2019年高考數(shù)學(xué)壓軸題專題04保值(倍值)問題(解析版)

1、22專題四 保值(倍值)問題對于函數(shù) y f x ，若存在區(qū)間 a,b ，當(dāng) x a,b 時，f x 的值域為 ka,kb ( k 0)，則稱 y f x為 k 倍值函數(shù)，特別地， k 1 時，稱為保值函數(shù) . 此類問題可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)“不動點” 、“穩(wěn)定點”問題，也可轉(zhuǎn)化為方程同解問題，考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要思想方法，綜合 能力要求較高，屬難題 .類型一 單調(diào)函數(shù)中保值問題(1 t)x t2典例 1 已知關(guān)于 x的函數(shù) f(x) (t R)的定義域為 D ，若存在區(qū)間 a,b D 使得 xf x 的值域也是 a,b，則當(dāng) t變化時， b a的最大值為 .答案】 2 3

2、3(1 t)x t 2t2解析】 首先 觀察到 函數(shù) f(x) 1 t 為定義 域內(nèi) 的增函 數(shù)；則有 ： x2(1 t)x t x，則 x21 t x t2 0.f (a) (1 t)a t aa 2 , 得到 f xf b (1 t)b t bb那么： b a(x12 x22 )(x1x2) 4x1x23(t 1)2 4 2 33 3 3類型二 非單調(diào)函數(shù)中保值問題1 13典例 2若函數(shù) f (x)1 x2 13 在區(qū)間 a,b 上的最小值為 2a ，最大值為 2b，求 a,b.答案】 1,3或 2 17, 4 .解析】分如下三種情形來討論區(qū)間 a,b.1)當(dāng) a b 0 時，f (x)在

3、區(qū)間 a,b上單調(diào)遞增，所以 f(a) 2a ， f (b) 2b，1 2 13a 2a, 即 2 21 2 13 b22b.22所以 a、b是方程 12x2 2x 123 0的兩個不同實根， 而方程 12x2 2x 123 0的兩根異號，不可能 .2)當(dāng) a 0 b 時，f (x)在a,0 上遞增，在 0, b上遞減，故 f(0) 2b ，且min f(a),f(b) 2a.13由 f(0) 2b ，得 b 134是 f (b)21 143 22 13 39 02 32而 a 0 ，故 f (b) 2a，所以 f(a) 2a，即 1a2 13 2a. 22解方程，得 a 2 17 . 此時

4、a,b 2 17,13f (a) 2b， f(b) 2a，3)當(dāng) 0 a b時， f(x) 在a,b上遞減，于是1213a221213b222即2b,解方程組，得 a 1， b 3，2a.此時 a,b 1,3 .綜上所述 ，所求的區(qū)間 a,b為1,3或 2 17,143 .類型三 單調(diào)函數(shù)中倍值問題 典例 3 對于函數(shù) y f x ，若存在區(qū)間 a,b ，當(dāng) x a,b 時， f x 的值域為 ka,kb ( k 0)，則稱y f x 為k倍值函數(shù)。若 f x lnx x是k倍值函數(shù)，則實數(shù) k的取值范圍是答案】1,1 1ef a ln a a ka 解析】觀察到函數(shù) f x ln x x為增

5、函數(shù)，那么，則：f b lnb b kbln xln x x kx 在 a,b 上有兩個互異正根，轉(zhuǎn)化為 k 1 ； xln x 1 ln x令 g x，得到 g x 2 ，當(dāng) x e,g x 0 ； 當(dāng) 0 x e,g x 0 ；且當(dāng) x 1 時，xx11則有： 0 k 1 ，即 k 1,1ee類型四 非單調(diào)函數(shù)中倍值問題典例 4. 已知 函數(shù) f (x) 1 1 ， 若存 在 實數(shù) a,b(a b) 使 得 f(x) 的 定 義域是 a,b ， 值域 是ma, mb ( m 0,m R) ，則實數(shù) m的取值范圍為答案】0,141解析】 f (x) 1x1 1,x 1x11,0 xx,m 0

6、,0 a b1f(a) ma(1)a,b (0,1), ff (ab) mmba a b，舍去，f(a) ma(2)a,b (1, ), ff(ab) mmab a,b為 方 程 mx2 x 1 0 兩 個 大 于 1 的 根 ， 所 以021 m 12 1 1 0 0 m41 1 42m(3)a (0,1),b 1, f(1) 0,ma 0 0 ma,mb ，舍去綜上實數(shù) m 的取值范圍為0,1441. 若函數(shù) f(x) m x 3 的定義域為 a,b ， 值域為 a,b ， 則 m 的取值范圍是9答案】 9 m 24解析】觀察得到函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a,b為減 函數(shù)，則有：a f (b)

7、 m b 3b f (a) m a 3由得到： m a b 3 b a 3； 來源:Zxxk.Com2m a b a 3 b 3；令 t a 3,s b 3 ，即有 a t2 3,b s2 3 ； 代入得到 t2 s2 t s，即 t s 1 ，其中 0 t s 1.那么代入得到 2m t2s2 6 t s t2s2 5 來源:Z&xx&k.Com(1 s)2 s2 5 2s2 2s 41 2 92(s 12)2 92 ；19由0 t s 1可知 s 1，利用二次函數(shù)圖象可知 2m 4 ，即 9 m 2 .42對于區(qū)間 a,b ，若函數(shù) f (x) 同時滿足下列兩個條件： 函數(shù) f(x) 在a

