專(zhuān)題2.2與三角形相關(guān)的范圍問(wèn)題高考數(shù)學(xué)選填題壓軸題突破講義(解析版)

1、 方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問(wèn)題同樣是高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，要充分利用解三角形知識(shí)，正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、方程與不等式思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想求解二解題策略類(lèi)型一 結(jié)合基本不等式求解問(wèn)題在例 1 】【湘贛十四校 （湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)、 江西省南昌市第二中學(xué)等 ）2019 屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】 中，角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，若 ，且恒成立，則 的取值范圍是（ ）BDAC答案】 D解析】又又 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)設(shè)則可知設(shè) ，即當(dāng)時(shí)， 恒成立可得：本題正確選項(xiàng)：【指點(diǎn)迷津】本題考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，利用余弦定理表示出cosA ，將得出的關(guān)系式利用基本不等式

2、變形求出 cosA 的范圍，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出 的范圍 【舉一反三】C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，且1、【江西省上饒中學(xué) 2019 屆高三上學(xué)期期中】在 ABC 中，內(nèi)角 A ，B，當(dāng) tan（AB）取最大值時(shí)，角 C 的值為（ABCD答案】 A解析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得.，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，由于故 為銳角，故 ，所以. 故選 A.2、【安徽省六安市第一中學(xué) 2019 屆高三高考模擬考試（三 ）】在中，角 A，B ，C 的對(duì)邊分別為 a，b，Bc，若， ，則 的面積的最大值為（C2A答案】 A解析】 在 ABC 中， （ 2ac） cosB bcosC ，

3、（ 2sinA sinC） cosB sinB cosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosC sin（ B+C） sinA， 約掉 sinA 可得 cosB ，即 B ，2 2 2 2由余弦定理可得 16 a2+ c2 2accosBa2+c2ac2acac，ac16，當(dāng)且僅當(dāng) ac 時(shí)取等號(hào)， ABC 的面積 S acsinB ac 故選： A3、【山西省 2019 屆高三考前適應(yīng)】的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，若 的面積為， 周長(zhǎng)為 6，則 b 的最小值是（）A 2BC3D【答案】 A【解析】的面積為因?yàn)樗哉淼?，即，因?yàn)?，所以又因?yàn)橹荛L(zhǎng)為 6，所以，即所以 ，所以 的最

4、小值是 2 故選 A類(lèi)型二 利用消元法求解問(wèn)題例 2】【安徽省 A10聯(lián)盟 2019 屆高三 11月段考】在中，內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，若 的面積為 ，則 的最大值為（A2 B 4 C 2 答案】 C【解析】由題意得， ， ，又 ，則 的最大值為 ，故選 C【指點(diǎn)迷津】 利用余弦定理， 結(jié)合三角形面積 可化為 ， 從而可得結(jié)果 . 一般地，利用正弦定理、余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式實(shí)現(xiàn)“消元” ，求得范圍【舉一反三】1、【廣東省廣州市天河區(qū) 2019 屆高三綜合測(cè)試（二 ）】在中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 ，則 的取值范圍是A BCD【答案】 B【解析】即又 ，即本

5、題正確選項(xiàng)：222、圓 x2 y2 1上任意一點(diǎn) P，過(guò)點(diǎn) P 作兩直線分別交圓于A，B 兩點(diǎn)，且 APB60 ，則 PA PB的取值范圍為 答案】 3,6【解析】在 ABP 中，由正弦定理得：PA PBsin PBA sin PAB 2r 2,設(shè) PBA ， 0,120又 APB 60 ，所以 PAB 120 PBA 120 ，PA 2sin,PB 2sin 120 .2PA PB4 sin 2 4sin2 120 3 2sin2 2 3sin cos 4 3sin2cos2 4 2sin 26 0,23,2 6 6, 6.4 2sin 2 3,6 .答案為： 3,6 .3.【云南省 201

6、9 屆高三第一次統(tǒng)一檢測(cè)】在中，內(nèi)角 ， ， 對(duì)的邊分別為 ，平分 交 于點(diǎn) ， ，則 的面積的最小值為(ABCD答案】 B解析】設(shè) ，則，平分 交 于點(diǎn) ，在三角形 中，由正弦定理可得，在三角形 中，由正弦定理可得 ，面積，當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 面積 最小，最小值為故選：例 3 】【安徽省蕪湖市 2019 屆高三上期末】銳角三角形 的內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，已知， ，則 周長(zhǎng)的最大值為()A BC3D 4答案】 C解析】依題意，由正弦定理得 ，即，由于三角形為銳角三角形，故 ，由正弦定理得 ，故三角形的周長(zhǎng)為，故當(dāng) ，即三角式為等邊三角形時(shí)， 取得最大值為，故選 C.【指點(diǎn)迷津】在處理

