高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)（常用）

1、高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)一選擇題(共 12 小題)1已知定義在 R 上的偶函數(shù) f (x)滿足 f (x+1) = f (x)，且當(dāng) x 1 ，0時， ，函數(shù) ，則關(guān)于 x 的不等式 f (x)g (x)的解集為( )A ( 2， 1)( 1 ，0) BC D2已知定義在 R 上的奇函數(shù) f (x)滿足：當(dāng)x0 時， f (x) =x3 ，若不等式f (4t)f (2m+mt2 )對任意實(shí)數(shù) t 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( )A (， ) B ( ，0) C (， 0)( ，+) D (， )( ，+)3定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x)滿足： f (

2、x+2) =2f (x)，當(dāng) x 0 ，2)時，若 x 4 ， 2) 時， 恒成立，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是( )A B C (0 ，1 D (0 ，24對于函數(shù) f (x)，若 a ，b ，cR ，f (a)，f (b)，f (c)為某一三角形的三 邊長， 則稱 f(x)為”可構(gòu)造三角形函數(shù)“，已知函數(shù) f(x) = (0 x )是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是( )A 1 ，4 B 1 ，2 C ，2 D 0 ，+)5已知函數(shù) f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0 時， f (x) =x (1 x)，若數(shù) 列an 滿足 a1= ，且 an+1= ，則 f (a2015

3、 ) +f (a2016 ) = ( )A 8 B 8 C 4 D 4高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)6函數(shù) f (x) = ，若 x0 時，不等式 f (x) 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為( )A 4 ，+) B 3 ，+) C 2 ，+) D ，+)7已知 x0，y0，若不等式 a(x+y) x+ 恒成立，則 a 的最小值為( )A B C +2 D +8已知函數(shù) f (x) = 若函數(shù) g (x) =ff (x) 2 的零點(diǎn)個數(shù)為( )A 3 B 4 C 5 D 69已知定義在 R 上的偶函數(shù) g (x) 滿足 g (x) +g (2 x) =0，函數(shù) f (x) =的圖象是 g (x

4、)的圖象的一部分若關(guān)于 x 的方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( )A ( ，+) B ( ， ) C ( ，+) D (2 ，3)10已知函數(shù) f (x)定義域?yàn)? ，+)，當(dāng) x0 ，1時， f (x) =sinx，當(dāng) x n ，n+1時， f (x) = ，其中 nN，若函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有且僅有 2016 個交點(diǎn)，則 b 的取值范圍是( )A (0 ，1) B( ， )C ( ， ) D ( ， )11 已 知 函 數(shù) ： ，設(shè)函數(shù) F (x) =f (x+3) g (x 5)，且函數(shù)F (x) 的零點(diǎn)均在區(qū)

5、間a，b (ab，a，bZ) 內(nèi)，則 b a 的最小值為 ( )A 8 B 9 C 10 D 1116已知函數(shù) y=f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，對 xR 都有 f (x 3) =f (x 1)成立，當(dāng)， x(0 ，1且 x1 x2 時，有 0，給出下列命題：高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)12已知函數(shù) ，其中 m0，且函數(shù) f(x)=f(x+4)，若方程 3f (x) x=0 恰有 5 個根，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( )A B C D二填空題(共 7 小題)，013設(shè)函數(shù) f (x) =2ax2+2bx，若存在實(shí)數(shù) x0 (0 ，t)，使得對任意不為零的實(shí)數(shù) a b 均有 f (x )

6、 =a+b 成立，則 t 的取值范圍是14若正數(shù) x ，y 滿足 =1，則 的最小值為 15已知集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 為奇函數(shù)，且|loga |1的子集個數(shù)為 4，則 a 的取值范圍為 (1) f (x)在 2 ，2上有 5 個零點(diǎn) (2)點(diǎn)(2016 ，0)是函數(shù) y=f (x)的一個對稱中心(3)直線 x=2016 是函數(shù) y=f (x)圖象的一條對稱軸(4) f (9.2)f () 則正確的是17已知函數(shù) f (x) =ex，對于實(shí)數(shù) m、n、p 有 f (m+n) =f (m) +f (n)，f(m+n+p) =f (m) +f (n) +f (

7、p)，則 p 的最大值等于 18定義在 R 上的單調(diào)函數(shù) f (x) 滿足： f(x+y) =f(x) +f(y)，若 F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 19已知函數(shù) f (x) = ，g (x) = (k0)，對任意 p(1 ，+)，總存在實(shí)數(shù) m ，n 滿足 m0np，使得 f (p) =f (m) =g (n)，則整數(shù)k 的最大值為 高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)三解答題(共 11 小題)20已知 f (x)是奇函數(shù)(其中a1)=loga(1)求 m 的值；(2)判斷 f (x)在(2 ，+)上的單調(diào)性并證明；

8、(3)當(dāng) x(r ，a 2)時， f (x)的取值范圍恰為(1 ，+)，求 a 與 r 的值21已知向量 = (cos ，sin )， = (cos ， sin )，函數(shù) f (x) = m| + |+1 ，x ， ，m R(1)當(dāng) m=0 時，求 f ( )的值；(2)若 f (x)的最小值為 1，求實(shí)數(shù) m 的值；(3)是否存在實(shí)數(shù) m，使函數(shù) g (x) =f (x) + m2 ，x ， 有四個不同的零點(diǎn)？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，說明理由22已知二次函數(shù) f (x) =ax2+bx+c(1)若 a=c0 ，f (1) =1，對任意 x| 2 ，2，f (x)的最大值與最小