8、,b 上是單調(diào)函數(shù)； 函數(shù) f (x) 當(dāng)定義域為 a,b 時，值域也為 a,b ，則稱區(qū)間 a,b 為函數(shù) f (x) 的“保值區(qū)間” 來源:Zxxk.Com來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K2(1)寫出函數(shù) y x2 的保值區(qū)間；(2)函數(shù) y x2 m(m 0) 是否存在保值區(qū)間？若存在，求出相應(yīng)的實數(shù)m 的取值范圍；若不存在，試說明理由【答案】(1) 0,1 (2) m -1，-30，144【解析】解： (1) 0,12)由題易得：a,b ,0 , 或者 a,b 0，+f(a) a 2i )當(dāng) a,b0，+ 時，此時 ，則可將 a,b視為方程 x2 x m 0 的兩個非負(fù)實數(shù)根，f(b)

9、b則 1 4m 0 m 0,1 ； m 0 42ii )當(dāng) a,b ,0 時，f (b) ab2 m a2 a b 1f (a) ba2 m b2m b2 b 12m a2 a 1可將問題轉(zhuǎn)化為方程2m x2 x 1 有兩個非負(fù)實數(shù)解數(shù)形結(jié)合可得 m -1，- 3 ，綜上： m -1，-30，14 4 43已知函數(shù) f(x) x3 ax b的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱， 且與 x軸相切 .(1)求實數(shù) a,b 的值；(2)是否存在實數(shù) m, n ，使函數(shù) g(x) 3 f(x) 在區(qū)間 m,n 上的值域仍為 m,n ？若 存在，求出 m,n 的值；若不存在，說明理由答案】(1) a b 0 ( 2)

10、不存在【解析】( 1) f (0) b 0, f (x0) 3x02 a 0, f (x0) x03 ax0 b 0 x0 a 0.33 x ,x 0 g(m) m 3 3( 2)g( x)3,當(dāng) m n 0時, m, n為方程 3 x3 x 兩根，而方程 3 x3 x 僅3 x3,x 0 g(n) n有一根， 所以舍去； 當(dāng) 0 m n 時 g(m) n m2 n2 mn 1 0 m n 1 3 m2 2 n ， g(n) m舍去；當(dāng) m 0 n 時 g(0) 3 n 3 g(3) 24 m 24,3 m m ，舍去，因此不存在 .4. 若函數(shù) y f x x D 同時滿足下列條件： f x

11、 為 D 上單調(diào)函數(shù)； 存在區(qū)間 a,b D ， 使 f x 在 a,b 上的值域為 a,b ；則 y f x 叫做閉函數(shù) . 若函數(shù) y k x 2 是閉函數(shù)， 求 實數(shù) k 的取值范圍是 9 答案】 ( 9, 24解析】首先，觀察到函數(shù) y k x 2 為定義域內(nèi)單調(diào)增函數(shù)；則有：f x x 2 k x在a,b 內(nèi)有兩個互異實根亦即：方程 x 2 x k 在 a,b 內(nèi)有兩個互異實根y1 x 2 與 y2 x k 的圖像有兩個不同的交點； 下畫出圖像：得到當(dāng)直線的縱截距99k 2, ) 時，滿足題意，從而得到 k ( , 2 . 來源:學(xué).科. 網(wǎng)445. 數(shù) y f x 的定義域為 D

12、，若滿足： f x 為 D 上單調(diào)函數(shù)； 存在區(qū)間 a,b D ，使 f x在 a,b上的值域為 b, a；則 y f x 叫做對稱函數(shù) . 現(xiàn)有 y 2 x k是對稱函數(shù)， 那么實數(shù)k 的取值范圍是【答案】 2, 9)4解析】首先，觀察到函數(shù) y 2 x k 為定義域內(nèi)單調(diào)減函數(shù)；則有：f x 2 x kx 在 a,b 內(nèi)有兩個互異實根亦即：方程 2 x x k 在 a,b 內(nèi)有兩個互異實根y1 2 x 與 y2 x k 的圖像有兩9 個不同的交點； 數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)直線的縱截距 k 2, 9) 時，滿足題意46. 若函數(shù) f x x 1 m 在 區(qū)間 a,b 上的值域為2a,b2 b a 1

13、 ,則實數(shù) m 的取值范圍為1答案】 (0,21解析】首先，觀察到函數(shù) f x x 1 m 為定義域內(nèi)單調(diào)增函數(shù)；則有：f aa 1 m a2x2 f x x 1 m 2x 在 1, 上有兩個不同的根； f bb 1 m 2b2再轉(zhuǎn)化為函數(shù) y x 1和 y x m 有兩個交點，利用圖像：21首先， m 時，過 1,0 點與曲線有兩個交點；2其次，考慮相切的臨界情況，可利用平方后二次函數(shù)的0得到 m 0；( 避免求導(dǎo) ). 則得到m (0, 12 .1)求 h(a) ；f 2(x) 2af (x) 3的最小值為 h(a).2)是否存在實數(shù) m，n同時滿足下列條件： mn3；當(dāng) h(a) 的定義

14、域為 n，m 時，值域為 n2，m2 ？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，說明理由28 2a93答案】(1) h(a) 3 a212 6a1(a )31( a 3) ( 2)不存在3(a 3)解析】解：1 x 1(1) x 1,1, (13)x 13,3.1 x 1 2 2 2 設(shè) t( ) x,t ,3，則(t) t 22at 3 (t a)23 a233當(dāng) a 1 時，ymin h(a) (1) 28 2a ；3 3 9 312當(dāng) a 3 時， ymin h(a) (a) 3 a ； 3當(dāng) a 3時， ymin h(a) (3) 12 6a.28 2a93 h(a) 3 a12 6a(a 13)(1 a 3)3(a 3)( 2) mn3， h(a) 12 6a在(3, )上是減函數(shù) h(a) 的定義域為 n，m ；值域為 n2，m2 ，12 6m n2,212 6n m .可得 6(m n) (m