2021-2022學年安徽省定遠育才實驗學校高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1空氣質量指數是反映空氣狀況的指數，指數值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數變化趨勢，下列敘述錯誤的是（ ）A這20天中指數值的中位數略高于100B這20天中的中度污染及以上（指數）的天數占C該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好2復數滿足，則復數等于（）ABC2D-23若，則函數在區(qū)間內單調遞增的概率是（ ）A B C D4已知 若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）AB64CD326函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，并且函數在區(qū)間上單調

3、遞增，在區(qū)間上單調遞減，則實數的值為（ ）ABC2D7下列命題為真命題的個數是（ ）（其中，為無理數）；.A0B1C2D38已知定點，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（ ）A橢圓B雙曲線C拋物線D圓9如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（ ）ABCD10命題“”的否定為（ ）ABCD11若復數（是虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12中國古代數學著作算法統宗中有這樣一個問題；“三百七十八里關，初行健步不為難，次后腳痛遞減

4、半，六朝才得到其關，要見每朝行里數，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（ ）A6里B12里C24里D48里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，角，的對邊分別為，.若；且，則周長的范圍為_.14已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側面積為_15已知函數在處的切線與直線平行，則為_.16 “今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈”其白

5、話意譯為：“現有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織了5尺布，現在一個月（按30天計算）共織布390尺”則每天增加的數量為_尺，設該女子一個月中第n天所織布的尺數為，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值18（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標，某農科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質量，在棉花成熟后，分別從甲、

6、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統計，結果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數）34454乙地（根數）112116（1）由以上統計數據，填寫下面列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的

7、根數為，求的分布列及數學期望.19（12分）設，函數.（1）當時，求在內的極值；（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值.20（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.21（12分）已知的內角、的對邊分別為、，滿足.有三個條件：；.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設為邊上一點，且，求的面積.22（10分）已知函數與的圖象關于直線對稱. （為自然對數的底數）（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12

8、小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】結合題意，根據題目中的天的指數值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數值中高于的天數為，即占總天數的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數在以下，中旬大部分指數在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命

9、題進行判斷，本題較為基礎.2B【解析】通過復數的模以及復數的代數形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復數滿足，故選B.【點睛】本題主要考查復數的基本運算，復數模長的概念，屬于基礎題3B【解析】函數在區(qū)間內單調遞增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函數在區(qū)間內單調遞增的概率是，故選B.4C【解析】先解不等式，可得出，求出函數的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關于的不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】，先解不等式.當時，由，得，解得，此時；當時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數的值域.當時，則，此時；當時，此時.綜上所述，函數的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在

10、定義域上恒成立，所以，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數不等式恒成立求參數，同時也考查了分段函數基本性質的應用，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.5A【解析】根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.6C【解析】由函數的圖象向右平移個單位得到，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，可得時，取得最大值，即，當時，解得，故選C.點睛：本題

11、主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減可得時，取得最大值，求解可得實數的值.7C【解析】對于中，根據指數冪的運算性質和不等式的性質，可判定值正確的；對于中，構造新函數，利用導數得到函數為單調遞增函數，進而得到，即可判定是錯誤的；對于中，構造新函數，利用導數求得函數的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于中，由，可得，根據不等式的性質，可得成立，所以是正確的；對于中，設函數，則，所以函數為單調遞增函數，因為，則又由，所以，即，所以不正確；對于中，設函數，則，當時，函

12、數單調遞增，當時，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及導數在函數中的綜合應用，其中解答中根據題意，合理構造新函數，利用導數求得函數的單調性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.8B【解析】根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考

13、查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.9C【解析】利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸/,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.10C【解析】套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎題.11A【解析】將 整理

14、成的形式，得到復數所對應的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復數的乘法運算，考查了復數對應的坐標.易錯點是誤把 當成進行計算.12C【解析】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程【詳解】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數列，由題意得：，解得（里，（里故選：C【點睛】本題考查等比數列的某一項的求法，考查等比數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先求角，再用

15、余弦定理找到邊的關系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件；基礎題.14【解析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，解得，如圖所示，設底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，故，即，解得，故三棱柱的側面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.15【解析】根據題意得出，由此可得出實數的值.【詳解】，直線的斜率為，由于函數在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的切線

16、與直線平行求參數，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.16 52 【解析】設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數列前項和公式求出,由此利用等差數列通項公式能求出.【詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,則,解得,即每天增加的數量為，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的求和公式，意在考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可得,根據平行直線的

17、性質可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數量積求解；（3）設,則,求得,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內,所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.（3）設,則有,得,設,那么,

18、所以,所以.因為,所以.又因為,所以,設平面的法向量為,則,即,可得,即 因為在平面內,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.18（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據所給表格填出列聯表，利用列聯表求出，結合所給數據，應用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應的概率，可列出分布列并進一步求出的數學期望試題解析：（）根據已知數據得到如下列聯表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據列聯表中

19、的數據，可得所以，在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系” （）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數為，的可能取值為：1,1,2,3， ， 的分布列為：1123 19（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】（1）當時，可求得，令，利用導數可判斷的單調性并得其零點，從而可得原函數的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，從而可得及，由，得則可化為對任意的恒成立，按照、三種情況分類討論，分離參數后轉化為求函數的最值可解決；【詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調遞減.由于，所以當時，；當時，.當變化時，的變化情

20、況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當時，不等式恒成立，即.當時，恒成立，即，令，易證是上的減函數.因此，當時，故.當時，恒成立，即，因此，當時，所以.綜上所述，.【點睛】本題考查利用導數求函數的最值、研究函數的極值等知識，考查分類討論思想、轉化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高20（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）連接，由菱形的性質以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結論.（2）以為原點建平面直角坐標系，求出平面平與平面的法向量，最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解：（1）連結 ，且是的中點，平面平面，平面平面，平面. 平面，又為菱形，且為棱的中點，.又，平面平面.（2）由題意有，四邊形為菱形，且 分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則設平面的法向量為由，得，令，得取平面的法向量為二面角為銳二面角，二面角的余弦值為【點睛】處理線面垂直問題時，需要學生對線面垂直的判定定理特別熟悉，運