9、值之 和為 g (a)，求 g (a)的表達(dá)式；(2)若 a ，b ，c 為正整數(shù)，函數(shù) f (x)在( ， )上有兩個不同零點(diǎn)，求a+b+c 的最小值高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)23已知函數(shù) f (x) =(1)求 f (f ( )；(2)若 x0 滿足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，則稱 x0 為 f (x)的二階不動點(diǎn)， 求函數(shù) f (x)的二階不動點(diǎn)的個數(shù)24已知 aR，函數(shù) (1)當(dāng) a=0 時，解不等式 f (x)1；(2)當(dāng) a0 時，求函數(shù) y=2f (x) f (2x)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)設(shè) a0，若對于 tR，函數(shù)在區(qū)間t ，t+1上的最大值與最

10、小值之差都不 超過 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍25已知 aR，函數(shù) f (x) = (1)若 f (2) = 3，求實(shí)數(shù) a 的值；(2)若關(guān)于 x 的方程 f (x) log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一個元 素，求 a 的取值范圍(3)設(shè) a0，若對任意 t ，1，函數(shù) f (x)在區(qū)間t ，t+1上的最大值與 最小值的差不超過 1，求 a 的取值范圍高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)26設(shè) aR，函數(shù) f (x) =x|x a|+2x(1)若 a=3，求函數(shù) f (x)在區(qū)間0 ，4上的最大值；(2)若存在 a(2 ，4，使得關(guān)于 x 的方程 f (x) =tf (a)有

11、三個不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍27如圖，在半徑為 ，圓心角為 60的扇形的弧上任取一點(diǎn) P，作扇形的內(nèi)接 矩形 PNMQ，使點(diǎn) Q 在 OA 上，點(diǎn) N ，M 在 OB 上，設(shè)矩形 PNMQ 的面積為 y ， POB=( )將 y 表示成 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；()求矩形 PNMQ 的面積取得最大值時 的值；()求矩形 PNMQ 的面積 y 的概率28已知函數(shù) f (x) =x|x a|，a R ，g (x) =x2 1(1)當(dāng) a=1 時，解不等式 f (x)g (x)；(2)記函數(shù) f (x)在區(qū)間0 ，2上的最大值為 F (a)，求 F (a)的表達(dá)式高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯

12、編(含解析)29已知函數(shù) g (x) =偶函數(shù)，且函數(shù) f (x) =logag (x) (a0 ，a1)奇函數(shù)而非(1)寫出 f (x)在(a ，+)上的單調(diào)性(不必證明)；(2)當(dāng) x(r ，a 3)時， f (x)的取值范圍恰為(1 ，+)，求 a 與 r 的值；(3)設(shè) h (x) = m (x+2) 2 是否得在實(shí)數(shù) m 使得函數(shù) y=h (x) 有零點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù) m 的取值范圍，若不存在，請說明理由30已知函數(shù) f (x) =1+log2x ，g (x) =2x(1)若 F (x) =f (g (x) g (f (x)，求函數(shù) F (x)在 x1 ，4的值域；(2)令 G

13、(x) =f (8x2 ) f ( ) kf (x)，已知函數(shù) G (x)在區(qū)間1 ，4有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；(3) 若 H (x) = ，求 H ( ) +H ( ) +H ( ) +H ( )的值高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)2018 高一數(shù)學(xué)必修一(難)參考答案與試題解析一選擇題(共 12 小題)1 (2016 秋渝中區(qū)校級期末)已知定義在 R 上的偶函數(shù) f (x)滿足 f (x+1) = f (x)，且當(dāng) x 1 ，0時， ，函數(shù) ，則關(guān)于 x 的不等式 f (x)g (x)的解集為( )A ( 2， 1)( 1 ，0) BC D【解答】 解：由題意知， f (x+1) =

14、 f (x)，f (x+2) = f (x+1) =f (x)，即函數(shù) f (x)是周期為 2 的周期函數(shù)當(dāng) x 1 ，0時，當(dāng) x0 ，1時，f (x)是偶函數(shù)，f (x) = ，即 f (x) =函數(shù)g (x) =，若 x0 ，1時， x 1 ，0， 作出函數(shù) f (x)和 g (x)的圖象如圖：當(dāng) 1x0 時，由=，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)，由選項驗(yàn)證解得 x= ，即此時不等式式 f (x)g (|x+1|)的解為 1x ，則函數(shù) g (x)關(guān)于 x= 1 對稱，不等式式 f (x)g (x)的解為 1x 或 x 1，即不等式的解集為( ， 1)( 1 ， )，故選： D2 (20

15、16 秋通渭縣期末)已知定義在 R 上的奇函數(shù) f (x)滿足：當(dāng) x0 時， f(x) =x3 ，若不等式 f ( 4t)f (2m+mt2 )對任意實(shí)數(shù) t 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的 取值范圍是( )A (， ) B ( ，0) C (， 0)( ，+) D (， )( ，+)【解答】 解：當(dāng) x0 時， f (x) =x3 ，當(dāng) x0 時， x0，f ( x) = ( x) 3= x3，又 f (x)為定義在 R 上的奇函數(shù)， f (x) = x3，f (x) =x3 (x0)，綜合知， f (x) =x3 ，xR又 f (x) =3x2 0，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)f (x) =x

