀/、/、，znK、屮(x)=sm(x+a)，當n為奇數(shù)時，可化為屮(x)=Acos(x)，則有na2an2an兀屮(x)=屮(x)，是偶宇稱態(tài)；當n為偶數(shù)時，屮(x)=Bsin(x)，即屮(x)=-(x)，nnn2ann是奇宇稱態(tài)。練習1在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U(-x)=U(x)，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。練習2：一粒子在一維勢阱廠0,Ix12中運動，求其能量本征值E及能量本征函數(shù)屮.nn阱內粒子的第n個定態(tài)波函數(shù)為屮

42、(x,t)=屮(x)e與ejnn=sin(x+a)e與.a2a(14)2.7定態(tài)問題之一維線性諧振子在經(jīng)典力學中，質量為卩的粒子受到彈力F=kx作用時，其勢能為其中A為振U=2kx2=2x2，粒子將作簡諧振動，其振動方程為x=Asingt+5),22幅,為振動角頻率，5為初相。在量子力學中，也把在勢場U=2kx2=2叩2x2中運動的微觀粒子稱為一維線性諧振子，其勢能曲線為一拋物線，如圖2-3所示。討論線性諧振子問題具有非常重要的意義。許多微觀體系的運動可以近似地看成是平衡位置的線性諧振子運動，如原子核內核子的簡諧振動，原子和分子的簡諧振動等等。而許多復雜的微觀運動也可以看成許多線性諧振子簡諧振

43、動的疊加。下面我們就來解量子力學中的線性諧振子問題，即求體系的能級和波函數(shù)。圖2-3線性諧振子的勢能曲線體系的定態(tài)薛定諤方程為H屮=線性諧振子的哈密頓算符為21H=T+U=V2+叩2X22卩21）2）2上式中，T=-V2為動能算符，U二U為勢能算符，X=x為坐標（位置）算符。于是,2卩方程（1）可寫成屮(X)+(丄叩2X2一E)屮(X)=02口dX223）為了方便引入變量4）,卻如dg卻d斗d斗利用=a及=a2，并引入?yún)?shù)dXdgdXdgdX2dg2.2E入三廠，方程（3）可化為5）d2屮(g)dg2+(九一g2)屮(g)=0.6）方程（6）是變系數(shù)二階常微分方程?？上惹蟪龇匠淘趃時的漸進解，

44、然后再求方程在（Y，+8）區(qū)間的解。當gT8時，方程（6）可寫為7)d2屮(g)dg2它的解是屮點）=e2,根據(jù)波函數(shù)的標準條件，當時屮為有限，所以取屮（乙）=e-2。于是屮可寫成如下形式屮點）=e與HG），（8）式中，待求函數(shù)H憶）在E為有限時應是有限的，而當時，H憶）的行為也必須保證屮憶）為有限。將（8）式代入方程（6）中，得到H憶）滿足的方程dHg)+(九1)H(g)=0.9)可以證明，只有當九=2n+1,n=0,1,210)時，方程（9）才有一個多項式解，保證”（g）滿足波函數(shù)的標準條件。將（10）式代入（5）式得E=（n+丄）加,n=0,1,2.（11）n2這是一維線性諧振子的能量本

45、征值。對于不同的E，方程（9）有不同的解H（g），它可用下列微分式表示：ndne_g2TOC o 1-5 h zH（g）=（_1）n-eg2-，（12）ndgn稱為厄密（Hermitian）多項式。它滿足如下遞推關系=2nH_i（g），（13）H（g）2gH（g）+2nH（g）=0.（14）n+1nn_1下面列出前面幾個厄密多項式fH（g）=1,0H（g）=2g,J1H（g）=4g22,2H（g）=8g312g.（15）3由（8）式，對應于能量E的波函數(shù)是n屮(g)=NH(g)e2,nnn或屮(x)=NH(ax)e-1x2,(16)nnn其中，N是歸一化常數(shù)，由波函數(shù)的歸一化條件可定出n17)

