人教版高中數(shù)學【必修三】知識點整理及重點題型梳理-算法與程序框圖-提高

1、精品文檔 用心整理資料來源于網(wǎng)絡 僅供免費交流使用人教版高中數(shù)學必修三知識點梳理重點題型（ ?？贾R點 ）鞏固練習算法與程序框圖【學習目標】初步建立算法的概念；讓學生通過豐富的實例體會算法的思想；讓學生通過對具體問題的探究，初步了解算法的含義；掌握程序框圖的概念；會用通用的圖形符號表示算法，掌握算法的三個基本邏輯結(jié)構(gòu)；掌握畫程序框圖的基本規(guī)則，能正確畫出程序框圖 .【要點梳理】【算法與程序框圖 397425 知識講解 1】要點一、算法的概念1、算法的定義： 廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算 法，菜譜是做菜的算法等等 .在數(shù)學中， 現(xiàn)代意義

2、的算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序和步驟， 這些程序或步驟必須 是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成 .2、算法的特征：（1）確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、 “不重不漏” . “不重”是指不是可有可無的、甚至 無用的步驟， “不漏”是指缺少哪一步都無法完成任務 .（ 2）邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù) .（3）有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也 就是說必須在有限步內(nèi)完成任務，不能無限制的持續(xù)進行 .（4）不唯一性：求

3、解某一個問題的算法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法3、設計算法的要求（ 1）寫出的算法，必須能解決一類問題（如：判斷一個整數(shù)35 是否為質(zhì)數(shù)；求任意一個方程的近似解），并且能夠重復使用（2）要使算法盡量簡單、步驟盡量少（3）要保證算法正確且計算機能夠執(zhí)行，如：讓計算機計算12 3 4 5 是可以做到的4、算法的描述：（ 1 ）自然語言：自然語言就是人們?nèi)粘Ｊ褂玫恼Z言，可以是漢語、英語或數(shù)學語言等. 用自然語言描述算法的優(yōu)點是通俗易懂， 當算法中的操作步驟都是順序執(zhí)行時比較容易理解. 缺點是如果算法中包含判斷和轉(zhuǎn)向，并且操作步驟較多時，就不那么直觀清晰了 .（2）程序框圖：所謂框圖，

4、就是指用規(guī)定的圖形符號來描述算法，用框圖描述算法具有直觀、結(jié)構(gòu)清 晰、條理分明、通俗易懂、便于檢查修改及交流等特點 .（ 3）程序語言：算法最終可以通過程序的形式編寫出來，并在計算機上執(zhí)行.要點詮釋：算法的特點 : 思路簡單清晰，敘述復雜，步驟繁瑣，計算量大，完全依靠人力難以完成，而這些恰恰就 是計算機的特長，它能不厭其煩地完成枯燥的、重復的繁瑣的工作，正因為這些，現(xiàn)代算法的作用之一就 是使計算機代替人完成某些工作，這也是我們學習算法的重要原因之一 .事實上， 算法中出現(xiàn)的程序只是用基本的語句把程序的主要結(jié)構(gòu)描述出來， 與真正的程序還有差距， 所 以算法描述的許多程序并不能直接運行，要運行程序

5、，還要把程序按照某種語言的嚴格要求重新改寫才行 .【算法與程序框圖 397425 知識講解 2】要點二、程序框圖1、程序框圖的概念： 程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形 .2、構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不可缺少的 .輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置 .處理框賦值、計算 . 算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、 公式等，它們分別寫在不同的用以處理數(shù) 據(jù)的處理框內(nèi) .判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標 明“是”或“ Y”；不成立時在出口處

6、則標 明“否”或“ N” .流程線算法進行的前進方向以及先后順序連結(jié)點連接另一頁或另一部分的框圖3、程序框圖的構(gòu)成一個程序框圖包括以下幾部分： 實現(xiàn)不同算法功能的相對應的程序框； 帶箭頭的流程線； 程序框內(nèi)必要 的說明文字 .4、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(1) 順序結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的 . 它是由若干 個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu) .見示意圖和實例：順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟 . 如在 示意圖中， A 框和 B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完

