高中數(shù)學(xué)球的體積和表面積

1、高中數(shù)學(xué)課件球的體積和表面積第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四1.通過(guò)球的體積和表面積的計(jì)算,了解球的體積和表面積公式.2.會(huì)利用球的體積和表面積公式解決實(shí)際中的問(wèn)題.第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四球的體積和表面積設(shè)球的半徑為R,則球的體積V=_表面積為S=_4R2第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四1.“判一判”理清知識(shí)的疑惑點(diǎn)(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”).(1)決定球的大小因素是球的半徑.( )(2)球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.( )(3)直徑為2的球的體積是直徑為1的球的體積的2倍.(

2、)第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四提示：(1)正確.因?yàn)榍虻捏w積為 只與球的半徑的立方有關(guān).(2)正確.球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓，大圓的半徑等于球的半徑.(3)錯(cuò)誤.因?yàn)閮蓚€(gè)球的體積的比等于相應(yīng)的半徑的比的立方，故直徑為2的球的體積是直徑為1的球的體積的8倍.答案：(1) (2) (3) 第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四2.“練一練”嘗試知識(shí)的應(yīng)用點(diǎn)(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上).(1)半徑為2的球的體積為_(kāi)(2)設(shè)M是球O的半徑OP的中點(diǎn)，分別過(guò)M，O作垂直于OP的平面，截球面得兩個(gè)圓面，則這兩個(gè)圓的面積之比為_(kāi)(3)若一

3、個(gè)幾何體的三視圖是三個(gè)直徑為4 cm的圓，那么該幾何體的表面積為_(kāi)；體積為_(kāi)第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解析】(1)由答案： (2)如圖作球的經(jīng)過(guò)球心的一個(gè)圓截面，設(shè)球的半徑為2R，則OM=R，所以MM= 所以兩圓面積比為答案：第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四(3)由該幾何體的三視圖為三個(gè)圓，所以該幾何體為球，直徑為4 cm，所以球的表面積為422=16；體積為答案：16第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四一、球的體積與表面積探究：觀察球的體積與表面積公式，思考下面的問(wèn)題(1)計(jì)算球的表面積與體積，關(guān)鍵需要確

4、定哪個(gè)量？提示：要計(jì)算球的表面積和體積，關(guān)鍵是要確定球的半徑R.第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四(2)若已知球的體積為V，則球的表面積S如何用V表示？提示：因?yàn)閂= R3,所以因此第10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四(3)若兩球的半徑之比為R1R2，那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少？提示：第11頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【探究提升】計(jì)算球的體積及表面積的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)球的體積和表面積都是關(guān)于半徑R的函數(shù)，因此求體積和表面積時(shí)，只需求出半徑即可.(2)確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用

5、公式求它的表面積和體積；反過(guò)來(lái)已知體積或表面積也可以求其半徑第12頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四二、球的截面探究1：用任何一個(gè)平面去截球所得的截面是什么形狀？提示：用任何一個(gè)平面去截球，所得的截面是一個(gè)圓面.探究2：球心和截面圓圓心的連線與截面有何關(guān)系？提示：球心和截面圓圓心的連線垂直于截面.探究3：若球的半徑為R，截面圓半徑為r，則球心到截面的距離d是多少？提示：第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【探究提升】用一個(gè)平面去截球，對(duì)所得截面的三點(diǎn)說(shuō)明(1)當(dāng)截面過(guò)球心時(shí),截面圓的半徑即為球的半徑；當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí),截面圓的半徑都小于球的半徑.

6、(2)球的截面是圓面而不是圓,注意圓面與圓是兩個(gè)不同的概念.(3)球的截面在解決球的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題中起著關(guān)鍵的作用，要注意球的半徑與截面圓半徑的關(guān)系第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四類(lèi)型 一 球的體積和表面積的計(jì)算嘗試解答下面的問(wèn)題，歸納求球的表面積及體積的策略.1.若球的體積擴(kuò)大到原來(lái)的27倍，則它的表面積擴(kuò)大到原來(lái)的( )A.3倍 B.3 倍 C.9倍 D.9 倍第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四2.(2013寧德高一檢測(cè))一平面截一球得到直徑是6 cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4 cm，則該球的體積為( )3.三個(gè)球的半徑之比為1

7、23，那么最大的球的體積是另外兩個(gè)球的體積和的_倍，最大球的表面積是另外兩個(gè)球的表面積和的_.第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解題指南】1.求出半徑擴(kuò)大的倍數(shù)，根據(jù)表面積公式，得出表面積擴(kuò)大的倍數(shù).2.根據(jù)球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離構(gòu)成直角三角形，可求得球的半徑，即可求得體積.3.根據(jù)球的半徑之比，設(shè)出球的半徑，表示出體積和表面積，從而判斷出它們之間的關(guān)系.第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解析】1.選C.因?yàn)轶w積擴(kuò)大到原來(lái)的27倍，所以r變?yōu)?r，所以它的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍.2.選C.因?yàn)榍虬霃?、截面圓半徑和球心到截

8、面的距離構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以球半徑為 =5(cm)，所以球的體積為第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四3.設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r,2r,3r，則所以S1=4r2,S2=4(2r)2=16r2，S3=4(3r)2=36r2，所以答案：3 第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【技法點(diǎn)撥】求球的體積與表面積的策略(1)要求球的體積或表面積,必須知道半徑R或者通過(guò)條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素,把握住了這兩點(diǎn),計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日

