簡諧振動物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化

1、 機械振動： 物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化等等廣義振動：一個物理量在某一定值附近往復(fù)變化 該物理量的運動形式稱振動 物理量：共振(簡諧振動） 振動受迫振動自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由諧振動振動的形式:重要的振動形式是 簡諧振動(SHV) simple harmonic vibration物理上：一般運動是多個簡諧振動的合成數(shù)學(xué)上： 付氏級數(shù) 付氏積分也可以說， SHV是振動的基本模型或說，振動的理論建立在SHV的基礎(chǔ)上注意：以機械振動為例說明振動的一般性質(zhì)15-1 簡諧振動1.簡諧振動的特征及其表達式 簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)

2、按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。簡諧振動的特征及其表達式彈簧振子：連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)?；貜?fù)力：作簡諧運動的質(zhì)點所受的沿位移方向的合 外力, 該力與位移成正比且反向。 簡諧振動的動力學(xué)特征: 據(jù)牛頓第二定律，得令運動學(xué)特征簡諧振動的特征及其表達式位移 之解可寫為：或 簡諧振動的運動學(xué)特征:物體的加速度與位移成正 比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度加速度簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動的振動表達式 簡諧振動中質(zhì)點位移、速度、加速度與時間的關(guān)系:簡諧振動的特征及其表達式 常量 和 的確定根據(jù)初始條件： 時， , ，得簡諧振動的特征及其表達式在 到 之

3、間，通常 存在兩個值，可根據(jù) 進行取舍。2.簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅: 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。(2)周期和頻率 周期：物體作一次完全運動所經(jīng)歷的時間。頻率：單位時間內(nèi)物體所作完全運動的次數(shù)。由初始條件確定角頻率: 物體在 秒內(nèi)所作的完全運動的次數(shù)。對于彈簧振子，因有 ，得:利用上述關(guān)系式，得諧振動表達式： 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(3)相位和初相相位 ：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。初相位 ：t =0 時的相位。 相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為：二者的相位差為： 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(b

4、)當(dāng) 時,稱兩個振動為反相；(d)當(dāng) 時,稱第二個振動落后第一個振動 。(c)當(dāng) 時,稱第二個振動超前第一個振動 ；討論: (a)當(dāng) 時,稱兩個振動為同相； 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。 簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位 相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在:3. 簡諧振動的矢量圖示法 采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會簡諧振動表達式中各個物理量的意義。 旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A 的矢量 在紙平面內(nèi)繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。 簡諧振動的矢量圖

5、示法任意時刻 與參考方向x 的夾角振動相位逆時針方向 M 點在 x 軸上投影(P點)的運動規(guī)律： 的長度 旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向XOM P x振幅A振動圓頻率 簡諧振動的矢量圖示法M振動初相位與參考方向x 的初始時刻夾角速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M 點: 簡諧振動的矢量圖示法 沿X 軸的投影為簡諧運動的速度、加速度表達式。兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為： 簡諧振動的矢量圖示法 例15-1 一物體沿X 軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向 X 軸正向運動。求:(1)簡諧振動表達式;(2) t =T/4時物體的位置、

6、速度和加速度;(3)物體從x =-0.06m向 X 軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解: (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點,諧振動方程寫為：其中A=0.12m, T=2s, 初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得據(jù)初始條件 得 簡諧振動的矢量圖示法(2) 由(1)求得的簡諧振動表達式得:在t =T/4=0.5s時，從前面所列的表達式可得 簡諧振動的矢量圖示法(3) 當(dāng)x = -0.06m時，該時刻設(shè)為t1,得因該時刻速度為負，應(yīng)舍去 ，設(shè)物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時間：另解：從t1時刻到t2時刻所對應(yīng)的相差為： 簡諧振動

7、的矢量圖示法o旋轉(zhuǎn)矢量法例一物體沿X 軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向 X 軸正向運動。求:(1)簡諧振動表達式;(2) t =T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x =-0.06m向 x 軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。(1)A=0.12m, T=2s, 初始條件：t = 0, x0=0.06m,正向(2) 代入計算(3) o4.幾種常見的簡諧振動(1) 單擺重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得到 很小時(小于 )，可取令 ,有轉(zhuǎn)角 的表達式可寫為：角振幅 和初相 由初始條件求得。單擺周期 與角振幅 的關(guān)系為 為 很小

8、時單擺的周期。 根據(jù)上述周期的級數(shù)公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。 幾種常見的簡諧振動(2) 復(fù)擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺。 剛體的質(zhì)心為C, 對過O 點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J, O、C 兩點間距離的距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得若 角度較小時 幾種常見的簡諧振動5. 簡諧振動的能量動能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機械能： 簡諧振動的能量 考慮到 ，系統(tǒng)總能量為 ，表明簡諧振動的機械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立。諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線: 簡諧振動的能量15-5 同方向的簡諧振動的合成 1.同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成

9、 設(shè)一質(zhì)點同時參與沿同一方向(x 軸)的兩個獨立的同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：合位移：合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量圖示法同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成矢量沿X 軸之投影表征了合運動的規(guī)律。(1)當(dāng)Df=f 20-f10=2kp (k=0及正負整數(shù))，cos(f20-f10)=1, 有同相迭加，合振幅最大。(2)當(dāng)Df=f 20-f10=(2k+1)p (k=0及正負整數(shù)), cos(f20-f10)=0, 有反相迭加，合振幅最小。當(dāng)A1=A2 時，A=0。討論：同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成(3)通常情況下，合振幅介于 和 之

10、間。 例15-4 N個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為0, a, 2a, ., 依次差一個恒量a，振動表達式可寫成求它們的合振動的振幅和初相。 解:采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運算。 根據(jù)矢量合成法則，N個簡諧振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成 因各個振動的振幅相同且相差依次恒為 a ，上圖中各個矢量的起點和終點都在以 C為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，可得同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成 在三角形DOCM中,OM 的長度就是和振動位移矢量的位移,角度 就是和振動的初相，據(jù)此得考慮到當(dāng) 時(同相合成)，有同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成 2.同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成 拍兩個簡諧振動合成得： 當(dāng)兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度不相同，二者的相位差與時間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時間變化。兩個簡諧振動的頻率 和 很接近，且x = x1+