7、 A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行 B 框所指定的操作 .(2) 條件結(jié)構(gòu) 如下面圖示中虛線框內(nèi)是一個條件結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)中含有一個判斷框，算法執(zhí)行到此判斷給定的條件 P 是否成立，選擇不同的執(zhí)行框 (A 框、 B框). 無論 P條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或 B 框之一，不可能既執(zhí) 行 A框又執(zhí)行 B框，也不可能 A框、 B框都不執(zhí)行 .A 框或 B框中可以有一個是空的，即不執(zhí)行任何操作.見示意圖要點詮釋：條件結(jié)構(gòu)中的條件要準確， 不能含混不清， 要清楚在什么情況下需要作怎樣的判斷， 用什么條件來區(qū)分(3) 循環(huán)結(jié)構(gòu) 在一些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu) 某一處理過程 . 重復執(zhí)行的

8、處理步驟稱為循環(huán)體 .循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如左下圖所示，它的功能是當給定的條件 回來再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行. 即從算法某處開始，按照一定條件重復執(zhí)行P成立時，執(zhí)行 A框， A 框執(zhí)行完畢后，返 A 框，如此反復執(zhí)行 A 框，直到某一次返回來判斷條件 P 不成立時為止，此時不再執(zhí)行 A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)，繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)， 如右下圖所示， 它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的 A框，然后判斷給定的條件 P 是否成立，如果 P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件 P 是否成立，依次重復操作，直到某一次給定的判斷條

9、件 P成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A 框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)，繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖見示意圖要清楚滿足某個條件的變量的次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的要點詮釋：循環(huán)結(jié)構(gòu)中使用什么樣的條件控制循環(huán)的開始和結(jié)束， 聯(lián)系與區(qū)別 .誤區(qū)提醒1、框圖中的流程線不能出現(xiàn)交叉的現(xiàn)象. 若有交叉，則程序語句無法寫出；2、各種框圖有其固定的格式和作用，不要亂用. 如條件結(jié)構(gòu)中不要忘了“是”與“否” ，流程線不要忘記畫箭頭；3、條件分支結(jié)構(gòu)的方向要準確；4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中，計數(shù)變量要賦初值，計數(shù)變量的自加不要忘記，自加多少不能弄錯. 另外計數(shù)變量一般只負責計數(shù)任務；5、循環(huán)結(jié)構(gòu)中循環(huán)的次數(shù)要嚴格把握，區(qū)分“”與“”等.循環(huán)變量的取值與循環(huán)結(jié)構(gòu)

10、 （ 當型與直到型 ）有關，需區(qū)分清楚 . 另外，同一問題用兩種不同的結(jié)構(gòu)解決時，其判斷條件恰是相反的；6、程序框圖不要出現(xiàn)死循環(huán) （ 無限步的循環(huán) ）.【典型例題】類型一：算法的概念例 1 下列對算法的理解不正確的是（）A算法有一個共同特點就是對一類問題都有效（而不是個別問題）B算法要求一步步執(zhí)行，且每一步都能得到唯一的結(jié)果C算法一般是機械的，有時要進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法D任何問題都可以用算法來解決【答案】 D【解析】算法是解決問題的精確的描述，但是并不是所有問題都有算法【總結(jié)升華】算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班去做，總能算出結(jié)果 . 通常把算法過

11、程稱為“數(shù)學機械化” ，數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成 . 實際上處理任何 問題都需要算法，如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋 譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù) .舉一反三：【變式 1】我們已學過的算法有求解一元二次方程的求根公式，加減消元法求二元一次方程組的解， 二分法求出函數(shù)的零點等，對算法的描述有：對一類問題都有效；算法可執(zhí)行的步驟必須是有限的； 算法可以一步一步地進行， 每一步都有確切的含義； 是一種通法， 只要按部就班地做， 總能得到結(jié)果 以 上算法的描述正確的有（ ）A1 個B

