2021-2022學(xué)年安徽省定遠(yuǎn)育才實驗學(xué)校高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（ ）A這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好2復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）ABC2D-23若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（ ）A B C D4已知 若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）AB64CD326函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

3、遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（ ）ABC2D7下列命題為真命題的個數(shù)是（ ）（其中，為無理數(shù)）；.A0B1C2D38已知定點，是圓上的任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（ ）A橢圓B雙曲線C拋物線D圓9如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（ ）ABCD10命題“”的否定為（ ）ABCD11若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限12中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減

4、半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（ ）A6里B12里C24里D48里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，角，的對邊分別為，.若；且，則周長的范圍為_.14已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_15已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為_.16 “今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈”其白

5、話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個月（按30天計算）共織布390尺”則每天增加的數(shù)量為_尺，設(shè)該女子一個月中第n天所織布的尺數(shù)為，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設(shè)直線與平面相交于點，若，求的值18（12分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、

6、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311的為“長纖維”，其余為“短纖維”）纖維長度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附：（1）；（2）臨界值表；1111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的

7、根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.20（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.21（12分）已知的內(nèi)角、的對邊分別為、，滿足.有三個條件：；.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點，且，求的面積.22（10分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱. （為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12

8、小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】結(jié)合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好，從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運用所學(xué)知識對命

9、題進行判斷，本題較為基礎(chǔ).2B【解析】通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，故選B.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)模長的概念，屬于基礎(chǔ)題3B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.4C【解析】先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.當(dāng)時，由，得，解得，此時；當(dāng)時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時，則，此時；當(dāng)時，此時.綜上所述，函數(shù)的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在

10、定義域上恒成立，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.5A【解析】根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時，取得最大值，即，當(dāng)時，解得，故選C.點睛：本題

11、主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時，取得最大值，求解可得實數(shù)的值.7C【解析】對于中，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到，即可判定是錯誤的；對于中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則又由，所以，即，所以不正確；對于中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，函

12、數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.8B【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考

13、查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.9C【解析】利用建系，假設(shè)長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸/,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.10C【解析】套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.11A【解析】將 整理

14、成的形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點是誤把 當(dāng)成進行計算.12C【解析】設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先求角，再用

15、余弦定理找到邊的關(guān)系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件；基礎(chǔ)題.14【解析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.15【解析】根據(jù)題意得出，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線

16、與直線平行求參數(shù)，解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16 52 【解析】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,則,解得,即每天增加的數(shù)量為，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的

17、性質(zhì)可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解；（3）設(shè),則,求得,即可求得點的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,因為在棱上,可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時,取最大值.（3）設(shè),則有,得,設(shè),那么,

18、所以,所以.因為,所以.又因為,所以,設(shè)平面的法向量為,則,即,可得,即 因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.18（1）在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”（2）見解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，可列出分布列并進一步求出的數(shù)學(xué)期望試題解析：（）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中

19、的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系” （）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3， ， 的分布列為：1123 19（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】（1）當(dāng)時，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，從而可得及，由，得則可化為對任意的恒成立，按照、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當(dāng)時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)變化時，的變化情

20、況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當(dāng)時，不等式恒成立，即.當(dāng)時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時，故.當(dāng)時，恒成立，即，因此，當(dāng)時，所以.綜上所述，.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高20（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）連接，由菱形的性質(zhì)以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結(jié)論.（2）以為原點建平面直角坐標(biāo)系，求出平面平與平面的法向量，最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解：（1）連結(jié) ，且是的中點，平面平面，平面平面，平面. 平面，又為菱形，且為棱的中點，.又，平面平面.（2）由題意有，四邊形為菱形，且 分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為由，得，令，得取平面的法向量為二面角為銳二面角，二面角的余弦值為【點睛】處理線面垂直問題時，需要學(xué)生對線面垂直的判定定理特別熟悉，運