立體幾何專題評估測試題及詳細答案

1、答案A立體幾何專題評估測試題時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.(2013濟寧一模)已知m,n是空間兩條不同的直線，a,B,丫是三個不同的平面，則下列命題正確的是A.若aB,mua,nuB,則mnB.若acy=m,BCY=n,mn,貝aBC.若muB,a丄B，則m丄aD.若m丄B,ma,貝a丄B解析根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，D正確.答案D2.(2013課標全國II)一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，畫該四面體三

2、視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為解析結(jié)合已知條件畫出圖形,然后按照要求作出正視圖.根據(jù)已知條件作出圖形：四面體CADB,標出各個點的坐標如圖所示,11/5/41/Cr1/可以看出正視圖是正方形,如圖(2)所示.故選A.答案C在空間中，不同的直線m,n,l不同的平面a,B,則下列命題正確的是A.ma,na，貝ymnB.ma,mB，貝UaBC.m丄l,n丄l，則mnD.m丄a,m丄B，貝aB答案D（2013大興一模）已知平面a,B,直線m,n,下列命題中不正確的是A.若m丄a,m丄B，貝UaBB.若mn,m丄a，則n丄aC.若ma,anB=n,則mnD.若m丄a,mB,

3、貝Ua丄B解析C中，當ma時，m只和過m平面與B的交線平行，所以C不正確.答案C5.（2013濱州模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.13D-21B-31C-2解析由三視圖可知，該幾何體是四棱錐，以俯視圖為底，高為1,俯視圖的面積為1X1=1,所以四棱錐的體積為|x1X1=3,選B.答案B6.下列命題正確的是若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行若一個平面內(nèi)的三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面垂直解析A不正確，滿足條件的直線可能相交也可能異面；B

4、不正確，當兩個平面相交時也滿足條件；由線面平行的性質(zhì)定理可知C正確；D不正確，垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，也可能相交.7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A.-翻nB.2-翻nC.(W2+1)nD.(2、./2+2)n解析由三視圖可知該幾何體是兩個高相等、底面完全重合的圓錐，圓錐的底面半徑為1，高為1,則該幾何體的表面積為2Xnrl=2XnXlX羽=2/2n.答案B設(shè)m,n是不同的直線，a,B,Y是不同的平面，有以下四個命題：aBa丄BB丫；m丄B；aYJmaJTOC o 1-5 h zm丄amna丄B；ma.mBJnuaJ其中真命題的是A.B.C.D.解析正確，平行于同一

5、平面的兩平面平行；中m可能在平面B內(nèi)，也可能mB,m丄B,正確.中可能mua.答案A(2013臨汾模擬)若某幾何體的三視圖是如圖所示的三個直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為答案D解析由三視圖可知該幾何體為三棱錐，并且在同一頂點上的三條棱兩兩垂直，且棱長分別為3、4、5，故該幾何體的外接球也就是棱長分別為3、4、5長方體的外接球，則該外接球的半徑R=2j32+42+52=琴，所以S=4nR2=50n.答案B（2013太原模擬）幾何體ABCDEP的三視圖如圖，其中正視圖為直角梯形，側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為正方形，則下列結(jié)論中不成立的是2俯視圖4正觀圖側(cè)視圖A.BD平面PCEB.AE丄平面

6、PBCC.平面BCE平面ADPD.CEDP解析由三視圖可知，該幾何體的底面是正方形，且棱EB和PA都與底面ABCD垂直.若CEDP，則CE在平面PDA上的射影和DP平行，這和幾何體的側(cè)視圖矛盾，故選項D不成立.11若底面邊長為a的正四棱錐的全面積與棱長為a為正方體的全面積相等，那么這個正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為A.33bD.265解析由題意知正四棱錐的每個側(cè)面面積為4&2.設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為X,則正四棱錐的斜高所以有2.，X2-4a=42，解得X=衛(wèi)尋a.TOC o 1-5 h z2a/13所以正四棱錐的側(cè)棱與底面所有角的余弦值為廠.26丄3答案C12.如圖所示，正方體ABCD-A

7、BCD中，E、F分別是正方形ADDA和ABCD的中心，G是CC1111111的中點，設(shè)GF、CE與AB所成的角分別是a、B,貝Ua+B等于1A120B60C75D90解析選BC的中點M,連接FM、MG,則ZGFM為GF與AB所成的角；連接ED,則ZECD為111CE與AB所成的角.計算出MF,MG,ED11的長度可知CD1MG=MF，故RtAGMFsRtCED,1ZGFM+ZECD=90。.選D.11答案D二、填空題（本大題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在題中的橫線上）13.將邊長為2的正方形沿對角線AC折起，以A,B,C,D為頂點的三棱錐的體積最大值等于解析如圖所示，設(shè)0是正方形AB

