六講矩陣的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析課件精選

1、六講矩陣的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析課件精選六講矩陣的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析課件精選第六講 矩陣的代數(shù)運(yùn)算 和數(shù)據(jù)分析6.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算6.2 數(shù)據(jù)分析9/9/20222mathworks第六講 矩陣的代數(shù)運(yùn)算 和數(shù)據(jù)分析6.6.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算e i g ( A ) 求包含矩陣A的特征值的向量。 X , D = e i g ( A ) 產(chǎn)生一個(gè)矩陣A的特征值在對(duì)角線上的對(duì)角矩陣D和矩陣X，它們的列是相應(yīng)的特征向量，滿足A X=X D。為了得到有更好條件特征值的矩陣要進(jìn)行相似變換。9/9/20223mathworks6.1 矩陣的代數(shù)運(yùn)算e i g ( A ) 求包含矩陣A的6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算d

2、e t ( A ) 求方陣A的行列式。r a n k ( A ) 求A的秩，即A中線性無(wú)關(guān)的行數(shù)和列數(shù)。i n v ( A ) 求方陣A的逆矩陣。如果A是奇異矩陣或者近似奇異矩陣，則會(huì)給出一個(gè)錯(cuò)誤信息。9/9/20224mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算9/6/20226mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算線性系統(tǒng)的求解和L U分解M AT L A B用如下命令求解系統(tǒng)A x = b：則 x = A b。如果A是一個(gè)奇異矩陣，或者是近似奇異矩陣，則會(huì)給出一個(gè)錯(cuò)誤信息。L U分解方法就是令A(yù) = L U，其中U是一個(gè)上三角矩陣， L是一個(gè)帶有單位對(duì)角線的下三角矩陣。然而為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性

3、可以使用部分主元法。也就是說，L通常是一個(gè)改變序列的下三角矩陣。9/9/20225mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算線性系統(tǒng)的求解和L U分解9/6/2026.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算 L , U = l u ( A ) 求上三角矩陣U和交換下三角矩陣L。L是一個(gè)帶有單位對(duì)角線 的下三角矩陣和交換矩陣，即P的逆矩陣的乘積，見下個(gè)命令。 L , U , P = l u ( A ) 求上三角矩陣U、有單位對(duì)角線的下三角矩陣L和交換矩陣P，滿足L U = PA。9/9/20226mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算 L , U = l u ( A 6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算Q R分解。假設(shè)A是nn的矩陣，那

4、么A就可以分解成：A = Q R ，其中Q是一個(gè)正交矩陣， R是一個(gè)大小和A相同的上三角矩陣，因此A x = b可以表示為 Q R x = b或者等同于：R x = Q b 。這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比較， Q R因式分解的主要優(yōu)點(diǎn)在于有更高的穩(wěn)定性，然而它的數(shù)學(xué)運(yùn)算更麻煩一些。9/9/20227mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算Q R分解。9/6/20229mathw6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算 Q , R = q r ( A ) 求得mm的矩陣Q和上三角矩陣R，Q的列形成了一個(gè)正交基，Q和R滿足A = Q R。 Q , R , P = q r ( A ) 求得

5、矩陣Q、上三角矩陣R和交換矩陣P。Q的列形成一個(gè)正交基，R的對(duì)角線元素按大小降序排列，它們滿足A P=Q R。 Q , R = q r ( A , 0 ) 求矩陣A的Q R因式分解。如果在mn的矩陣A中行數(shù)小于列數(shù)，則給出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交換矩陣。9/9/20228mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算 Q , R = q r ( A 6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算向量范數(shù)n o r m ( x ) 求歐幾里得范數(shù)。n o r m ( x , i n f ) 求無(wú)窮范數(shù)，即| | x | | = m a x ( a b s ( x ) )。n o r m ( x , 1 ) 求

6、1 -范數(shù)。n o r m ( x , p ) 求p -范數(shù)， 。n o r m ( x ,i n f ) 求向量x的元素的絕對(duì)值的最小值，即m i n ( a b s ( x ) )。注意，這不是向量的范數(shù)。9/9/20229mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算向量范數(shù)9/6/202211mathwo6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算矩陣范數(shù)n o r m ( A ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2，n o r m ( A , 1 ) 求列范數(shù)| | A | |1，等于A的列向量的1 -范數(shù)的最大值。n o r m ( A , 2 ) 求歐幾里得范數(shù)| | A | |2，和n o r m ( A )