16、3 為 R 上的增函數(shù)，不等式 f ( 4t)f (2m+mt2 )對任意實(shí)數(shù)t 恒成立 4t2m+mt2 對任意實(shí)數(shù) t 恒成立，即 mt2+4t+2m0 對任意實(shí)數(shù) t 恒成立，解得： m故選： A3 (2016 秋宜春期末)定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x)滿足： f (x+2) =2f (x)，當(dāng) x 0，2)時， ，若 x 4， 2)時，恒成立，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是( )A B C (0 ，1 D (0 ，2【解答】 解：當(dāng) x0 ，2)時， ，0 1， ，當(dāng) x0 ，2)時， f (x)的最小值為 f ( ) = 1，又函數(shù) f (x)滿足 f (x+2) =2f (x)，f (

17、x) = f (x+2)，當(dāng) x 2 ，0)時， f (x)的最小值為 f ( ) = f ( ) = ，當(dāng) x 4， 2)時， f (x)的最小值為 f ( ) = f ( ) = 若 x 4， 2時， 恒成立， 恒成立即 0，則 0t1，故選： C高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)4(2016 春瑯琊區(qū)校級期末)對于函數(shù)f (x)，若 a，b，cR，f (a)，f (b)， f (c)為某一三角形的三邊長，則稱 f (x)為”可構(gòu)造三角形函數(shù)“，已知函數(shù) f(x)= (0 x )是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是( )A 1 ，4 B 1 ，2 C ，2 D 0 ，+)【解答】

18、解： f (x) = = =2+ ，若 t=2，則 f (x) =2，此時 f (x)構(gòu)成邊長為 2 的等邊三角形，滿足條件，設(shè) m=tanx，則 m=tanx0，則函數(shù) f (x)等價為 g (m) =2+ ，若 t 20 即 t2，此時函數(shù) g (m)在(0 ，+)上是減函數(shù)，則 2f (a)2+t 2=t，同理 2f (b)t ，2f (c)t，則 4f (a) +f (b)2t ，2f (c)t，由 f (a) +f (b)f (c)，可得 4t，解得 2t4當(dāng) t 20 ，f (x)在 R 上是增函數(shù)， tf (a)2，同理 tf (b)2 ，tf (c)2，則 2tf (a) +f

19、 (b)4 ，tf (c)2，由 f (a) +f (b)f (c)，可得 2t2，解得 1t2綜上可得， 1t4，故實(shí)數(shù) t 的取值范圍是1 ，4；故選： A5 (2015 秋菏澤期末)已知函數(shù) f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0 時， f(x) =x (1 x)，若數(shù)列an 滿足 a1= ，且 an+1= ，則 f (a2015 ) +f (a2016 )= ( )A 8 B 8 C 4 D 4【解答】 解：設(shè) x0，則 x0；f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)；高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)f (x) = f ( x) = x (1+x) =x (1+x)；由 ，且 得：， ，

20、，；數(shù)列an 是以 3 為周期的周期數(shù)列；a2015=a671 3+2=a2=2 ，a2016=a671 3+3=a3= 1；f (a2015 ) +f (a2016 ) =f (2) +f ( 1) =2 (1+2) + ( 1) (1+1) =4故選： D6 (2015 秋吉安期末)函數(shù) f (x) =不等式 f (x) 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為( )A 4 ，+) B 3 ，+) C 2 ，+) D，若 x0 時， ，+)【解答】 解：當(dāng) 0 x4 時，函數(shù) f (x)在0 ，2上為增函數(shù)，則2 ，4上為減函數(shù)，則當(dāng) x=2 時，函數(shù) f (x)取得最大值 f (2) = ，當(dāng)

21、4x8 時， 0 x 44，即 f (x) = f (x 4) = ，此時的最大值為 f (6) = ，當(dāng) 8x12 時， 4x 48，即 f (x) = f (x 4) = ，此時的最大值為 f (10) = ，作出函數(shù) f (x)的圖象如圖，要使當(dāng) x0 時，不等式 f (x) 恒成立，則 m0，設(shè) g (x) = ，則滿足 ，即 ，即 ，即 m3 ，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)故選： B7 (2015 秋杭州校級期末)已知x0 ，y0，若不等式 a (x+y)x+ 恒成立，則 a 的最小值為( )A B C +2 D +【解答】 解：x0 ，y0，不等式 a (x+y)x+ 等價為 a

22、 = ，令 ，a ，令 u= ， u=令 u=0，t= 函數(shù)在(0，(負(fù)值舍去)上單調(diào)增，在(，+)上單調(diào)減t= 時，函數(shù) u= 取得最大值為a實(shí)數(shù) a 的最小值為故選： A高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)8 (2016 秋沙市區(qū)校級期末)已知函數(shù) f (x) = 若函數(shù) g (x)=ff (x) 2 的零點(diǎn)個數(shù)為( )A 3 B 4 C 5 D 6【解答】 解：函數(shù) f (x) = ，f (x) =x(， log23)時， f (f (x) = 0 ，3，令 f (f (x) =2，解得 x=log2 (1+log23)同理可得： xlog23 ，2)時，時，=2，解得 x=2，解得 x=1+

23、=2，解得 x=時，x綜上可得：函數(shù) g (x) =ff (x) 2 的 x 零點(diǎn)個數(shù)為 4故選： B9 (2016 春重慶校級期末)已知定義在 R 上的偶函數(shù) g (x)滿足 g (x) +g (2 x) =0，函數(shù) f (x) = 的圖象是 g (x)的圖象的一部分若關(guān)于 x 的方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( )A ( ，+) B ( ， ) C ( ，+) D (2 ，3)【解答】 解：定義在 R 上的偶函數(shù) g (x)滿足 g (x) +g (2 x) =0，g (x) = g (2 x) = g (x 2)，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難

