全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題(19屆)

1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題.(19屆)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題.(19屆)9/9全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題.(19屆)第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題一、填空題（每題5分，共20分）(xy)ln(1y)1計算Dxdxdy_，其中地域D由直線xy1與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形地域.1xy2設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)3x22_.f(x)dx2,則f(x)03曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是_.24設(shè)函數(shù)yy(x)由方程xef(y)eyln29確定，其中f擁有二階導(dǎo)數(shù)，且f1，則d2y_.dx2二、（5分）求極限lim(exe2xenxe)x，其中n是給定的正整數(shù).x0n1f

2、(xt)dt，且limf(x)A，A為常數(shù)，求g(x)并談?wù)揼(x)三、（15分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x)0 x0 x在x0處的連續(xù)性.四、（15分）已知平面地域D(x,y)|0 x,0y，L為D的正向界線，試證：（1）xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx；（2）xesinydyyesinydx52.LLL2五、（10分）已知y1xexe2x，y2xexex，y3xexe2xex是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線yax2bx2lnc過原點.當(dāng)0 x1時,y0,又已知該拋物線與x軸及直線1所圍圖形的面積為1.試確定a,

3、b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.3七、（15分）已知un(x)滿足un(x)un(x)xn1ex(n1,2,),且un(1)e,求函數(shù)項級數(shù)un(x)之和.nn1八、（10分）求x1時,與xn2等價的無量大量.n0第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題一、（25分，每題5分）a2n1x2（1）設(shè)xn(1a)(1a2)L(1),其中|a|1,求limxn.（2）求limex1。nxx（3）設(shè)s0，求Iesxxndx(nL)。01,2,（4）設(shè)函數(shù)f(t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，rx2y2,g(x,y)f1，求2g2g。rx2y2（5）求直線l1:xy0與直線l2:x42y1z3的距離。z

4、021二、（15分）設(shè)函數(shù)f(x)在(,)上擁有二階導(dǎo)數(shù)，并且f(x)0,limf(x)0,limf(x)0,且xx存在一點x0，使得f(x0)0,證明：方程f(x)0在(,)恰有兩個實根。三、（15分）設(shè)函數(shù)yf(x)由參數(shù)方程x2tt2(t1)所確定，其中(t)擁有二階導(dǎo)數(shù)，曲線y(t)yt2eu23在t1出相切，求函數(shù)(t)。(t)與ydu2e1四、（15分）設(shè)annak,證明：（1）當(dāng)1時，級數(shù)an收斂；（2）當(dāng)1且sn(n)0,Snk1n1Sn時，級數(shù)an發(fā)散。n1Sn五、（15分）設(shè)l是過原點、方向為(,)，（其中2221)的直線，均勻橢球x2y2z21，a2b2c2其中（0cba

5、,密度為1）繞l旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向(,)的最大值和最小值。六、(15分)設(shè)函數(shù)(x)擁有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意圓滑的簡單閉曲線C上，曲線積分2xydx(x)dy的值為常數(shù)。（1）設(shè)L為正向閉曲線(x2)2y21,證明2xydx(x)dy0;（）?42?422xyxycc求函數(shù)(x)；（3）設(shè)C是圍繞原點的圓滑簡單正向閉曲線，求?2xydx(x)dy。x4y2c第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題一計算以下各題（共3小題，每題各5分，共15分）1111（1）.求limsinx1cosx（2）.求lim.；x0 xnn1n2nn（3）已知xln1e2td2yyt

6、arctanet，求dx2。二（10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。三（15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)擁有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f0,f0,f0均不為0，證明：存在唯一一組實數(shù)k1,k2,k3，使得limk1fhk2f2h2k3f3hf00。h0h四（17分）設(shè)1:x2y2z21，其中abc0，2:z2x2y2，為1與2a2b2c2的交線，求橢球面1在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。x23y21z0）取上五（16分）已知S是空間曲線0繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（z側(cè)，是S在Px,y,z點處的切平面，x,y,z是原點到切平面的距離，,表示S的正法向的方向余弦。計算：

