中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題22《直角三角形的存在性》

1、 中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題22直角三角形的存在性破解策略以線段月萬為邊的直角三角形構(gòu)造方法如右圖所示:直角三角形的另一個頂點在以月在以曲為直徑的圓上，或過月、萬且與M垂直的直線 上（萬兩點除外）.解直角三角形的存在性問題時，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進(jìn)行分類討 論.通常這類問題的解題策略有：（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計算.如圖，若ZACB=90 .過點、巧作經(jīng)過點Q的直線的垂線，垂足分別為忒F.則厶 AEg從而得到線段間的關(guān)系式解決問題（2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據(jù)勾股龍理列出方程，然后解方程 并檢驗.有時候?qū)缀畏ê痛鷶?shù)法相結(jié)合.可以使得解題又快

2、又好！例題講解例1如圖，拋物線厶y=+2-3與r軸交于月，B （3, 0）兩點（點月在點萬的 左側(cè)）.與y軸交于點Q（0, 3）.已知對稱軸為JT=I.（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）設(shè)點尸是拋物線/上任意一點，點0在直線x=-3上，問：能否成為以點尸為 直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點尸的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.解：（1）由題意可得點川的坐標(biāo)為（1, 0）.所以拋物線表達(dá)式可變?yōu)閥=a （-3） （x+l） =a 2m-3a由點Q的坐標(biāo)可得一3a=3, a=-l所以拋物線的表達(dá)式為y=-2-3.（2）如圖，過點尸作垂直于直線厶垂足為M過點萬作BV垂直于直線EM.垂足 為A：若

3、AZW是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形，無論點P民BQ的上方或下方，由“弦圖模型”均可得所以EY=S：設(shè)點尸的坐標(biāo)為（皿H、m +23）貝IJ PM= /2?+3 , BN= m +2z+3 ,所以加+3=I m 2zn+3 解得血=0,處=1,血=,ZnI=-逼32所以點尸的坐標(biāo)為（0,3）, （1,4）,（血，_9_屈）,（二色，_9+屈）2 2 2例2如圖，一次函數(shù)y=-2x+10的圖象與反比例函數(shù)y= （QO）的圖象相交于乂 B X兩點（點川在點萬的右側(cè)），分別交X軸.卩軸于點佼F.若點兔的坐標(biāo)為（4, 2）.問： 反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點只使用5是以曲為直角邊的直角三角

4、形？若存 在，求出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由，解：將點月（4, 2）代入反比例函數(shù)表達(dá)式，得&=8,所以反比例函數(shù)為卩=色,X_8聯(lián)立方程紐組-V = 7解得y = -2x + 10I-Vi=2X = 1=8所以點萬的坐標(biāo)為（1, 8）由題意可得點E尸的坐標(biāo)分剛為（5, 0） ,（0, 10）,以月萬為直角迎的直角三角形有兩種情況： 如圖1,當(dāng)ZPAB=90c時，連結(jié)創(chuàng)，則 OA= 42 + 22 = 25 .而 AE= lr+2r = 5 , OE=5、所以 O/f+AE =OE,即創(chuàng)丄JB.所以出0、尸三點共線由0、月兩點的坐標(biāo)可得直線E尸的表達(dá)式為y= I -V.8y

5、 = -（X =4 Cr =-4聯(lián)立方程組X解得,C一-Lv1 = 2 Lv2=-2所以點P的坐標(biāo)為（一4, 一2）如圖2,當(dāng)Z翊=90時，記費與y軸的交點為G易證磁S尸所以=,FG FE15而 FO=1Q. FE= 52 + l2 = 55 FB= Vl2 +22 = 5可求得FG=、所以點G的坐標(biāo)為（0,-）由5 G兩點的坐標(biāo)可得直線費的表達(dá)式 2 UI 1 丄 15為 y _ -r ,2 2聯(lián)立方程組、尸丄卄22 28y=-X解得）；=8；X2=-16,1療飛所以點尸的坐標(biāo)為（一 16,綜上可得，滿足條件的點P坐標(biāo)為（-4, -2）或一6,討）.例3如圖，拋物線G： y=a （-y2）

6、s5的頂點為只與W軸相交于兒萬兩點（點月 在點萬的左側(cè)），點月的橫坐標(biāo)是一 1.。是X軸負(fù)半軸上的一個動點，將拋物線G繞點D 旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線G.拋物線G的頂點為Q與X軸相交于丘尸兩點（點f在點尸 的左側(cè)）當(dāng)以點只Q疋為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點。的坐標(biāo).QJ /PCl解 由題意可得點月（一1，O） , P（2, 5） , B （5, 0）設(shè)點D的坐標(biāo)為 仏0）,則點。的坐標(biāo)為（2血一2, 5） , f的坐標(biāo)為（2血一5, 0）, 所以 FO= （2i-4） 2 10 PE= （2-7） 25% 5=32+52=342近為直角三角形有三種情況：當(dāng)ZPQE= 90。時，有 PF=P