24、題匯編(含解析)則 g (x+2) = g (x)，即 g (x+4) = g (x+2) = ( g (x) =g (x)，則函數(shù) g (x)是周期為 4 的周期函數(shù)，函數(shù) f (x) = 的定義域?yàn)?1 ，1，若 1x2，則 2 x 1，則 02 x1，此時 g (x) = g (2 x) = ，當(dāng) 2x 1，則 1 x2，則 g (x) =g ( x) = 則由 g2 (x) =a (x+1) 2 得，當(dāng) 2x 1 時， 1 (x+2) 2=a (x+1) 2，作出函數(shù) g (x)的圖象如圖：若方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 個不同的實(shí)數(shù)根，則當(dāng) a0 時，不滿足條件則

25、當(dāng) a0 時，方程等價為 g (x) = = |x+1|，則當(dāng) x= 1 時，方程 g (x) = |x+1|恒成立，此時恒有一解，當(dāng)直線 y= (x+1)與 g (x)在(4，3)相切時，此時方程g (x) =|x+1|有 6 個交點(diǎn)，不滿足條件當(dāng) y= (x+1) 與 g (x) 在 ( 4 ， 3) 不相切時， 滿足方程 g (x) = |x+1|有三個交點(diǎn)，此時直線方程為 x+y+ =0，滿足圓心( 4 ，0)到直線 x+y+ =0，的距離 d= 1，即 1，即 3 ，平方得 9aa+1，得 8a1，則 a ，故選： A高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)10 (2016 秋荊門期末)已知函

26、數(shù) f (x)定義域?yàn)? ，+)，當(dāng) x0 ，1時，f (x) =sinx，當(dāng) xn ，n+1時， f (x) = ，其中 nN，若函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有且僅有 2016 個交點(diǎn)，則 b 的取值范圍是( )A (0 ，1) B( ， )C ( ， ) D ( ， )【解答】 解：根據(jù)題意， x0 ，1時， f (x) =sinx，xn ，n+1時， f (x) = ，其中 n N，f (n) =sinn=0，f ( ) =sin =1，f ( ) = = = ，f ( ) = = = ，；畫出圖形如圖所示；當(dāng) b( ，1)時，函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有 2 個交

27、點(diǎn)；當(dāng) b( ， )時，函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有 4 個交點(diǎn)；高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)當(dāng) b( ， )時，函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有 6 個交點(diǎn)； ；當(dāng) b( ， )時，函數(shù) f (x)的圖象與直線 y=b 有 2016 個交點(diǎn)故選： D11 (2015 秋汕頭校級期末)已知函數(shù)： ，設(shè)函數(shù) F (x) =f (x+3) g (x 5)，且函數(shù)F (x) 的零點(diǎn)均在區(qū)間a，b (ab，a，bZ) 內(nèi)，則 b a 的最小值為 ( )A 8 B 9 C 10 D 11【解答】 解：f (0) =10 ，f ( 1) =1 1 + + 0，函數(shù) f (x)在區(qū)間(

28、 1 ，0)內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng) x( 1 ，0)時， f (x) =0，函數(shù) f (x)在區(qū)間( 1 ，0)上單調(diào)遞增，g (1) =1 1+ + 0，g (2) =1 2+ + 0當(dāng) x(1 ，2)時， g (x) = 1+x x2+x3 +x2013 x2014= 0，故函數(shù) f (x)有唯一零點(diǎn) x( 1，0)；函數(shù) g (x) 在區(qū)間 (1，2) 上單調(diào)遞增， 故函數(shù) g (x) 有唯一零點(diǎn) x (1，2)； F (x) =f (x+3) g (x 4)，且函數(shù) F (x)的零點(diǎn)均在區(qū)間a ，b (ab ，a， bZ)內(nèi)，f (x+3)的零點(diǎn)在( 4， 3)內(nèi)， g (x 4)的零點(diǎn)在(5

29、，6)內(nèi)，因此 F (x) =f (x+3) g (x 3)的零點(diǎn)均在區(qū)間 4 ，6內(nèi)，b a 的最小值為 10故選： C12 (2015 秋衡水校級期末)已知函數(shù) ，其中 m0，且函數(shù) f (x) =f (x+4)，若方程 3f (x) x=0 恰有 5 個根，則實(shí)數(shù) m 的取高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)值范圍是( )A B C D【解答】 解：當(dāng) x( 1 ，1時，將函數(shù)化為方程 x2+ =1 (y0)，實(shí)質(zhì)上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，函數(shù) f (x) =f (x+4)，函數(shù)的周期是 4，同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng) x(1 ，3得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，若方程 3f (x

30、) x=0 恰有 5 個根，則等價為 f (x) = 恰有 5 個根，由圖易知直線 y= 與第二個橢圓(x 4) 2+ =1 (y0)相交，而與第三個半橢圓 (x 8) 2+ =1 (y0) 無公共點(diǎn)時， 方程恰有 5 個實(shí)數(shù)解，將 y= 代入 (x 4) 2+ =1 (y0) 得，(9m2+1) x2 72m2x+135m2=0，令 t=9m2(t0)，則(t+1) x2 8tx+15t=0，由= (8t) 2 415t (t+1)0，得 t15，由 9m215，且 m0 得 m ，同樣由 y= 與第三個橢圓 (x 8) 2+ =1 (y0) 由0 可計算得 m ，綜上可知 m( ， )，故