7、解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有 時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；這類(lèi)問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，從而 求出范圍或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍，從而得最值 .【舉一反三】1、【河北省衡水市第十三中學(xué) 2019 屆高三質(zhì)檢（四 ）】已知的內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別是 ， ， ，且，若 的外接圓半徑為 ，則 的周長(zhǎng)的取值范圍為（ ）A BCD【答案】 B【解析】因?yàn)?，所以 ， ， ,因此.即,因?yàn)?所以,選 B.2、在 ABC中，角 A， B， C所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a， b， c，若 bc 1， b 2ccosA 0，則

8、當(dāng)角 B 取得最大值時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為（）A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 3 2【答案】 A【解析】在 ABC 中，由正弦定理得： sinB 2sinCcosA 0 cosA b 02cA 為鈍角 cosAcosC 0 ，由 sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC ，可得 tanA 3tanC，tanC0 ，tanA tanC 2tanC 2 2 3tanB= = 2 = = ，tanAtanC 1 3tan 2C1 3tanC 2 3 3tanC當(dāng)且僅當(dāng) tanC=3 時(shí)取等號(hào)3B 取得最大值arctan33時(shí)，2 c b 1，C B A63 a=21 cos =

9、 3 a+b+c=2+ 3 故答案為： 2+ 3 6類(lèi)型四 與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題例 4】在 ABC中， a, b, c分別為內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊，若1b sinC cosA sinAcosC ，且 a 2 ，2則 ABC 的面積的最大值為答案】 2 1【指點(diǎn)迷津】本題綜合性較大，且突破了常規(guī)性，即在條件中只在等式的一邊給出了三角形的邊，所以在1b 解題中要熟練地對(duì)所得中間結(jié)論的變形，如在本題中 要在 cosA 1的基礎(chǔ)上在利用正弦定理得到sinBsinA cosA.對(duì)于最值的處理往往要考慮到基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用不等式時(shí)， 不要忘了基本不等的使用條件.舉一反三】1、【陜西省漢中市 2

10、019 屆高三上學(xué)期第一次檢測(cè)】在中，角 的對(duì)邊分別是 ，若角 成等差數(shù)列，且直線 平分圓 的周長(zhǎng)，則 面積的最大值為（ ）AB C 2 D 答案】 D解析】因?yàn)榻?成等差數(shù)列 , 所以 ，又直線 平分圓 的周長(zhǎng)， 所以直線過(guò)圓心 ，即，三角形面積，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立， 可知，設(shè) 與 面積分別為 ，則 的最大值為面積的最大值為，故選 D.已知四邊形中，【答案】【解析】因?yàn)?，所以 ，在 ABD 中，由余弦定理可得， ， 作 CE BD 于 E，因?yàn)椋?所以，所以，當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 .故答案為：3、【河南省焦作市 2019 屆高三三?！咳鐖D所示，點(diǎn)， 分別在菱形 的邊 ，

11、上， ，則 的面積的最小值為 答案】解析】在菱形 中，, 且由正弦定理，所以 = ，在 中， = ，設(shè)得,則因?yàn)榈脛t, 由正弦定理，所以，即，所以，在 中，在 中，所故答案為：類(lèi)型五 與三角形解的個(gè)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題【例 5】在 ABC中，角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c， A C 2B,bsinA 6sinB ，若符合條件的三角 形有兩解，則 b 的取值范圍是 【答案】 3 3,6【解析】 因?yàn)?A C 2B,A B C ，所以 B ，3又 bsinA 6sinB ，則 ab 6b ，則 a 6 ，由 asinB b a ，所以 3 3 b 6.【指點(diǎn)迷 津】本題主要考查了三角形問(wèn)題的

