06第六章萬有引力

1、第六章 萬有引力一、內(nèi)容提要1行星運動的三大定律（開普勒定律）1 行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。行星軌道的偏心率 都比較小。（很接近于圓）2 對任一行星，它的位置矢量（以太陽中心為參考點）在相等的時間內(nèi)掃過相等 的面積。3. 行星繞太陽運動周期T的平方和橢圓軌道的半長軸a的立方成正比，即：4該恒量對各行星都相同）萬有引力定律（1）.任何兩質(zhì)點間都存在相互吸引力，方向沿兩質(zhì)點的連線方向，大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比，與它們 之間距離的平方成反比：（2）引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量 慣性質(zhì)量：反映質(zhì)點保持其原來運動狀態(tài)不變的程度，不涉及引力。 引力質(zhì)量：反映質(zhì)點吸引其他物體的能力，不

2、涉及慣性。 引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，可以不加以區(qū)分。（3）.地球自轉(zhuǎn)對重量的影響（a） W和f偏角a ,在九=45。時，sin aaa 1.74 x 10-3 rad = 6，偏角很小，但九=45。為最大值。（ b ） W 的大?。和ǔＵf在赤道重量小，兩極重量大，不僅是半徑作用，而且還有非慣性力的影響（或地球自 轉(zhuǎn)的影響）。引力勢能（1）萬有引力勢能.r Mm若取兩吸引質(zhì)點相距無窮遠處為引力勢能零點：=0,則引力勢能恒為負:2）三種宇宙速度：第一宇宙速度：環(huán)繞地球表面做勻速圓周運動的速度：第二宇宙速度：脫離地球引力成為太陽系中的一個人造衛(wèi)星的最小速度先=J2 崔也當=11.2krn / s 第

3、三宇宙速度：物體擺脫太陽的吸引，到其它恒星世界去的最小速度。也=16.7ina/j二、習題解答6.1.1設某行星繞中心天體以公轉(zhuǎn)周期T沿圓軌道上運行。試用開普勒第三定律證明：一個T物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時間為t =答：方法一：圓軌道半徑即半長軸a。設物體下落為繞中心天體沿極扁（半短軸趨于0）橢圓運a轉(zhuǎn)，半長軸2， v遠一o,對同一中心天體有:T2圓周運動 =ca3沿所示橢圓T- (a/2)3 = c = T2 ,1a3T21T = T2 2。如題所述落向中心天體時間t=T12 = t4 2 （取自方勵之書）。這也只是種定性討論；若如后面方法所述t=也是定性討論。方法二：應

4、用開氏第三定律，中心天體定，初=C,任意y時，設周期Ta3T 2T 2亦有一二C二 -y3a 3運轉(zhuǎn)速率u =u2二 y3c，4兀 2y2-(1)，y -T 2Cy2中心天體使行星具有向心下落加速度，下落初速為0 ，顯然dv = adt =-佇 dt,ncy 2v = 0 + J t- 一dt - (2)， dy = vdt = 0Cy211 -佇I o cy2dt dt丿3)，-泌=J tdt = tdt04n 2-(4)，Jo-泌=Fd ,0ca3 = T2，ca 31石=2T打77和結果不符(5.7)。dvYv(3) (4)處理萬法見 P104，= g -104 dtmdv=dt處理。方

5、勵之P144有之，t =土星質(zhì)量為5.7X 1026kg，太陽質(zhì)量為2.0X 1030kg，二者的平均距離是1.4X 10噸。(1) 太陽對土星的引力有多大？(2)設土星沿圓軌道運行，求它的軌道速度。答：m = 5.7 x 1026kg， m = 2.0 x 1030kg， G = 6.67 x 10-11kg， r = 1.4x 1012m，12( 1 )引力mmF = 6.67 x 10-11 x5.7 x 1026 x2.0 x 1030 /(1.4x 1012)2 = 3.88x 1022Nr22)F=mv2/r， v = (Fr / m)1/ 2 =3.88x1022x1.4x101

6、2/(5.7x1026)1/2 =9.76x103ms-1(P598 答數(shù) 1.5 x 1023N，430ms-1 是錯的。)598某流星距地面一個地球半徑，求其加速度。M答：a = G 地 n r2667 x 10-11 x 5.98 x 1024 = 2.45 = g4 x 6370 2 x 10 64(1) 一個球形物體以角速度轉(zhuǎn)動。如果僅有引力阻礙球的離心分解，此物體的最小密度是多少？有此估算巨蟹座中轉(zhuǎn)速為每秒30 轉(zhuǎn)的脈沖星的最小密度。這脈沖星是我國在1054年就觀察到的超新星爆的結果。（2）如果脈沖星的質(zhì)量與太陽的質(zhì)量相當（2.0X 1030kg或3X105Me，Me為地球質(zhì)量），

7、此脈沖星的最大可能半徑是多少？ （3）若脈沖 星的密度與核物質(zhì)的相當，它的半徑是多少？核密度約為1.2X10i7kg/m3。4答：（1） M = 3兀R3P，取距心r，緯度，體元m，受引力F大于等于向心力mMMGco sx = m 2rco 門，G = wr2r22r43兀R3p - G w2r3，取r 二 R , p 令w = 2k x 30 = 65rads-1，則知 F(2) w = 60k , p =(60k)23 x 6.67 x 10-11 x 3.14沁1.27 x 1014kg/m3為脈沖星最小密度,）4M = 3kR3p，知 m、4kR3 p -1(3)GR2P，可知Ro=1