31、選： A高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)二填空題(共 7 小題)13 (2017 春杭州期末)設(shè)函數(shù)f (x) =2ax2+2bx，若存在實(shí)數(shù) x0 (0 ，t)，使得對任意不為零的實(shí)數(shù) a ，b 均有 f (x0 ) =a+b 成立，則t 的取值范圍是 ( 1 ，+) 【解答】 解： f (x) =a+b 成立等價于(2x 1) b= (1 2x2 ) a，當(dāng) x= 時，左邊=0，右邊0，不成立，當(dāng) x 時， (2x 1) b= (1 2x2 ) a 等價于 = ，設(shè) k=2x 1，則 x= ，則 = = = ( k 2)，x(0 ，t)，(t )，或 x(0 ， )( ，t)，(t )，k(

32、 1 ，2t 1)，(t )，或 k( 1，0)(0 ，2t 1)，(t )，(*) a ，bR， = ( k 2)，在(*)上有解， ( k 2)，在(*)上的值域?yàn)?R，設(shè) g (k) = ( k) 1，則 g (k)在(， 0)，(0 ，+)上單調(diào)遞減， ，解得 t1，故答案為： (1 ，+)14 (2016 春沙坪壩區(qū)校級期末)若正數(shù) x ，y 滿足 =1，則 的最小值為 2 【解答】 解：正數(shù) x ，y 滿足 + =1，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析) =1 = ， (y1)， x 1= (x1)則 + = (y 1) + 2 =2 ，當(dāng)且僅當(dāng) y 1= ，即 y 1= 時取等號 的最

33、小值為 2 故答案為： 215 (2016 秋武昌區(qū)校級期末)已知集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2)為奇函數(shù)， 且|loga |1的子集個數(shù)為 4，則 a 的取值范圍為 ( )( ) 【解答】 解：集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 為奇函數(shù)，f (0) =sin ( 2) +cos ( 2) =cos2 sin2=0，cos2=sin2，即 tan2=1，2=k+ ，則 = + ，kZ驗(yàn)證 = + ，kZ 時， f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) =sin(x k )+cos(x k )=sin(x )+cos( )=為

34、奇函數(shù)= + ，kZ集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 為奇函數(shù)，且|loga |1 的子集個數(shù)為 4，滿足|loga |1 的 有 2 個，即滿足 1loga 1 的 有 2 個分別取 k=0 ，1 ，2 ，3，得到 = ， ， ， ，若 0a1，可得 a()時，滿足 1loga1 的 有 2 個；若 a1，可得 a()時，滿足 1loga 1 的 有 2 個則 a 的取值范圍為()( )高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)故答案為： ( )( )16 (2016 秋清城區(qū)期末)已知函數(shù) y=f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，對 x R 都有 f (x 3) =f (x

35、 1)成立，當(dāng)， x(0 ，1且 x1 x2 時，有0，給出下列命題：(1) f (x)在 2 ，2上有 5 個零點(diǎn)(2)點(diǎn)(2016 ，0)是函數(shù) y=f (x)的一個對稱中心(3)直線 x=2016 是函數(shù) y=f (x)圖象的一條對稱軸(4) f (9.2)f ()則正確的是 (1) (2) (4) 【解答】 解：對于(1)，函數(shù) y=f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，f (0) =0，又 f (x 3) =f (x 1)，函數(shù) y=f (x)是以 2 為周期的函數(shù)，且 f (1 3) =f (1 1)，即 f ( 2) =f (0) =0，又 f (2) = f ( 2)，f (2)

36、 =0；同理可得， f (1) =f ( 1) =0，又當(dāng) x (0，1且 x1 x2 時，有 0，即奇函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 (0，1上單調(diào)遞減，故函數(shù) y=f (x)在區(qū)間 1 ，0)上也單調(diào)遞減，由函數(shù) y=f (x)是以 2 為周期的函數(shù)可知函數(shù) y=f (x)在區(qū)間(2，1、1， 2)上單調(diào)遞減，f (x)在區(qū)間 2 ，2上有1 、0、2 共 5 個零點(diǎn)，故(1)正確；對于(2)，函數(shù) y=f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，(0 ，0)為其對稱中心， 又函數(shù) y=f (x)的是以 2 為周期的函數(shù)，點(diǎn)(2016 ，0)是函數(shù) y=f (x)的一個對稱中心，故(2)正確；對于(3

37、)，作出函數(shù) y=f (x)的圖象如下：高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)(3)直線 x=2016 不是函數(shù) y=f (x)圖象的一條對稱軸，故(3)錯誤；對于 (4)，函數(shù) y=f (x) 的是以 2 為周期的函數(shù)且在區(qū)間1，2) 上為減函數(shù)， f (9.2) =f (1.2)f ( 2) =f ()，故(4)正確綜上所述，正確的是： (1) (2) (4)，故答案為： (1) (2) (4)17 (2016 春揚(yáng)州期末)已知函數(shù) f (x) =ex ，對于實(shí)數(shù) m 、n 、p 有 f (m+n) =f (m) +f (n)，f (m+n+p) =f (m) +f (n) +f (p)，則 p

38、的最大值等于 2ln2 ln3 【解答】 解：由 f (x) =ex 得： f (m+n) =f (m) f (n)，f (m+n) =f (m) +f (n)，f (m) f (n) =f (m) +f (n)，設(shè) f (m) f (n) =f (m) +f (n) =t，則 f (m)、f (n)是 x2 tx+t=0 的解，=t2 4t0，t4 或 t0 (舍去)又 f (m+n+p) =f (m) f (n) f (p) =f (m) +f (n) +f (p)，tf (p) =t+f (p)，f (p) =(t4)，=1+顯然 t 越大， f (p)越小，當(dāng) t=4 時， f (p)