7、一樣。n o r m ( A , i n f ) 求行范數(shù)| | A | | (inf)，等于A的行向量的1 -范數(shù)的最大值。9/9/202210mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算矩陣范數(shù)9/6/202212mathwo6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算c o n d ( A ) 求A的歐幾里得范數(shù)的條件數(shù)。c o n d ( A , p ) 求p-范數(shù)的條件數(shù)， p的值可以是1、2、或者inf9/9/202211mathworks6.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算c o n d ( A ) 求A的歐幾里6.2 數(shù)據(jù)分析1.最大值和最小值m a x ( x ) 返回x中最大的元素值，如果x是復(fù)數(shù)，則返回m a x (

8、 a b s ( x ) )值。m a x ( A ) 返回一個(gè)行向量，它的第i個(gè)元素是A中第i列的最大的元素；如果A為復(fù)數(shù)時(shí)，則返回m a x ( a b s ( A ) )值。9/9/202212mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析1.最大值和最小值9/6/202214mat6.2 數(shù)據(jù)分析 y , i n d = m a x ( A )返回一個(gè)行向量，它的第i個(gè)元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存每列的最大數(shù)的行下標(biāo)。m a x ( A , B ) 返回一個(gè)和A、B相同維數(shù)的矩陣，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。9/9/202213mathworks6.

9、2 數(shù)據(jù)分析 y , i n d = m a x 6.2 數(shù)據(jù)分析max(A , k)將A中小于k的數(shù)換成k。m i n ( x ) 返回向量x中最小的元素。該命令關(guān)于矩陣的操作和m a x一樣，如果x是復(fù)數(shù)，則返回m i n ( a b s ( x ) )值。9/9/202214mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析max(A , k)將A中小于k的數(shù)換成k。6.2 數(shù)據(jù)分析2.求和、乘積和差分s u m ( x ) 返回向量x所有元素的和。s u m ( A ) 返回一個(gè)包含矩陣A各列元素之和的行向量。c u m s u m ( x ) 返回一個(gè)x中元素累計(jì)和的向量，也就是第2個(gè)元素是x中前兩

10、個(gè)元素之和，以此類推。9/9/202215mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析2.求和、乘積和差分9/6/202217ma6.2 數(shù)據(jù)分析c u m s u m ( A ) 返回一個(gè)與A同樣大小的矩陣，它的列是A中列的累計(jì)和。3. 乘積p r o d ( x ) 返回x中各元素乘積。p r o d ( A ) 返回一個(gè)元素是列乘積的多維矩陣。9/9/202216mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析c u m s u m ( A ) 返回一個(gè)6.2 數(shù)據(jù)分析cumprod ( x ) 返回一個(gè)x中各元素累計(jì)積的向量，也就是第2個(gè)元素是x中前兩個(gè)元素的累計(jì)積，以此類推。cumprod ( A ) 返回

11、一個(gè)矩陣，其中列元素是A中列元素的累計(jì)積。9/9/202217mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析cumprod ( x ) 返回一個(gè)x中各元6.2 數(shù)據(jù)分析4. 差分和梯度diff ( x ) 給出一個(gè)長(zhǎng)度為n1的向量，它的元素是長(zhǎng)度為n的向量x中相鄰的元素的差。如果x= (x1 x2. . . xn)，則d i f f( x )= (x2x1 x3x2. . . xnxn1)。diff ( A ) 對(duì)A按列作差分。就是d i f f ( A ) = A ( 2 : m , : )A ( 1 : m1 , : )。diff ( x , k ) 求出第k次差分， d i f f ( x , 2

12、)和d i f f ( d i f f ( x ) )等價(jià)。9/9/202218mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析4. 差分和梯度9/6/202220math6.2 數(shù)據(jù)分析5. 平均值、中值和標(biāo)準(zhǔn)差m e a n ( x ) 求出向量x的算術(shù)平均值。m e a n ( A) 返回按列求算術(shù)平均值的行向量。m e d i a n ( x ) 求出向量x中元素的中值。m e d i a n ( A )返回按列求中值的行向量。s t d ( x ) 求出向量x中元素的標(biāo)準(zhǔn)差。s t d ( A)返回按列求標(biāo)準(zhǔn)差的行向量。9/9/202219mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析5. 平均值、中值和標(biāo)準(zhǔn)差9/6/202226.2 數(shù)據(jù)分析6. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)cov ( x ) 求向量x的協(xié)方差。cov ( A ) 求協(xié)方差矩陣，對(duì)角線元素是A中各列的方差。cov ( x , y ) 等同于cov(x y)，x和y是列向量。corrcoef ( A ) 求相關(guān)矩陣。corrcoef ( x , y ) 等同于corrcoef(x y) ，x和y是列向量。9/9/202220mathworks6.2 數(shù)據(jù)分析6. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)9/6/202222m6.2 數(shù)據(jù)分析7. 排序s o r t ( x ) 返回一個(gè)向量x的元素按遞增排序的向量。如果元