46、:a2nn.丘線性諧振子前面幾個波函數(shù)為18)第n個定態(tài)波函數(shù)形式為屮(x,t)=NH(2x)e-2a2x2e4Ent,n=0,1,2.(19)nnn下面對解的情況作幾點討論：由于線性諧振子的勢能在x時，趨于無窮大，則粒子不能運動到無限遠處，處于束縛態(tài)，這與一維無限深勢阱中的粒子情況相同。所以其能量也取分立值：E=(n+1)h，能量是量子化的(圖2-4)。n2諧振子的基態(tài)能量E=丄力，稱為零點能，與經(jīng)典力學不同，量子力學中沒有能o2量為零、靜止的波。圖2-4線性諧振子的能級諧振子相鄰能級差為AE=E-E=恥，是均勻分布的。n+1n線性諧振子的波函數(shù)滿足關系式屮（-x）=（-l）n屮（X）,屮（

47、x）的奇偶性由n決nnn定。當n為奇數(shù)時，屮（x）為奇宇稱態(tài)，當n為偶數(shù)時，屮（x）為偶宇稱態(tài)。通常稱諧振子nn波函數(shù)屮（x）的宇稱為（-1）n。n諧振子的基態(tài)波函數(shù)為屮0（x）=善e-対2，相應幾率密度為aWo（x）T屮o（x）|2=肩心2，這是一種正態(tài)分布，也稱作高斯分布。如圖2-5所示，在圖2-5基態(tài)波函數(shù)x=0處，幾率密度最大，即找到諧振子的概率最大。但按照經(jīng)典力學，諧振子在x=0處（圖中虛線部分），勢能最小，動能最大，即速度最大，所以在x=0附近逗留時間最短，即在x=0附近找到粒子的幾率最小。這與量子力學結論相反。圖2-6給出線性諧振子幾率密度分布。可以看出粒子在原點出現(xiàn)的幾率要么最

48、大（n為偶數(shù)），要么為0（n為奇數(shù)）且粒子有一定的幾率出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)內（即粒子的總能量小于勢能U（x）的區(qū)域），這是一種量子效應。當量子數(shù)n增大時，幾率密度分布與經(jīng)典情況的相似性在增加，兩種情況在平均上已相當符合，差別只在2點）|2的迅速振蕩而已（見圖2-6（b）。25)x圖2-6線性諧振子的幾率密度分布以上是對一維線性諧振子的討論，如果是二維各向同性諧振子，則其哈密頓算符為方=7($+t)+2(x2+y2).2udx2dy22(20)定態(tài)薛定諤方程為H屮(x,y)=E屮(x,y),21)利用分離變量法，設E=E+Exy屮(x,y)=屮(x)9(y)22)代入(21)式，得到兩個方程：廠(+u

49、2x2)屮(x)=E屮(x),2udx22x1時，與能級E對應的態(tài)有多個(這些態(tài)之間是線性無關的)，這種情況叫n做能級簡并。例如當n=1時，可以有n=0,n=1或n=1,n=0，與能級E對應的態(tài)有xyxy1兩個，我們稱為基態(tài)能級的簡并度為2，以此類推，能級E的簡并度為f=n+1。nn同理，三維各向同性線性諧振子其能量本征值及本征函為1113(26)E=(n+)力+(n+)力+(n+)力=(n+)力，nx2y2z22屮nnnxy可以證明，(x,y,z)=NNNH(ax)H(ay)H(az)e-2x2+y2+z2)nnnxnyznxnyz第n個能級的簡并度為：f=(n+1)(n+2)。n2(27)

50、練習1：d利用厄密多項式的求導關系證明-練習2：利用厄密多項式的遞推關系，證明Wn2.8定態(tài)問題之一維勢壘隧穿在2.6，2.7兩節(jié)中我們分別討論了一維無限勢阱及一維線性諧振子問題，這兩個問題均屬于定態(tài)問題中的束縛態(tài)問題，其條件是體系的勢能在無限遠處為無限大，波函數(shù)在無限遠處為零。從而使得體系的能級是分立的。本節(jié)中，我們將討論定態(tài)問題的一個非束縛態(tài)問題一維勢壘隧穿。該問題中，體系勢能在無限遠處為有限，粒子波函數(shù)在無限遠處不為零，由于沒有無限遠處波函數(shù)為零的約束，體系能量可以取任意值，組成連續(xù)譜。考慮能量為E的粒子沿x軸正向入射到一維方勢壘的運動，其勢場為(見圖2-7)U0,0 xa;U(x)斗0