39、取最大值 ，又 f (p) =ep，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)f (p)取到最大值時， p 也取到最大值，即 pmax=ln =2ln2 ln3故答案為： 2ln2 ln318 (2016 秋江岸區(qū)校級期末)定義在 R 上的單調(diào)函數(shù) f (x)滿足： f (x+y) =f(x) +f (y)，若 F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零點(diǎn)，則a 的取值范圍是 2 ，+) 【解答】 解：令 x=y=0，則 f (0) =2f (0)，則 f (0) =0；再令 y= x，則 f (x x) =f (x) +f ( x) =0，且 f (x)定義域

40、為 R ，關(guān)于原點(diǎn)對稱f (x)是奇函數(shù)F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零點(diǎn)f (asinx) +f (sinx+cos2x 3) =0 在(0 ，)上有解；f (asinx) = f (sinx+cos2x 3) =f ( sinx cos2x+3)在(0 ，)上有解；又函數(shù) f (x)是 R 上的單調(diào)函數(shù)，asinx= sinx cos2x+3 在(0 ，)上有解x(0 ，)，sinx0；=sinx+ 1；a=令 t=sinx ，t(0 ，1；則 a=t+ 1；y=t+ ，0，因此函數(shù) y 在(0 ，1上單調(diào)遞減，a2故答案為： 2 ，+

41、)19(2016 春鹽城期末) 已知函數(shù) f (x) = ，g (x) = (k0)，對任意 p(1，+)，總存在實(shí)數(shù) m ，n 滿足 m0np，使得f (p) =f (m)=g (n)，則整數(shù) k 的最大值為 7 高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)(k0)，在區(qū)間(1 ，+)上為減函數(shù)，【解答】 解：顯然 g (x) =于是 g (n)g (p)，若 f (p) =g (n)，則對任意 p1，有 f (p)g (p)當(dāng) x1 時， ，k ，設(shè) t=x 1 (t0)，則 = =2 (t+ +2)8，k8k7下面證明：當(dāng) k=7 時，對 0 x1，有 f (x)g (x)當(dāng) 0 x1 時， f (x

42、)g (x) ln (1 x)0令 (x) = ln (1 x) (0 x1)，則 (x) = + 0，故 (x)在(0 ，1)上為減函數(shù)，于是 (x)0同時，當(dāng) x(0 ，+)時， g (x) = (0 ，+)當(dāng) x(0 ，1)時， f (x)R；當(dāng) x(1 ，+)時， f (x)(0 ，+)結(jié)合函數(shù)的圖象可知，對任意的正數(shù) p，存在實(shí)數(shù) m 、n 滿足 0mnp，使 得 f (p) =f (m) =g (n)綜上所述，正整數(shù) k 的最大值為 7故答案為： 7三解答題(共 11 小題)20 (2016 秋惠來縣校級期末)已知f (x)是奇函數(shù)(其中a1)=loga(1)求 m 的值；(2)判

43、斷 f (x)在(2 ，+)上的單調(diào)性并證明；(3)當(dāng) x(r ，a 2)時， f (x)的取值范圍恰為(1 ，+)，求 a 與 r 的值【解答】 解： (1)由題意： f (x)是奇函數(shù)，則 f ( x) +f (x) =0，即 loga+ =0高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析) ，解得： m=1，當(dāng) m= 1 時， f (x)無意義，所以 ，故得 m 的值為 1，設(shè) 2x1x2，則 f (x2 ) f (x1 ) =(2)由(1)得=2x1x2 ，02x1x2+2 (x1 x2 ) 4x1x2 (x1 x2 ) 4，a1，f (x2 )f (x1 )所以：函數(shù) f (x)在(2 ，+)上的單調(diào)

44、減函數(shù)(3)由(1)得 ， 得，函數(shù) f (x)的定義域?yàn)?， 2)(2 ，+)又 ，得 f (x)(， 0)(0 ，+)令 f (x) =1，則 =，解得： 所以： f ( ) =1當(dāng) a1 時， 2，此時 f (x)在在(2 ，+)上的單調(diào)減函數(shù)所以：當(dāng) x(2 ， )時，得 f (x) 1 ，+)；由題意： r=2，那么 a 2= ，解得： a=5所以：當(dāng) x(r ，a 2)，f (x)的取值范圍恰為(1 ，+)時， a 和 r 的值分別 為 5 和 221(2016 秋無錫期末) 已知向量 = (cos ，sin )， = (cos ， sin )，函數(shù) f (x) = m| + |+

45、1 ，x ， ，m R(1)當(dāng) m=0 時，求 f ( )的值；(2)若 f (x)的最小值為 1，求實(shí)數(shù) m 的值；高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)(3)是否存在實(shí)數(shù) m，使函數(shù) g (x) =f (x) + m2 ，x ， 有四個不同的零點(diǎn)？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，說明理由【解答】 解： (1) = (cos ，sin ) (cos ， sin ) =cos cos sin sin =cos ( + ) =cos2x，當(dāng) m=0 時， f (x) = +1=cos2x+1，則 f ( ) =cos (2 ) +1=cos +1= ；(2)x ， ， | + |= = =2co