8、CD的對角線AC和BD的交點，AH是點A到平面BCD的距離，因為Sbc=2,所以當AH最大時，所求三棱錐的體積就最大，由圖可知當點H與點0重合時，AHBCD最大，此時AH=AO：2，貝V三棱錐的體積最大值為V=3乂2人翻=半.D0C答案罕14.(2013揚州模擬)正四面體ABCD中，AO丄平面BCD,垂足為0,設(shè)M是線段A0上一點,且ZBMC是直角，則鼬值為.解析如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，由條件知0是正三角形BCD的重心，所以B0十零AD=”學MB設(shè)M0=x，則CM2=BM2=X2計43.又因為ZBMC是直角，所以BC2=CM2+BM2,(4)、尿即4=2卜+才，解得x=*,川0

9、=單，即M0=*A0，32答案115.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD丄平面CEFB，CE=1，ZAED=30，貝V異面直線BC與AE所成的角的大小為.1解析由題意，正方形和菱形的邊長均為1.又面ABCD丄平面CEFB，所以CE丄平面ABCD,于是CE丄CD，從而DE=、；2.在ADE中，AD=1,DE=、j2,ZAED=30,由正弦定理得ADsinZAEDDEsinZEAD所以sinZEAD=DEsinZAED寸2AD=2，故ZEAD=45.又BCAD，所以異面直線BC與AE所成角為ZEAD，即45.答案45設(shè)1，m，n表示不同的直線，a、B、丫表示不同的平面

10、，給出下列四個命題：若m1，且m丄a，貝廿1丄a；若m1，且ma，貝y1a；若anB=1，BY=m，Ya=n，貝1mn；若anB=m，Bgy=1，Ya=n，且nB，貝U1m.其中正確命題的個數(shù)為.解析正確.中當直線1a時，不成立.中，還有可能相交于一點，不成立.正確，故有2個正確的命題.答案2三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）（2013濟南模擬）如圖，斜三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC丄底面ABC，底面11111ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面AACC是菱形，ZAAC=60,E、F分別是AC、AB的中點.11111（1）求證:

11、EC丄平面ABC；（2）求三棱錐A-EFC的體積.解析（1）證明在平面AACC內(nèi)，作A0丄AC,0為垂足.111因為ZAAC=60，所以A0=2aa=2ac,即0為AC的中點，所以0C綊AE.1因而EC綊A0.1因為側(cè)面AACC丄底面ABC,交線為AC,AO丄AC,111所以A0丄底面ABC,所以EC丄底面ABC.（5分）1F到平面AEC的距離等于B點到平面AEC距離B0的一半，而B0=/3,所以VA-EFC=VF-AEC=|sAEC2b0=|1AEEC1羽斗仃。分）18.（12分）如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AABC是等邊三角形，D是BC的中點.111（1）求證：直線AD丄BC；111（

12、2）判斷AB與平面ADC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.11解析（1）證明在直三棱柱ABC-ABC中，AA丄面ABC,所以AA丄BC.11111在等邊ABC中，D是BC中點，所以AD丄BC.因為在平面AAD中，AAnADA,所以BC丄面AAD.111又因為AD面AAD，所以，AD丄BC.（3分）111在直三棱柱ABC-ABC中，四邊形BCCB是平行四邊形，所以BCBC,所以AD丄BC.（6分）1111111111（2）在直三棱柱ABC-ABC中，四邊形ACCA是平行四邊形，在平行四邊形ACCA中連接AC,11111111交于AC點0,連接D0.則0為AC中點.11在三角形ACB中，D為BC中點，0

13、為AC中點，故DOAB.（10分）111因為DOu平面DAC,AB平面DAC，所以AB面ADC,11111故AB與面ADC平行.（12分）1119.（12分）（2013門頭溝區(qū)一模）如圖，已知平面a,B,且anB=AB,PC丄a,PD丄B,C，D是垂足（1）求證:AB丄平面PCD；若PC=PD=1,CD：2，試判斷平面a與平面B是否垂直，并證明你的結(jié)論.解析證明因為PC丄a,ABua,所以PC丄AB.同理PD丄AB.又PCGPD=P,故AB丄平面PCD.（5分）（2）平面a與平面B垂直.（6分）證明設(shè)AB與平面PCD的交點為H,連接CH、DH.因為PC丄a,所以PC丄CH.在厶PCD中，PC=