7、G+ EQ.即（2z-7） 2+5s= （2-4） 210234,解得 m=- ,所以點 0的坐標(biāo)為（一蘭，35）:當(dāng)ZQEP=90。時，左 Pd = PE +EQ.7in即（2t-4） 3+103= （2巾一7） s52+34,解得 m= 二，所以點 Q 的坐標(biāo)為（-,5）:當(dāng)ZQPE= 90 時，有 Eo=PF + PQ.即（2D 3+5s+ （2D 3+10s=34,方程無解,所以此種情況不成立，44in綜上可得，當(dāng)近為直角三角形時，頂點的坐標(biāo)為（一蘭，5）或（一出,5）例！如圖.在直角梯形 MG?中，AD/BC. AB= 90o , AD=2. BC=6, AB=3. E為 證邊上一點

8、，當(dāng)BE= 2時，以亦為邊作正方形應(yīng)7%,使正方形砂G和梯形ABCD住BC的 同側(cè).當(dāng)正方形嘶沿證向右平移，記平移中的正方形砂G為正方形F EFG,當(dāng)點疋與 點C重合時停止平移.設(shè)平移的距離為t,正方形BEFG的邊疔與Q交于點連結(jié)F D, 5.）/, 問：是否存在這樣的十，使E DH是直角三角形，若存在，求出上的值；若不存 在，請說明理由解存在滿足條件的t.理由如下：如圖，過點。作ZW丄BC于點、乩 過點M作MV丄加于點M 則 BH=AD=2, DH=AB=3.所以朋=HE=S HB = t-2 , EC=4-1. 易證/SJfEMbABGAB BC-1.掃 ME EC ME 4/ rr lx

9、l IZ_ C 1 可得=，即=,所以JiF=2- t.在 Rt夕血中，有 FM=MF+F E=- f-2t+8.在Rt她中,1 RtZ,中，有 F IJ=DHA-Bt =f-4t13.在 Rt功ZV中，DN=DH-NH= - t+l.2則 zzi=v2+jzv= i r+ +1.4若Z血必=90 ,則血=歹+歹萬,- fc+ +1= ( -2i,+ 8) + (F4f+13) 4解得11=:7若Z5ttP=90o ,則 BP=BH+D；即 f-4t+13= (If-2t+8) + (- f+t+l),44解得 fe=-3+17 , t3=-3-17 (舍)：若ZBDM=90 ,則萬功人即 1

10、 r-2t+8= ( r-4t+i3) + (- r+ti) 44此方程無解.綜上所得，當(dāng)t=-或一 3+T時，XDM是直角三角形7進(jìn)階訓(xùn)練如圖，在平而直角坐標(biāo)系XOytOAB的直角頂點兔在X軸上，OA =4,M=3.動 點M從點川出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿向終點O移動；同時點“從點O岀發(fā), 以每秒1. 25個單位長度的速度，沿仞向終點萬移動.當(dāng)兩個動點運動了 Ar（O=4x3如圖，頂點為尸（4, -4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點0（0, 0）,點兔在該圖象上，OA 交其對稱軸/于點“，點必關(guān)于點尸對稱，連結(jié)凡； ON.（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點勺在對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運

11、動時，請回答下列問題：證明：ANM=ONMx能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點勺的坐標(biāo)；如果不能，請說 明理由.解：（1），=丄疋_2.丫： （2） 略：止能為直角三角形，符合條件的點月的坐標(biāo)為 4（4 + 4,4）【提示】（2）過點作AHLl于點乩令與X軸的交點為D.設(shè)點A （/Z/, m2 -Im ）, 4則直線的表達(dá)式為）=丄加一2）廠 從而求得點M的坐標(biāo)為（4,巾一8） , W的坐標(biāo)為（4,4-） 只需證明 tanZAZ=tanZZ?即可；分類討論：當(dāng)ANO= W 時，ZAMf= Z=45o ,點揮與點尸重合，點與點D重合,不滿足J/，艸關(guān)于點尸對稱，故此時不存在這樣的點小當(dāng)ZZM=90c時，有OP = LMN ,求得滿足條件的點J（442.4）;2當(dāng)ZNAO= 90 時，有 AP = LMN ,即（m-4）2 + （l?w2 -2m + 4）2 = （m-4）2,解得 陽=4.24此時點乩尸重合，不滿足題意拋物線y= - +2-y+3的頂點為G點川的坐標(biāo)為Cl, 4）,其對稱軸上是否存在 點胚使線段血繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段.0,且點方