46、sx，則 f (x) = m| + |+1=cos2x 2mcosx+1=2cos2x 2mcosx，令 t=cosx，則 t1，則 y=2t2 2mt，對稱軸 t= ，當(dāng) ，即 m1 時， 當(dāng) t= 時，函數(shù)取得最小值此時最小值 y= m= 1，得 m= (舍)，當(dāng) 1，即 m1 時，當(dāng) t= 時，函數(shù)取得最小值此時最小值 y= = 1，得 m= ，當(dāng) 1，即 m2 時，當(dāng) t=1 時，函數(shù)取得最小值此時最小值 y=2 2m= 1，得 m= (舍)，綜上若 f (x)的最小值為 1，則實(shí)數(shù) m= (3)令 g (x) =2cos2x 2mcosx+ m2=0，得 cosx= 或 ，方程 co

47、sx= 或 在 x ， 上有四個不同的實(shí)根，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)m ，即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 m ，得，則則22 (2016 秋義烏市期末)已知二次函數(shù) f (x) =ax2+bx+c(1)若 a=c0 ，f (1) =1，對任意 x| 2 ，2，f (x)的最大值與最小值之 和為 g (a)，求 g (a)的表達(dá)式；(2)若 a ，b ，c 為正整數(shù)，函數(shù) f (x)在( ， )上有兩個不同零點(diǎn)，求a+b+c 的最小值【解答】 解： (1) a=c0 ，f (1) =1，則 a+b+a=1 ，b=1 2a，f (x) =ax2+ (1 2a) x+a=a + ，當(dāng) 1 2，即 0

48、a 時， g (a) =f ( 2) +f (2) =10a；當(dāng) 21 0，即 a 時， g (a) =f (1 ) +f (2) =a +3，當(dāng) a 時， g (a) =f (1 ) +f ( 2) =9a 1，綜上所述， g (a) =(2) 函數(shù) f (x) 在 ( ， ) 上有兩個不同零點(diǎn) x1，x2，則 x1+x2= 0， x1x2= 0；a16c，由根的分布可知 f ( ) = a b+c0，即 a+16c4b，a ，b ，c 為正整數(shù)，a+16c4b+1f (0) =c0，0 ，b ，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)a+16c8 +1，可得( ) 21，a16c， 1， ，a25，

49、a26，b ，b11 ，c1f (x) =26x2+11x+1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故 a+b+c 的最小值為 3823 (2016 秋佛山期末)已知函數(shù) f (x) =(1)求 f (f ( )；(2)若 x0 滿足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，則稱 x0 為 f (x)的二階不動點(diǎn)，求函數(shù) f (x)的二階不動點(diǎn)的個數(shù)【解答】 解： (1)f (x) = f ( ) =ln = ，f (f ( ) =f ( ) =2 2 =1；(2)函數(shù) f (x) = x 0 ， )，f (x) =2 2x(1 ，2，x ，1)，f (x) =2 2x(0 ，1，x 1 ，e，

50、f (x) =lnx(0 ，1)，f (f (x) =若 x0 滿足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，則稱 x0 為 f (x)的二階不動點(diǎn)，所以： x0 0 ， )，ln (2 2x0 ) =x0 ，由 y=ln (2 x0 )，y=x0 ，圖象可知：高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)存在滿足題意的不動點(diǎn)x0 ，1)， 2+4x0=x0 ，解得 x0= ，滿足題意x0 1 ，e，2 2lnx0=x0 ，即 2 x0=2lnx0 ，由 y=2 x0 ，y=2lnx0 ，圖象可知：存在滿足題意的不動點(diǎn)函數(shù) f (x)的二階不動點(diǎn)的個數(shù)為： 3 個24 (2016 秋海安縣校

51、級期末)已知 aR，函數(shù) (1)當(dāng) a=0 時，解不等式 f (x)1；(2)當(dāng) a0 時，求函數(shù) y=2f (x) f (2x)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)設(shè) a0，若對于 tR，函數(shù)在區(qū)間t ，t+1上的最大值與最小值之差都不 超過 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍【解答】 解： (1) a=0 時， f (x) = ，f (x)1，即 1，02x1，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)解得 x0(2) y=2f (x) f (2x) = ，函數(shù) y=2f (x) f (2x)的定義域?yàn)閤|xlog2a，且 x log2a令 y=0 得 22x+1 2x a=0，令 t=2x (t0，且 ta ，t )，方程為

52、 2t2 t a=0，=1+8a0，若 a=1 ，t=1 或 ，方程無解，即函數(shù) y=2f (x) f (2x)的零點(diǎn)個數(shù)為 0若 0a1 或 a1，方程有兩個不相等的解，即函數(shù) y=2f (x) f (2x)的零點(diǎn) 個數(shù)為 2；(3)函數(shù) f (x)在區(qū)間t ，t+1上單調(diào)遞減，由題意得 f (t) f (t+1)1，即 1，22t+1 (3a+1) 2t+a2 0，設(shè) x=2t (x0)，則 2x2 (3a+1) x+a2 0，0 或，a25 (2016 秋西陵區(qū)校級期末)已知 aR，函數(shù) f (x) = (1)若 f (2) = 3，求實(shí)數(shù) a 的值；(2)若關(guān)于 x 的方程 f (x)

53、 log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一個元 素，求 a 的取值范圍(3)設(shè) a0，若對任意 t ，1，函數(shù) f (x)在區(qū)間t ，t+1上的最大值與最小值的差不超過 1，求 a 的取值范圍【解答】 解： (1) f (2) = 3，log2 ( +a) = 3=log2 ， +a= ，解得 a= 高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)(2)由 f (x) log2 (a 4) x+2a5=0 得 log2 ( +a) log2 (a 4) x+2a 5=0即 log2 ( +a) =log2 (a 4) x+2a 5，即 +a= (a 4) x+2a 50，則(a 4) x2+ (