51、0,x0.(1)在經(jīng)典力學中，只要EU，則粒子可以越過勢壘運動到xa的區(qū)域，若EU的粒子有可能越過勢壘，但也0有可能被反射回來；Ea的0區(qū)域.U(x)Ix0a圖2-7一維方勢壘首先我們來討論EU情況下粒子的運動。此時，三個區(qū)域中粒子的波函數(shù)所滿足的0定態(tài)薛定諤方程分別是屮”(x)+k2屮(x)=0,111屮(x)+k2屮(x)=0,222屮(x)+k2屮(x)=0,333k1k2方22u(E-U)0-k=k,31x0;0 xa(2)方程(2)的解為屮(x)=Aeik1x+Ae-ik1x,x0;1屮(x)=Beik2x+Be-ik2x,0 xa.3i由于定態(tài)波函數(shù)為屮(x,t)=v(x)e-i3

52、，所以(3)中右邊第一項代表由左向右傳播的平面波,第二項代表由右向左傳播的平面波。Aeik11代表入射波，Ae-ik11代表反射波，Ce吋代表透射波，由于在xa區(qū)域，沒有反射，故沒有反射波Ce-ik咅。利用波函數(shù)及其微商在x=0及x=a處連續(xù)的條件，可得A+A=B+B,kA+kA=kB+kB,TOC o 1-5 h zv1122Beikga+Be-ik2a=Ceik1a,kBeik?。kBe-今=Ckeikf.(4)221解這一組方程，消去B和B，可以得出C、A和A的關系是4kke-ik1a(5)C=A，(k+k)2e-ik2a(kk)2eik2a1221222i(k2-k2)sinkaA=1

53、22A(k-k)2eik2a-(k+k)2e-ik2a122122(11)(10)（5）和（6）兩式給出透射波和反射波振幅與入射波振幅之間的關系。由這兩式可以求出透射波和反射波的幾率流密度與入射波幾率流密度之比。由幾率密度的定義式可得入射波的幾率流密度為Aeik1x(A*e-ik1x)一A*e-ik1x(Aeik1x)dxdx透射波的幾率流密度為反射波的幾率流密度為=客|A|2R卩反射波幾率流(7)透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數(shù)，用D表示密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù)，以R表示。由上面的結果，=|C|2=4k2k2+|AI2(k2k2)2sin2ka+4k2k212

54、212A2（k2-k2）2sin2ka.小=+22=1D|A|2（k2k2）2sin2ka+4k2k2這兩式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到xa區(qū)域，是守恒的。R=(8)212另一部分被勢壘反射回去，而總的幾率現(xiàn)在來討論EJ情況下粒子的運動。此時k2為虛數(shù)，可令i2卩(U=ia2(9)在上面的結論中用法代替勺，即可求得E化情況下粒子的透射系數(shù)和反射系數(shù):4k2a2D=1(k2+a2)2sh2aa+4k2a211廠(k2+a2)2sh2daR=i-(k2+a2)2sh2aa+4k2a221式中sh為雙曲線正弦函數(shù)。如果粒子的能量E很小，則a越大，當aa1時，有sh2aa(eaae-aa)2Ue2aa

55、4于是（10）式可寫為Zg+a)2e2a+44ak1因為k和a同數(shù)量級，aa1時，e2%4，所以上式可寫為iD二De-2aa二De觸2卩。-E）a，（12）00式中D為常數(shù)，其數(shù)量級接近于1。由此式可看出，D隨著勢壘的加寬或加高而減小。若0勢壘不是方勢壘，我們總可以把它看成是由許多方勢壘組成，如圖2-8所示。設每個方勢壘的寬度為dx，則粒子貫穿每個勢壘的透射系數(shù)為D二De-22血（x）-Edx0，(13)則穿透所有方勢壘的透射系數(shù)的乘積等于粒子穿透整個勢壘的透射系數(shù)，即DDe-22pu（x）-Edx0a我們把這種粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應。金屬電子冷發(fā)射和a粒子