8、 w2R，p = w24，p = 1.3 x 1014 kgm-3，2 x 1030 = 4kR3 p,4 kG3可得R6.2.4距銀河系中心約25 000光年的太陽約以170 000 000年的周期在一圓周上運動。地球 距太陽8光分。設太陽受到的引力近似為銀河系質(zhì)量集中在其中心對太陽的引力。試求以太 陽質(zhì)量為單位銀河系的質(zhì)量。答： mw 2 R = GMmMmm w 2 R = G日地地 地R 2日地M =w 2r3 /G; M =w 2R 3 /G日 地 日地)(RR日地)3125000170000000”(8/60/24/365)1.53x1011m = 1.99 x1033 kg ，日

9、6.2.5某彗星圍繞太陽運動，遠日點的速度為10km/s,近日點的速度為80 km/s。若地球在 半徑為1.5X 108km的圓周軌道繞日運動，速度為30 km/so求此彗星的遠日點距離。Mm v2答：彗星遠、近地點，曲率半徑P相同。因引力不同，故速度不同。f 一 = G = m亠， 遠r2p遠v2f = m-，近pr x 10 = r x 80 ,遠近v = 80kms-i近GMmv2圓周運動），地m地R2地R地地7v2 R1v2 ）， v地地 （v2 一8r2近遠地（3）太陽、地球、 代入， 得遠R = 1.5 x 108 km，地，GM 二 v2地=30kms -i，得 r = 3.75

10、 x 107km遠x R-，地v = 10kms -i遠（1）彗星滿足角動量守恒，r_v一二r v遠 遠 近 近-，（2）取彗星、太陽為組，無窮遠為E二0，則機械能守恒。pGMm 1 GMm 1+ mv2 二一+ mv2,r2 遠r2 近遠近6.2.6 均質(zhì)細桿長L質(zhì)量為M。求距其一端為d處單位質(zhì)量質(zhì)點受到的引力（亦稱引力場 強度）。答：F = Gp-1f L+d 丄 dx = Gp （-丄）Il+d = Gp （丄-）=GM 1d X2X dd L + dd（d + L）626 題ffi.6.2.7半徑為R的細半圓環(huán)線密度為九。求位于圓心處單位質(zhì)量質(zhì)點受到的引力（引力場強 度）。答：關于Y左

11、右對稱，水平力相抵消，只計Y分量之和。 TOC o 1-5 h z r 7 111F = 2JK/2G _sin0 -RdO = 2G九（-cosO）1冗/2 = 2G九，f = 0 或y 0 R2R0R xF =卜G 1 sinOdO =-G cosO k = 2G九/Ry 0 RR 06.3.1考慮一轉(zhuǎn)動的球形行星，赤道上各點的速度為V,赤道上的加速度是極點上的一半。 求此行星極點處的粒子的逃離（第二）速度。答：球形半徑R,質(zhì)量M,繞AB軸自轉(zhuǎn)。仿地球重力加速度g，%2二mg，g指O 點。g = GMr2，此在A、B及赤道均同。赤道線速度v，以星為參照系為非慣性系，赤道物體m受引力（重力）

12、、慣性離心力f*二mv2/R，方向向外，故星為參照物，赤道物體 cGMm / mv2 /1 m GM 1 GM加速度ma = GMmR2 mv2R = m - g = y ，=v2 0逃離速度即第二宇Mm 1宙速度 v, - G 2 + m v2 = 0 ， v2 = 2GM/R = 4v2， v = 2v2R 22 222me6.3.2 一直地球表面的重力加速度為9.8m/s2,圍繞地球的大圓周長為4X107n，月球與地球的 直徑及質(zhì)量之比分別是D /D =0.27和M /M =0.0123。試計算從月球表面逃離月球引力場所me必需的最小速度。答：解法一：仿地球第二宇宙速度篤地=、,2R g

13、 = 11.2kms 1， v、 地地2月m=0.27R ， g = G 月 = G地 月 R2(月，g0.0123m0.0123地 =g ，0.27R )20.272 地地v2月2 x 0.27R xi地0.0123g0.272 地(0.0123、1/20.27 丿V2R g = 0.2314 x 11.2 x 103 = 2.39kms-1、 地地mm1( 11/2(1 )G 月 +mv2 = 0，v=2Gm -=2GmRR222月R月R2月月J月丿V月丿1/2解法二： mg = G 月=G 月 R2月0.0123m地0.272R2地0.0123 m=G 地0.272R2地1=6g 地厶 門)(c 0.0123門)1/2J0.0123ccc. v = Qg R 丿/2 = 2 g x 0.0123R=11.2 = 2.39kms-12 月月 I 0.272地地丿0.276.4.1 月球在地球上引起潮汐。試證明潮汐產(chǎn)生的磨擦會使地月間距離增加。 答：略。6.4.2 圖 6.4.2 表示利用潮汐發(fā)電。左方為陸地和海灣，中間為水壩，其下有通道，水流 經(jīng)通道可帶動發(fā)電機。漲潮時，水進入海灣，待內(nèi)外水面高度相同時，堵住通道圖6.