高中數(shù)學(xué)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。 中元素各表示什么？ A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點(diǎn)的軌跡2 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 顯然，這里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3. 注意下列性質(zhì)： 1. 元素與集合的關(guān)系 , .2.德

2、摩根公式 .3.包含關(guān)系 4.容斥原理 要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,an,都有2種選擇，所以，總共有 種選擇， 即集合A有 個子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這 種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為 ，非空真子集個數(shù)為 （3）德摩根定律： 有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂 4. 你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。 注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬

3、上知道函數(shù)對稱軸是x=1.或者，我說在上 ，也應(yīng)該馬上可以想到m，n實(shí)際上就是方程 的2個根5、熟悉命題的幾種形式、 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？ （互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)?？迹?滿足條件 ， 滿足條件 ，若 ；則 是 的充分非必要條件 ；若 ；則 是 的必要非充分條件 ；若 ；則 是 的充要條件 ；若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ； 7. 對映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。

4、）注意映射個數(shù)的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數(shù)有nm個。如：若 ， ；問： 到 的映射有 個， 到 的映射有 個； 到 的函數(shù)有 個，若 ，則 到 的一一映射有 個。函數(shù) 的圖象與直線 交點(diǎn)的個數(shù)為 個。 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？ （定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時具備) 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 函數(shù)定義域求法：?分式中的分母不為零；?偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；?指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；?對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。?正切函數(shù) ?余切函

5、數(shù) ?反三角函數(shù)的定義域函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是 ，函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, ，函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是 .，函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .當(dāng)以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 義域是_。 復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知 的定義域?yàn)?，求 的定義域，可由 解出x的范圍，即為 的定義域。例 若函數(shù) 的定義域?yàn)?，則 的定義域?yàn)?。分析：由函數(shù) 的定義域?yàn)?可知： ；所以 中有 。解：

6、依題意知： 解之，得 的定義域?yàn)?11、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y= 的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y= -2x+5，x -1，2的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂 4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y= 值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的

7、值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y= ， ， 的值域。 6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例求函數(shù)y= （2x10）的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+ 的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點(diǎn)P（x.y）在圓x2+y2=1上， 例求函數(shù)y= + 的值域。解：

8、原函數(shù)可化簡得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，y=x-2+x+8=AB=10 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=x-2+x+8AB=10 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0，+）例求函數(shù)y= + 的值域解：原函數(shù)可變形為：y= + 上式可看成x軸上的點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時， y =AB= = ，故所求函數(shù)的值域?yàn)?，+）。例求函數(shù)y= - 的值域解：將函數(shù)變形為：y= - 上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0 ）的距離

9、與定點(diǎn)B（-2，1）到點(diǎn)P（x，0）的距離之差。即：y=AP-BP由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時，如點(diǎn)P1，則構(gòu)成ABP1，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 AP1-BP1AB= = 即：- y （2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時，有 AP-BP= AB= 。綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋海? ，- ）。注：求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點(diǎn)在x 軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使兩點(diǎn)A，B在x軸的同側(cè)。9 、不等式法利用基本不等式a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，

10、不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例： 倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y= 的值域 多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯誤，與到手的滿分失之交臂 13. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （

11、反解x；互換x、y；注明定義域） 在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：(2004.全國理)函數(shù) 的反函數(shù)是（ B ）Ay=x22x+2(x1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x (x=1. 排除選項C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y=1,則反函數(shù)定義域?yàn)閤=1, 答案為B.我題目已經(jīng)做完了， 好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？14. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 反函數(shù)性質(zhì)：1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對應(yīng)原函數(shù)中的y）2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對應(yīng)原函數(shù)中的x

12、）3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對稱（難怪點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對稱 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對稱； 保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04. 上海春季高考）已知函數(shù) ，則方程 的解 _.1對于這一類題目，其實(shí)方法特別簡單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進(jìn)去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。 自己想想，不懂再問我 15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f

13、(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求 的正負(fù)號或者 與1的關(guān)系(2)參照圖象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時，它們是同向變化的；當(dāng)c0時，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1

14、(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與 在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x

15、) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 ）16. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值為3）17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 判斷函數(shù)奇偶性的方法一、定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，計算

16、 ，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性. 三、復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T是一個周期。） 我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)： ，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱， 對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x

17、)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0) （這是書上的方法，雖然我從來不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實(shí)根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點(diǎn)的坐標(biāo)。 看點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。） 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟

18、練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn)) 的雙曲線。 應(yīng)用：“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程 求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定！） 利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？ 21. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡單得都可以直接用死記了1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=

19、x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類常見的抽象函數(shù) 1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（ ） 3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy） 4.對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a0且a1）-f（x?y）f（x）f（y）；f（ ） f（x）f（y）5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）tgx- f（xy） f（x）cotx- f（xy） 例1已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f(x)0，f(1) 2求f(x)

20、在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x?y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍

21、.分析：（1）利用313；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）?g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進(jìn)而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足以下三個條件：x1、x2是定義域中的數(shù)時，有f（x1x2） ；f（a） 1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）；當(dāng)0 x2a時，f（x）0. 試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：

22、（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函數(shù)；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1）求證：f（1）f（1）0；（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；（3）若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x ）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1）先令xy1，再令xy 1；（2）令y 1；（3）由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）