12、求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角 形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，試題比較基礎(chǔ)屬于 基礎(chǔ)題，解答中熟記三角形的正弦 定理的邊角互化和 合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵 .【舉一反三】1、【湖北省黃岡市 2019屆高三上學(xué)期元月調(diào)研】已知 a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，已知 ， ，若滿(mǎn)足條件的三角形有兩個(gè)，則 x 的取值范圍是 TOC o 1-5 h z A BCD【答案】 B【解析】解：在 中，由正弦定理得： ，即 ，可得：，由題意得：當(dāng) 時(shí)，滿(mǎn)足條件的 有兩個(gè)，所以，解得：，則 a 的取值范圍是 故選： B2、在 ABC中，內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a, b

13、, c ，已知 A 300,b 2 ，如果這樣的三角形有且只有一 個(gè)，則 a 的取值范圍為 .【答案】 a 1或 a 2【解析】由題意得，在ABC中內(nèi)角 A, B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c，由 A 300,b 2，所以 bsinA 1，所以當(dāng) a b 2或 a 1時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形只有一個(gè) 類(lèi)型六 轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問(wèn)題【例 6】【 湖南省湘潭市 2019 屆高三下學(xué)期二模 】 分別為銳角 內(nèi)角 的對(duì)邊，函數(shù) 有唯一零點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）A BCD【答案】 D【解析】 由題意，函數(shù) 為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn)，則 ，所以 .由余弦定理，得 ，整理得即 ，所以 ，由正弦定理，得 ，即

14、，所以 ，所以所以或 （舍），故 ，結(jié)合銳角 ， ，則 ， ，所以 ，由，又因?yàn)?，所以 ，即 的取值范圍是 ，故選 D.【指點(diǎn)迷 津】對(duì)于解三角形問(wèn)題， 通常利用正弦定理進(jìn)行 “邊轉(zhuǎn)角 ”尋求角的關(guān)系， 利用“角轉(zhuǎn)邊 ”尋求邊的關(guān) 系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值【舉一反三】a1. 在銳角 三角形中， a,b,c分別是內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊，設(shè) B 2A，則 的取值范圍是（ bA.323, 22B. 2, 2 C.2, 3D. （0，2）答案】解析】B 2A, 由正弦定理 asinAb 得： sinBa sinAb sinB銳角，即0 B 90 ，

15、且 B 2A, AC 為銳角，sinAsinAsin2 A 2sinAcosA0 2A 900 180 3A 90 ,所以2cosAB為30A 45, 22 cosA 23 ，即 2 2cosA 3，3 1 2 ，則 a 的取值范圍是 3, 2 ，故選 A.2cosA 2 b 3 22.【江蘇省南京市、鹽城市 2019 屆高三二?！吭?中，若 ，則 的最大值 為.【答案】【解析】在 ABC 中，有 ,所以 =,當(dāng)即 時(shí)取等 .故答案為：三強(qiáng)化訓(xùn)練1【陜西省彬州市高 2019 屆高三上學(xué)期第一次監(jiān)測(cè)】在 中，三內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，且， ，則角 的大小是（ ）A 或BCD【答案】 A【解析】，

16、cosA，由 0 Ac=2, 所以a+b+c故答案為11【四川省巴中市 2019 屆高三零診】 在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 = ，則 A 的取值范圍為 答案】（0， 解析】，且余弦函數(shù)在 上是遞減函數(shù)，故答案為（ 0， 12【四川省成都石室中學(xué) 2019屆高三二?！克倪呅?中， ， ， ， ，則 的最大值為 【答案】【解析】 設(shè) ABC ， ACB ，則在 ABC 中，由余弦定理得 AC2 10 6cos由正弦定理得 ，即 sin , , ， CD=在 BCD 中，由余弦定理得： BD2BC2+CD22BC?CD?cos（900+），DB29+23 -2cos+2 sin +4sin（）當(dāng) 時(shí)，對(duì)角線 BD 最大，最大值為 ，則 的最大值為 ,故答案為：13【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣 2019 屆高三第四次聯(lián)考】 在 中，角 ， ， 所對(duì)的邊分別是 ， ， ，若，且 邊上的高等于 ，則 的周長(zhǎng)的取值范圍為 【答案】【解析】由題可知：故 ，即又，則又，則所以 的周長(zhǎng)的取值范圍為本題正確結(jié)果：14【 2019年安徽省馬鞍山市高考一?！?在 中，角 、 、 所對(duì)的邊分別邊 、 ，若 ， ，則 的取值范圍是 _【答案】【解析】， ，又 ，因此，故答案為 15【福建省 2019屆高三適應(yīng)性練習(xí) （四