12、2 個C3個D4個【答案】 D【變式 2】下列哪個不是算法的特征 ( )A. 抽象性B.精確性C.有窮性D.唯一性【答案】 D.類型二：算法的描述例 2寫出求解二元一次方程組a1x b1y c1 的一個算法a2x b2y c2【解析】a1x b1y c 1 a2x b 2y c 2 因為是二元一次方程組，所以 a1、 a2不能同時為 0 第一步，假設 a1 0(若 a1=0，可將第一個方程與第二個方程互換)a2 ，得到b1 aa2b1a2c1y c22 1a1a1a1a1x b1y c1即方程組化為 1 1 1(a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1 第二步，若 a1b2 a2b1 0

13、，解得 y a1c2 a2c1a1b2 a2b1第三步，將代入，整理得b2c1 b1c2xa1b2 a2b1(21)的高斯消去算法步驟：b1a22 b2a12 xDb2a11 b1a21 y 2 11D 1 21第四步，輸出結(jié)果 x、 y如果 a1b2 a2b1=0，從可以看出，方程組無解或有無窮多組解總結(jié)升華】 一般化，得到求二元一次方程組 a11x a12 y b1 a21x a22 y b2第一步：計算 D a11a22 a21a12 ；第二步：若 D 0 ，則原方程組無解或有無窮多組解，否則第三步：輸出計算的結(jié)果 x、 y或者無法求解的信息舉一反三：x y z 12【變式 1】試描述求

14、解三元一次方程組3x 3y z 16 的算法步驟x y z 2【解析】算法 1：第一步， +，得 x=5 y z 7 第二步，將分別代入式和式可得 3y z 1 TOC o 1-5 h z 第三步，得 y= 4第四步，將代入可得z=11x5 第五步，得到方程組的解為 y 4 z 11算法 2：第一步， +，得 2x y=14 第二步，得 x y=9第三步，得 x=5 第四步，將代入式，得 y= 4第五步，將和代入式，得 z=11x5 第六步，得到方程組的解為 y 4 z 11【算法與程序框圖 397425 算法中的例 2】【變式 2】雞兔同籠問題：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿48,要

15、數(shù)腦袋 17，多少小兔多少雞？48 17 2【解析】算術算法：小兔的只數(shù)： 7 ；小雞的只數(shù)： 17-7=10.2應用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題的步驟x y 17(1)第一步：設有小雞 x 只，小兔 y 只，則有2x 4y 48(2)x y 17第二步：將方程組中的第一個方程兩邊乘2 加到第二個方程中去，得到，得(4 2)y 48 17 2到 y=7 ；第三步：將 y=7 代入( 1)得 x=10 類型三：算法的設計例 3、給出求 1+2+3+4+5 的一個算法 . 【解析】本題可以按照逐一相加的程序進行，也可以運用公式 1 2 3 n n(n 1)直接計算， 2 還可以用循環(huán)方

16、法求和 .算法 1第一步：計算 1+2，得到 3； 第二步：將第一步中的運算結(jié)果 3與 3 相加，得到 6；6與 4 相加，得到 10；10 與 5 相加，得到 15.第三步：將第二步中的運算結(jié)果 第四步：將第三步中的運算結(jié)果 算法 2第一步：取 n=5； 第二步：計算 n(n 1) ；2 第三步：輸出運算結(jié)果 . 算法 3 第一步：使 S 1 ； 第二步：使 i 2 ； 第三步：使 S S i ； 第四步：使 i i 1； 第五步：如果 i 5 ，則返回第三步，否則輸出 S.【總結(jié)升華】一個問題的算法可能不唯一；若將本例改為“給出求 1 2 3100的一個算法” ，則上述算法 2 和算法 3

