藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)5-函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性與周期性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)考點(diǎn)五 函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性(1) 單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù) 從圖象來看，增函數(shù)圖象從左到右是上升的，減函數(shù)圖象從左到右是下降的，如圖所示： （2）

2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間)2函數(shù)的奇偶性(1) 奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱(2) 判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是：考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱考察表達(dá)式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)

3、，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù)3函數(shù)的周期性(1) 周期函數(shù)的概念：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(xT)f(x)都成立，則稱yf(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期(3)一般地，如果T為函數(shù)f(x)的周期，則nT（nZ）也是函數(shù)f(x

4、)的周期，即有f(xnT)f(x)(4)最小正周期是指是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，這個正數(shù)是相對x而言的并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常數(shù)函數(shù)f(x)C（C為常數(shù)）就沒有最小正周期典例剖析題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷例1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是_. (填序號)yeq r(x1) y(x1)2 y2x ylog0.5(x1)答案 解析 由基本初等函數(shù)的性質(zhì)得，選項中的函數(shù)在(0，1)上遞減，選項，中的函數(shù)在(0，)上為減函數(shù)，選.變式訓(xùn)練 下列函數(shù)中，滿足“f(xy)f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是_. (填序號) f(x)xeq sup6(f(1,2)

5、f(x)x3 f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x) f(x)3x答案 解析f(x)xeq sup6(f(1,2)，f(xy)(xy)eq sup6(f(1,2)xeq sup6(f(1,2)yeq sup6(f(1,2)，不滿足f(xy)f(x)f(y)，不滿足題意f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y3，不滿足f(xy)f(x)f(y)，不滿足題意f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)，f(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(xy)eq blc(rc)(a

6、vs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(y)，滿足f(xy)f(x)f(y)，但f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)不是增函數(shù)，不滿足題意f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，滿足f(xy)f(x)f(y)，且f(x)3x是增函數(shù)，滿足題意解題要點(diǎn) 確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：(1)定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論(2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的單

7、調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，再根據(jù)“增增得增”“減減得減”“同增異減”得待確定函數(shù)的單調(diào)性(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，再確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性題型二 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例2如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案eq f(1,4)a0解析 當(dāng)a0時，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為xeq f(1,a)，因?yàn)閒(x)在(，4)上單調(diào)遞增，所以a0，且eq f(1,a)4，解得eq f(1,4)a0，則x3.函數(shù)ylog(x24x3)的定義域?yàn)?，1)(3

8、，)又ux24x3的圖象的對稱軸為x2，且開口向上，ux24x3在(，1)上是減函數(shù)，在(3，)上是增函數(shù)而函數(shù)ylogu在(0，)上是減函數(shù)，ylog(x24x3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，)，單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)解題要點(diǎn) 1.求單調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法2求復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：yf(u)，ug(x)；(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則yf(g(x)為增函數(shù)；若一增一減，則yf(g(x)為減函數(shù)，即“同增異減”3求單調(diào)區(qū)間時需注意兩點(diǎn)：最終結(jié)果寫成區(qū)間的

9、形式；不可忽視定義域題型四 判斷函數(shù)的奇偶性例4判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1) eq r(f(1x,1x)；(3) f(x)eq r(3x2)eq r(x23).解析 (1) 定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)(2)由eq f(1x,1x)0可得函數(shù)的定義域?yàn)?1,1函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(3) 因?yàn)閒(x)定義域?yàn)閑q r(3)，eq r(3)，所以f(x)0，則f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)解題要點(diǎn) 判斷函數(shù)單調(diào)性的兩個步驟：1.判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；2.判斷f(x)與f

10、(x)關(guān)系. 若f(x)f(x) 則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)則函數(shù)為偶函數(shù)或是利用下列兩個等價關(guān)系式進(jìn)行判斷：若f(x)f(x)0則函數(shù)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)0則函數(shù)為偶函數(shù)題型五 函數(shù)的周期性例5已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x2)eq f(1,fx)，當(dāng)2x3時，f(x)x，則f(105.5)_.答案2.5解析由已知，可得f(x4)f(x2)2eq f(1,fx2)eq f(1,f(1,fx)f(x)故函數(shù)的周期為4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由題意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.解題要點(diǎn) 關(guān)于函數(shù)周期性

11、的三個常用結(jié)論：對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)eq f(1,f（x）)，則T2a；(3)若f(xa)eq f(1,f（x）)，則T2a.題型六 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例6已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)的x的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)解析偶函數(shù)滿足f(x)f(|x|)，根據(jù)這個結(jié)論，有f(2x1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(|2x1|)feq blc(rc)(avs

12、4alco1(f(1,3)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式|2x1|eq f(1,3)，解這個不等式即得x的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3).當(dāng)堂練習(xí)1. 函數(shù)f(x)x3x的圖象關(guān)于_對稱. 答案 原點(diǎn)解析 由f(x)(x)3(x)x3xf(x)，知f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為_答案 0解析 f(x)為奇函數(shù)且f(x4)f(x)， f(0)0，T4， f(8)f(0)0.3已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)_

13、答案1解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.4函數(shù)f(x)log(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案(，2)解析因?yàn)閥logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2)5函數(shù)yf(x)是定義在2，2上的單調(diào)減函數(shù)，且f(a1)2a，)解得1a1.課后作業(yè)填空題1下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為_(填序號)yx1 yx2 yeq f(1,x) yx|x|答案 2函數(shù)y1eq f(1,x1)_(填序號)在(1，)上單調(diào)遞增 在(1，)上單調(diào)遞減在(1，)上

14、單調(diào)遞增 在(1，)上單調(diào)遞減答案 3下列函數(shù)中，在區(qū)間(，0)上是減函數(shù)的是_(填序號)y1x2 yx2x yeq r(x) yeq f(x,x1)答案4下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，都有eq f(fx2fx1,x2x1)0”的是_(填序號)f(x)eq f(1,x) f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1)答案解析滿足eq f(fx2fx1,x2x1)0其實(shí)就是f(x)在(0，)上為減函數(shù)，故選.5已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_答案 3解析 f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)，又g(x)

15、為偶函數(shù)，g(1)g(1)，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，將兩式相加得2g(1)6，g(1)3.6下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，)單調(diào)遞增的函數(shù)是_(填序號)yx3 y|x|1 yx21 y2|x|答案 7若函數(shù)yx2(2a1)x1在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案 eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,2)解析 由題意得eq f(2a1,2)2，得aeq f(3,2).8定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，且f(x)在(，2)上是增函數(shù)，則f(1)與f(3)的大小關(guān)系是_答案 f(1)f(3)解析 依題意得f(3)f(1)，且112，于是由

16、函數(shù)f(x)在(，2)上是增函數(shù)得f(1)f(1)f(3)9函數(shù)yx22x(x2,4)的增區(qū)間為_答案 2,410設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1,3)時，f(x)x2，則f(1)_.答案 1解析 由題知，f(1)f(12)f(1)121.11給出下列命題yeq f(1,x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)； y(x1)2在(0，)上是增函數(shù)；yeq f(1,x)在(，0)上為增函數(shù)； ykx不是增函數(shù)就是減函數(shù)其中錯誤命題的個數(shù)有_答案3解析錯誤，其中中若k0，則命題不成立二、解答題12證明函數(shù)g(x)eq f(2x,x1)在(1，)上單調(diào)遞增證明：任取x1，x2(1，)，且x1x2，則g(x1)g(x2)eq f(2x1,x11)eq f(2x2,x21)eq