56、衰變等現(xiàn)象都是由隧道效應產(chǎn)生。隧道二極管具有隧道效應的特性，而近年來發(fā)展起來的納米科學也是與隧道效應有關的一門新興學科。圖2-8任意形狀的勢壘2.9一維定態(tài)問題的一般特點這一章的前幾節(jié)已經(jīng)求解了幾個簡單的定態(tài)問題,初步掌握了求解定態(tài)薛定諤方程的基本方法,下面將其歸納總結成幾個基本步驟,以便于記憶和使用.另外,本節(jié)還討論一維定態(tài)的一般性質.2.9.1解題步驟求解一維定態(tài)問題的基本步驟為:存在束縛態(tài)解的條件由問題給出的位勢V(x)的具體形式畫出勢能曲線圖，明確要討論的能量區(qū)域。將正負無窮遠處的位勢稱為外區(qū)位勢，把其他區(qū)域的位勢稱為內區(qū)位勢。若欲求的能量低于兩個外區(qū)位勢的低者，并且，高于內區(qū)位勢中的

57、最低者，則存在束縛態(tài)的解，否則只有非束縛態(tài)的解。如果是非束縛態(tài)(勢壘隧穿)問題，則將在下一章解決。勢能在全空間連續(xù)可以利用波函數(shù)應滿足的自然條件(單值，有限和連續(xù))來求解。例如，線諧振子問題。勢能分區(qū)均勻時的波函數(shù)可以根據(jù)勢能的性狀，把求解區(qū)間分為幾個區(qū)域，比較欲求能量E與第i個區(qū)內位勢V.i的大小，可以直接寫出每個區(qū)域內波函數(shù)的形式。當EV時，有振蕩解，通?？梢赃x取如下三種形式之一i屮(x)=Aeikx+Ae-ikxi12(2.9.3)(2.9.4)屮(x)=Asin(kx+5)i屮(x)=Csin(kx)+Dcos(kx)i其中：2m(E-V)kln4勢能分區(qū)均勻時波函數(shù)的邊界條件若勢能存

58、在間斷點a，困為在勢能間斷處波函數(shù)的二階導數(shù)不存在，在數(shù)學上并不要求一階導數(shù)一定連續(xù)，而在物理上要求概率流密度連續(xù)。當間斷點兩邊的勢能皆為有限值時，要求波函數(shù)一階導數(shù)連續(xù)是適當?shù)?，?a)二屮i+1(a);i+1mi+1(2.9.5)在下面兩種情況下，不要求位勢間斷點兩邊的波函數(shù)一階導數(shù)連續(xù)。(1)當間斷點兩邊有一邊的位勢為無窮大時，只要求波函數(shù)連續(xù)，在3.2.1中，無限深勢阱即屬于這種情況。(2)對于5函數(shù)位勢(x)=af(x(x)(2.9.6)則要求波函數(shù)一階導數(shù)滿足屮，6+)-屮一)=2maf(0(0)i+1i力2i(2.9.7)5求出能量本征值及歸一化的本征波函數(shù)確定能量的解析表達式或能量滿足的超越方程，后者可用圖解法或數(shù)值解法求出能量的數(shù)值。再利用波函數(shù)的歸一化條件，確定波函數(shù)中剩下的最后一個常數(shù)，得到歸一化的波函數(shù)。6特殊條件下的解設已知哈密頓算符H的解，即0H屮(x)=E0(x)0nnn(2.9.8)如果H=H土V，或者x=x土a，則可以直接得到它們的本征解，式中V與a皆為實0010常數(shù)。當勢能平移土V時，即H=H土V滿足的本征方程為000H屮(x)=H屮(x)V屮(x)=(E0土Vb(x)(2.9.9)n0n0nn0n顯然，H與H的本征波函數(shù)是一樣的，而H的本征值變成e0V0n0當坐標平移土a時，即X=xa時，本征方程(3.6.8)變成Hb(xa)=E0