14、PD=1,CD=Q所以CD2=PC2+PD2=2，即ZCPD=90.在平面四邊形PCHD中，PC丄PD,PC丄CH,所以PDCH.（10分）又PD丄B,所以CH丄B，所以平面a丄平面B.（12分）20.（12分）如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AABC是等邊三角形，D是BC的中點.（1）求證：AB平面ADC；35若AB=BB=2,求AD與平面ACD所成角的正弦值.111解析證明因為三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，111所以四邊形AACC是矩形.11連接AC交AC于0,則0是AC的中點.111又D是BC的中點，所以在厶ADC中，0DAB.（3分）11因為AB平面ADC,0D平面ADC,111所以

15、AB平面ADC.（5分）11（2）因為ABC是等邊三角形，D是BC的中點，所以AD丄BC.以D為原點，建立如圖所示空間坐標系Dxyz.由已知AB=BB=2，得D（0,0,0），A3，0,0）,AG；3，0,2），C（0，1,2）.（6分）則DA=G,3,0,0）,DC=（0,l,2），設(shè)平面ADC的法向量為n=（x,y,z）.nDA=0由nDC=01令z=l,則X=0,y=2,所以n=（0,2,1）.（8分）又DA=（、；30,2），得nDA=0X.用+2X0+1X2=2,所以cosDA，n1設(shè)AD與平面ADC所成角為。，則sin110=|cosDA,n12禍=35，（11分）所以AD與平面A

16、DC所成角的正弦值為1135.（12分）21.（12分）（2013南京模擬）如圖，在直角梯形ABCP中，APBC,AP丄AB,AB=BC=$P=2,D是AP的中點，E、F、G分別為PC、PD、CB的中點，將PCD沿CD折起，使得PD丄平面ABCD.求證：平面PCD丄平面PAD；（2）求面GEF與面EFD所成銳二面角的大小.解析證明VPD丄平面ABCD，PD丄CD.CD丄AD，.CD丄平面PAD.CDu平面PCD，.平面PCD丄平面PAD.（5分）如圖以D為原點，以DA，DC，DP為方向向量建立空間直角坐標系Dxyz.則有關(guān)點及向量的坐標為G（1,2,0），E（0,1,1），F(xiàn)（0,0,1），E

17、F=（0，1,0），EG=（1,1，1）.（7分）設(shè)平面EFG的法向量為n=（x，y，z），nEF=0Jy=0Jx=znEG=0nx+yz=0JyF取n=（1,0,1）平面EFG的一個法向量.（10分）DA=（1,0,0）為平面EFD的法向量,cosDCA，nDAn|DA|n2面GEF與面EFD所成銳二面角的大小為45.（12分）22.（12分）（2013朝陽一模）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAC丄平面ABCD,且PA丄AC,PA=AD=2.四邊形ABCD滿足BCAD,AB丄AD,AB=BC=1,點E,F分別為側(cè)棱PB,PC上的點，且PE亠入且PBPC（1）求證:EF平面PAD；當入=2

18、時，求異面直線BF與CD所成角的余弦值;（3）是否存在實數(shù)入，使得平面AFD丄平面PCD?若存在，試求出入的值；若不存在，請說明理由.PEPF解析證明由已知，西=丸=入，所以EFBC.因為BCAD，所以EFAD.而EF平面PAD，AD平面PAD，所以EF平面PAD.（4分）因為平面ABCD丄平面PAC，平面ABCDn平面PAC=AC,且PA丄AC，所以PA丄平面ABCD,所以PA丄AB,PA丄AD.又因為AB丄AD，所以PA,AB,AD兩兩垂直.如圖所示，建立空間直角坐標系，因為AB=BC=1,PA=AD=2，所以A(0,0,0),B(1,O,O),C(1,1,O),D(0,2,0),P(0,0,2).當入二石時，F(xiàn)為PC中點，所以F石,-,1,(i1所以前=-22ij苗=(i,i,o).設(shè)異面直線BF與CD所成的角為0,所以COS0=|cosBF,CD)|=(112,2,1J1,1,03，J4+#所以異面直線BF與CD所成角的余弦值為#.（8分）設(shè)F(x,y,z),則PF=(x,y,z2),000000FC=(1,1,2).由已知PF=hfC,所以(X,y,z2)=入(1,1,一2),000X=入，0所以y=入，所以A