17、表達較為方便舉一反三：1 11變式 1】寫出求 1的一個算法2 3100答案】第一步：使S 1 ，；第二步：使i 2 ；第三步：使1 n；i第四步：使S S n ；第五步：使i i 1 ；第六步：如果 i 100，則返回第三步，否則輸出 S. 【變式 2】求 1357911 的值，寫出其算法 . 【答案】算法 1：第一步，先求 1 3，得到結(jié)果 3； 第二步，將第一步所得結(jié)果 3 再乘以 5，得到結(jié)果 15； 第三步，再將 15 乘以 7，得到結(jié)果 105；第四步，再將 105 乘以 9，得到 945；第五步，再將 945 乘以 11，得到 10395，即是最后結(jié)果 . 算法 2：用 P 表示

18、被乘數(shù)， i 表示乘數(shù) .第一步，使 P=1；第二步，使 i=3 ；第三步，使 P=P i ；第四步，使 i=i+2 ；第五步，若 i 11，則返回到第三步繼續(xù)執(zhí)行；否則算法結(jié)束 類型四：順序結(jié)構(gòu)的應用例 4 設計算法，求兩底半徑分別為 1 和 4，且高為 4 的圓臺的表面積及體積，并畫出程序框圖解析】 先求出斜高， 再分別求出兩個底面面積和側(cè)面面積， 則表面積與體積可得 答案】 算法如下：第一步，令 r1=1 ，r2=4，h=4；第二步，計算斜高 l(r2 r1)2 h2 ；22第三步，令 S1r1 ， S2r2 ， S3(r1 r2)l ；1 第四步，計算圓臺的表面積 S=S1+S2+S3

19、，圓臺的體積 V(S1 S1S2 S2)h ；3 第五步，輸出 S， V 該算法的程序框圖如圖所示舉一反三：【變式 1】半徑為 r的圓，面積公式為 S=r2，當 r=10時，寫出計算圓面積的算法， 畫出程序框圖【解析】 算法如下：第一步：輸入 r=10 第二步：計算 S= r2第三步：輸出 S 程序框圖如圖所示【總結(jié)升華】 本題主要考查算法結(jié)構(gòu)中的順序結(jié)構(gòu) 對套用公式型的問題， 關鍵是明 確所給公式中變量的個數(shù)及數(shù)值，以及輸入、輸出部分的設計類型五：條件結(jié)構(gòu)的應用2x 12例 5 已知函數(shù) y x2 1x3 2x(x 0)(0 x 1)，寫出求該函數(shù)的函數(shù)值的算法，并畫出程序框圖(x 1)【解

20、析】該函數(shù)是分段函數(shù)，因此當給出一個自變量 x 的值時，需先判斷 x 的范圍，然后確定利用哪一 段的解析式求函數(shù)值畫程序框圖時，必須采用條件分支結(jié)構(gòu)，因為函數(shù)解析式分了三段，所以需要兩個 判斷框，即進行兩次判斷算法如下：第一步，輸入 x第二步，如果 x 0，那么使 y=2x 1，輸出 y；否則，執(zhí)行第三步第三步，如果 0 x 0，那么使 y=1；如果 x=0 ，那么使 y=0；如果 x20？，則執(zhí)行 S5，否則執(zhí)行 S4；S3：S=S+2i，i=i+1；S4：返回 S3；S5：輸出 S；S6：結(jié)束程序框圖如下圖所示：舉一反三：n 的值的【變式 1】（ 2016 春 遼寧錦州期末）用循環(huán)語句描述計算1+22+32+ +a2 100 的最小自然數(shù)一個算法，畫出算法程序框圖，并寫出相應的程序【解析】算法如下：第一步， S=0第二步， n=1 第三步， S=S+n2第四步，如果 S 100，使 n=n+1，并返回第三步，否則輸出 n 1 相應的程序框圖如圖所示：相應的程序如下：S=0n=1WHILE S 10000，這個問題的答案不唯一，只要確定出滿足條 件的最小正整數(shù) n0，括號內(nèi)填寫的數(shù)字只要大于或等于n0 即可寫出尋找滿足條件的最小正