9、，9點(diǎn)27分，星期四【變式訓(xùn)練】把半徑分別為6 cm,8 cm,10 cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，這個(gè)大鐵球的半徑為( )A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm【解析】選D.設(shè)大鐵球的半徑為r，則： 解得r=12.第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四類(lèi)型 二 與球有關(guān)的組合體的表面積與體積的計(jì)算 通過(guò)解答下面的問(wèn)題，體會(huì)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，并總結(jié)求解該類(lèi)問(wèn)題的技巧.1.(2012廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為( )A.72 B.48 C.30 D.24第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四2.一個(gè)四面體的所

10、有棱長(zhǎng)都是 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為( )A.3 B.4 C.3 D.63.(2012天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)m3.第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解題指南】1.根據(jù)三視圖準(zhǔn)確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵.顯然本題幾何體是由一個(gè)半球和一個(gè)倒立的圓錐組成的組合體.2.將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑.3.由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.第24頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解析】1.選C.由三視圖可知該組合體由一個(gè)半球和一個(gè)倒立的圓錐組成

11、.2.選A.以四面體側(cè)棱為正方體的面對(duì)角線構(gòu)造正方體，則正方體內(nèi)接于球，正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑.所以2R= ，S球=4R2=3.第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四3.該組合體的上面是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為6，3，1的長(zhǎng)方體，下面是兩個(gè)半徑為 的相切的球體，所以所求的體積是：V=2V球+V 長(zhǎng)方體=2 ( )3+631=18+9.答案：18+9第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【互動(dòng)探究】題3條件不變，求該組合體的表面積.【解析】該組合體的上面是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為6，3，1的長(zhǎng)方體，下面是兩個(gè)半徑為 的相切的球體，所以所求的

12、表面積為S=2S球+S長(zhǎng)方體=24( )2+2(63+61+13)=54+18.第27頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【技法點(diǎn)撥】解決與球有關(guān)的組合體問(wèn)題的解題技巧(1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題：解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)位置，明確有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并且作出合適的截面圖.(2)球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通過(guò)作它們的軸截面解題.(3)球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心、切點(diǎn)或接點(diǎn)作出截面圖.第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四提醒：解決該類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是作出截面圖形，使相關(guān)元素盡可能多地落在截面圖形內(nèi).第29頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20

13、日，9點(diǎn)27分，星期四類(lèi)型 三 有關(guān)球的切、接問(wèn)題試著解答下列與球的切、接有關(guān)的題目,總結(jié)常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略.1.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,該球的表面積為()A.3a2B.6a2C.2a2D.24a22.一個(gè)半球內(nèi)切于圓錐,半球的底面在圓錐底面內(nèi).求證：圓錐側(cè)面積與半球面面積之比等于圓錐體積與半球體積之比.第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【解題指南】1.長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于其外接球的直徑.2.設(shè)出圓錐的底面半徑,母線長(zhǎng)及球的半徑,分別表示出面積和體積,計(jì)算其比值判斷即可.第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月2

14、0日，9點(diǎn)27分，星期四【解析】1.選B.由長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為2a,a,a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為 與外接球的直徑相等，故2R= a,S球=4R2=6a2.2.設(shè)圓錐的底面半徑為R，球半徑為r,圓錐的母線長(zhǎng)為l,則S圓錐側(cè)= 2Rl,S半球=2r2,V圓錐= R2V半球= r3,S圓錐側(cè)S半球= V圓錐V半球= 所以S圓錐側(cè)S半球=V圓錐V半球.第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【互動(dòng)探究】若題1中的長(zhǎng)方體改為“三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)為2a,a,a”，能由本例1的解法得到此三棱錐的外接球的體積嗎？【解析】能.由題意，此三棱錐的外接球與以三條兩兩垂直的側(cè)

15、棱為棱的長(zhǎng)方體的外接球相同，故第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【技法點(diǎn)撥】常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等.(2)解決球與幾何體的切、接問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算.第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四(3)具體解題流程第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【拓展延伸】與球有關(guān)的組合體中的數(shù)量關(guān)系(1)

16、長(zhǎng)方體內(nèi)接于球： (R為球的半徑，a,b,c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).(2)正方體內(nèi)接于球：2R= a(R為球的半徑，a為正方體的棱長(zhǎng)).(3)球內(nèi)切于正方體：2R=a(R為球的半徑，a為正方體的棱長(zhǎng)).(4)球與正方體的每條棱都相切：2R= a(R為球的半徑，a為正方體的棱長(zhǎng)).第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四【變式訓(xùn)練】正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為( )【解析】選D.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則內(nèi)切球半徑為 ,外接球半徑為 所以半徑之比為1 = 3.第37頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四1.如果兩個(gè)球的表面積之比為49,那么這兩個(gè)球的體積

17、之比為()A.827 B.23 C.49 D.29【解析】選A.因?yàn)镾1S2=49,所以r1r2=23,所以V1V2=827.第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四2.將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球,則這個(gè)球的表面積為()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】選B.由題意知,此球是正方體的內(nèi)切球,根據(jù)其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)是相等的,故可得球的直徑為2,再用表面積公式求出表面積即可.所以表面積是412=4,應(yīng)選B.第39頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四3.已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為_(kāi).【解析】設(shè)球的半徑為R,由 所以R3.答案：3第40頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四4. 已知正方體外接球的體積是 ，那么正方體的棱長(zhǎng)等于_.【解析】由已知可求得球的半徑r=2，由2r= a，得正方體的棱長(zhǎng)答案：第41頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)27分，星期四5.將一個(gè)鐵球投入底面半徑為4 cm的圓柱形容