7、（1）zdS；（2）zx3yzdSSx,y,zS六（12分）設(shè)f(x)是在,內(nèi)的可微函數(shù)，且f、xmfx，其中0m1，任取實數(shù)a0，定義anlnfan1,n1,2,.,證明：anan1絕對收斂。n1七（15分）可否存在區(qū)間0,2上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足f0f21，2xdx1？請說明原由。f、x1,f0第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試卷一.每題6分共30分1x11.求極限lim(n!)n2；2.求極限lim3xxnxsintdt；tcost3.求經(jīng)過直線L:2xy3z0的兩個相互垂直的平面1,2，是其中一個平面過點（4,3,1）；5x5y4z304.已知函數(shù)zu(x,y)eaxby，且2u0

8、，確定常數(shù)a和b，使函數(shù)zz(x,y)滿足方程xy2zzzz0；xyxx5.設(shè)函數(shù)uu(x)連續(xù)可微，u(2)1，且(x2y)udx(xu3)udy在右半平面上與路徑?jīng)]關(guān)，求u(x)；L二.（10分）計算0e2x|sinx|dx；三.（10分）求方程x2sin12x501的近似解，精確到0.001；x四.（12分）設(shè)函數(shù)yf(x)二階可導(dǎo)，且f(x)0,f(0)0,f(0)0，求limx3f(u)，其中u是3x0f(x)sinu曲線yf(x)上點P(x,f(x)處切線在x軸上的截距；五.（12分）求最小實數(shù)C，使得對滿足11|f(x)|dx1的連續(xù)的函數(shù)f(x)，都有f(x)dxC；00六.（

9、12分）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，t0，地域是由拋物面zx2y2和球面x2y2z2t2所圍起來的上半部分，定義三重積分Ftfx2y2z2dv，求F(t)；()()七.（14分）設(shè)an與bn為正項級數(shù)那么（an10，則an收斂；（1）若1）若lim()n1n1nan1bnbnn1an10，則若lim()bn發(fā)散，an收斂。nan1bnbnn1n1第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試卷一、解答以下各題（每題6分共24分）4n2nsinxdx不是絕對收斂的1.求極限lim1sin1.2.證明廣義積分n0 x3.設(shè)函數(shù)yyx由x33x2y2y32確定，求yx的極值。4.過曲線y3xx0上的點A作切線，使該切線與

10、曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積為3，求點A的坐標(biāo)。4二、（12分）計算定積分xsinxarctanexdx1cos2xI三、（12分）設(shè)fx在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)f0，且limfx0。證明：級數(shù)f1收斂。x0 xn1nb2四、（12分）設(shè)fx,fx0axb，證明sinfxdxam五、（14分）設(shè)是一個圓滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（14分）設(shè)Iar?ydxxdy，其中a為常數(shù)，曲線C為橢圓x222x2y2axyyr，取正向。求極限ClimIarr11L七（14分）判斷級數(shù)2n的斂散性

11、，若收斂，求其和。n1n1n2第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試題一填空題(共有5小題，每題6分，共30分)已知1x和1x是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是_1.yeyxe2.設(shè)有曲面S:zx22y2和平面L:2x2yz0。則與L平行的S的切平面方程是_3.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程xsin2tdt所確定。求dy_yx14dxx0n1f(x)kf(x)x34.設(shè)xn。則limxn_5.已知lim1_xe。則limx2k1(k1)!nx0 xx0二（12分）設(shè)n為正整數(shù)，計算I1dcosln1dx。e2ndxx三（14分）設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上有二階導(dǎo)數(shù)，且有正常數(shù)A,B使得|f(x)|A，