54、a 5) x 1=0，即(x+1) (a 4) x 1=0，當(dāng) a=4 時，方程的解為 x= 1，代入，成立當(dāng) a=3 時，方程的解為 x= 1，代入，成立當(dāng) a4 且 a3 時，方程的解為 x= 1 或 x= ，若 x= 1 是方程的解，則 +a=a 10，即 a1，若 x= 是方程的解，則 +a=2a 40，即 a2，則要使方程有且僅有一個解，則 1a2綜上，若方程 f (x)log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一個元素，則 a 的取值范圍是 1a2，或 a=3 或 a=4(3)函數(shù) f (x)在區(qū)間t ，t+1上單調(diào)遞減，由題意得 f (t) f (t+1)1，即 lo

55、g2 ( +a) log2 ( +a)1，即 +a2 ( +a)，即 a =設(shè) 1 t=r，則 0r ， = = ，當(dāng) r=0 時， =0，當(dāng) 0r 時， = ，y=r+ 在(0 ， )上遞減，r+ +4= ，高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析) = = ，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a26 (2016 秋徐匯區(qū)期末)設(shè) aR，函數(shù) f (x) =x|x a|+2x(1)若 a=3，求函數(shù) f (x)在區(qū)間0 ，4上的最大值；(2)若存在 a(2 ，4，使得關(guān)于 x 的方程 f (x) =tf (a)有三個不相等的實(shí) 數(shù)解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍【解答】 解： (1) 當(dāng) a=3，x 0，4時， f (

56、x) =x|x 3|+2x= ，可知函數(shù) f (x)在區(qū)間0 ， 遞增，在( ，3上是減函數(shù)，在3 ，4遞增，則 f ( ) = ，f (4) =12，所以 f (x)在區(qū)間0 ，4上的最大值為 f (4) =12(2) f (x) =當(dāng) xa 時，因?yàn)?a2，所以，a所以 f (x)在a ，+)上單調(diào)遞增當(dāng) xa 時，因?yàn)?a2，所以 a所以 f (x)在(， )上單調(diào)遞增，在 ，a上單調(diào)遞減當(dāng) 2a4 時，知 f (x)在(， 和a ，+)上分別是增函數(shù)，在 ，a上是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) 2atf (a) 時，方程 f (x) =tf (a)有三個不相等的實(shí)數(shù)解即 1t = (a+ +4)令

57、g (a) =a+ ，g (a)在 a(2 ，4時是增函數(shù)，故 g (a) ma5高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)實(shí)數(shù) t 的取值范圍是(1 ， )27 (2016 春信陽期末)如圖，在半徑為 ，圓心角為 60的扇形的弧上任取 一點(diǎn) P，作扇形的內(nèi)接矩形 PNMQ，使點(diǎn) Q 在 OA 上，點(diǎn) N ，M 在 OB 上，設(shè)矩 形 PNMQ 的面積為 y，POB=( )將 y 表示成 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；()求矩形 PNMQ 的面積取得最大值時 的值；()求矩形 PNMQ 的面積 y 的概率【解答】 解： ( )在 RtPON 中，PNO=90，POB= ， ，所以 ， ，在 RtQMO 中，

58、QMO=90，QON=60 ，QM=PN=所以 OM=所以： MN=ON OM=所以 y=即： y=3sincos sin2 ，( )()由( )得 y=3sincos sin2 = = ) =(0 ， )高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)sin ( ) ，即 時， y 的最大值為 此時 ON= cos = = ，則 = | | |cos = =()若矩形 PNMQ 的面積 y ，則 ，即 sin ( ) ，則 sin ( ) ， ，即 ，則對應(yīng)的概率 P= =28 (2016 春蘇州期末)已知函數(shù) f (x) =x|x a|，a R ，g (x) =x2 1(1)當(dāng) a=1 時，解不等式 f (

59、x)g (x)；(2)記函數(shù) f (x)在區(qū)間0 ，2上的最大值為 F (a)，求 F (a)的表達(dá)式 【解答】 解： f (x)g (x)，a=1 時，即解不等式 x|x 1|x2 1 ， (1 分) 當(dāng) x1 時，不等式為 x2 xx2 1，解得 x1，所以 x=1 ； (3 分)當(dāng) x1 時，不等式為 x x2 x2 1，解得 ，所以 ； (5 分)綜上， x (6 分)(2)因?yàn)?x0 ，2，當(dāng) a0 時， f (x) =x2 ax，則 f (x)在區(qū)間0 ，2上是則 當(dāng)高一數(shù)學(xué)函數(shù)難題匯編(含解析)增函數(shù)，所以 F (a) =f (2) =4 2a ； (7 分)當(dāng) 0a2 時， ，

60、則 f (x)在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上是減函數(shù)，在區(qū)間a，2上是增函數(shù)，所以 F (a) =maxf ( )，f (2) ， (9 分)而 ，f (2) =4 2a，令 即 ，解得 ，所以當(dāng) 時， F (a) =4 2a ； (11 分)令 即 ，解得 或 ，所以當(dāng) 時， ； (12 分)當(dāng) a2 時， f (x) = x2+ax，當(dāng) 即 2a4 時， f (x)在間 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，； (13 分)，即 a4 時， f (x) 在間0，2上是增函數(shù)， 則 F (a) =f (2) =2a 4；(14 分)所以， (16 分)29(2015 秋黃浦區(qū)校級期末)已知函數(shù)g (x