12、|f(x)|B。證明：對任意x0,1，有|f(x)|2AB。2四（14分）（1）設(shè)一球缺高為h，所在球半徑為R。證明該球缺體積為(3Rh)h2。球冠面積為2Rh；3（2）設(shè)球體(x1)2(y1)2(z1)212被平面P:xyz6所截得小球缺為，記球冠為，方向指向球外。求第二型曲面積分Ixdydzydzdxzdxdy五（15分）設(shè)f在a,b上非負連續(xù)，嚴(yán)格單增，且存在xna,b，使得f(xn)n1bf(x)ndx。baa求limxnnnnn。求limnAn六（15分）設(shè)An22222n1n2nnn4第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試卷一、填空題（每題6分，共5小題，滿分30分）sinsin2sin（

13、1）極限limnnnL.222nn1n2nn（2）設(shè)函數(shù)zzx,y由方程Fxz,yz0所決定，其中Fu,v擁有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且yxxFuyFv0。則xzyz.xy（3）曲面zx2y21在點M1,1,3的切平面與曲面所圍地域的體積是.(4)函數(shù)fx3,x5,05,5的傅立葉級數(shù)在x0收斂的值是.0.x在0,5（5）設(shè)區(qū)間0,上的函數(shù)ux定義域為的uxext2dt，則ux的初等函數(shù)表達式0是.二、（12分）設(shè)M是以三個正半軸為母線的半圓錐面，求其方程。三、（12分）設(shè)fx在a,b內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在常數(shù),，使得關(guān)于xa,b，有fxfxfx，則fx在a,b內(nèi)無量次可導(dǎo)。四、（14分）求冪級數(shù)n32x1n

14、的收斂域，及其和函數(shù)。n0n1!五、（16分）設(shè)函數(shù)fx在1fxdx0,10,1上連續(xù)，且xfxdx1。試證：00（1）x00,1使fx04（2）x10,1使fx14六、（16分）設(shè)fx,y在x2y21上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且fxx22fxy2fyy2M。若f0,00,fx0,0fy0,00,證明：fx,ydxdyM。x2y214第八屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試卷一、填空題（每題5分，滿分30分）1fa1、若fx在點xa可導(dǎo)，且fa0，則limnfann.2、若f10，f1存在，求極限Ilimfsin2xcosxtan3xx2.x01sinxe3、設(shè)fx有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f12，記zfexy2，若z

15、z，求fx在x0的表達式.x4、設(shè)xsin2，求，4.fxex0anf025、求曲面zx2y2平行于平面2x2yz0的切平面方程.2二、（14分）設(shè)fx在0,1上可導(dǎo)，f00，且當(dāng)x0,1，0fx1，試證當(dāng)a0,1，a2a3fxdxxdx.0f0三、（14分）某物體所在的空間地域為:x2y22z2xy2z，密度函數(shù)為x2y2z2，求質(zhì)量Mx2y2z2dxdydz.四、（14分）設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間0,1上擁有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f00，f11，11nk1.證明：limnxdxffn0nk1n2fx在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，且I10,1內(nèi)存在不同樣的兩點x1,x2，五、（14分）設(shè)函數(shù)fxdx0，證明：在011

16、2使得fx2.fx1I六、設(shè)fx在,可導(dǎo)，且fxfx2fx3.用Fourier級數(shù)理論證明fx為常數(shù).第九屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽初賽試卷一填空1.已知可導(dǎo)函數(shù)滿足,則f(x)2求limsin2n2nn3.設(shè)wf(u,v)擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且u=xcy，v=x+cy，其中c為非零常數(shù)。則wxx12wyy=_。c4.設(shè)f(x)有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)f(0)0,f(0)f(sin2x)=_6，則lim4x0 x5不定積分Iesinxsin2xdx=_.(1sinx)26.記曲面z2x2y2和z4x2y2圍成空間地域為V，則三重積分zdxdydz=_.V二（本題滿分14分)設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對任何角度，定義一元函數(shù)g(t)f(tc