高中數(shù)學(xué)必修二 期中測試卷03（測試范圍：必修第二冊第六、七、八章）（含答案）

1、期中測試卷03（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）（人教A版2019）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【答案】A【解析】由得，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A。2設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到的共軛復(fù)數(shù)為：，故選A。3在中，點(diǎn)滿足，若，則的值為( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中點(diǎn)為，連接，則，設(shè)，則，解得，

2、是等邊三角形，故選C。4如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，則該多面體的體積為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】將幾何體割成一個(gè)三棱柱和兩個(gè)相同的三棱錐，在梯形中易知，則該幾何體體積為，故選A。5已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】連接交于，連結(jié)，由題意得，平面，直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，也等于點(diǎn)到平面的距離，作于，則為中點(diǎn)，為所求，故選A。6已知正三角形的邊長為，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使，若三角錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】正如圖，

3、將三角形沿翻折后，注意以為底面，形成三角錐，則平面，三角錐的外接球球心一定在經(jīng)過底面的外心且垂直于底面的垂線上，設(shè)球心為，外心為，中點(diǎn)為，外接球半徑為，由底面可知，做剖面，則，過做，垂足為，則為中點(diǎn)，在中，則，故選A。7半徑為的圓上有三點(diǎn)、滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如圖，與交于點(diǎn)，由得：四邊形是菱形，且，則，由圖知，而，同理，而，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，故選A。8如圖為一個(gè)正方體與一個(gè)半球構(gòu)成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個(gè)球中(球未畫出)，使正方體的下底面的頂點(diǎn)均落在球的表面上，半球與

4、球內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】設(shè)球、半球的半徑分別為、，則由正方體與半球的位置關(guān)系易知正方體的棱長為，設(shè)正方體的下底面的中心為，連接，則四棱錐的高，易知該四棱錐為正四棱錐，則其斜高為，由題意得，得，根據(jù)幾何體的對稱性知球的球心在線段上，連接、，在中，則，解得，球的表面積，故選B。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9若復(fù)數(shù)滿足，則關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是( )。A、復(fù)數(shù)的實(shí)部為B、復(fù)數(shù)的虛部為C、復(fù)數(shù)的模長為D、復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)

5、平面上的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】設(shè)()，則，化簡得，根據(jù)對應(yīng)相等得：，解得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)在實(shí)軸上，故選ABC。10兩平行平面截半徑為的球，若截面面積分別為和，則這兩個(gè)平面間的距離是( )。A、B、C、D、【答案】AD【解析】如圖(1)所示，若兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，則，如圖(2)所示，若兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè)，則，故選AD。11已知、為三條不同的直線，且平面，平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是( )。A、若與是異面直線，則至少與、中的一條相交B、若不垂直于，則與一定不垂直C、若，則必有D、若、，則必有【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，若與是異面直線，則至少與、中的一條相交，對，B選項(xiàng)，時(shí)

6、，若，則，此時(shí)不論，是否垂直，均有，錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由線面平行的性質(zhì)定理可得，對，D選項(xiàng)，若，則，時(shí)，與平面不一定垂直，此時(shí)平面與平面也不一定垂直，錯(cuò)，故選BD。12已知、是兩個(gè)單位向量，時(shí)，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是( )。A、的夾角是B、的夾角是C、D、【答案】ABD【解析】由題可知， 、是兩個(gè)單位向量，且的最小值為，的最小值為，則，解得，與的夾角為或，或，或，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑傻?，故復(fù)數(shù)的虛部為。14如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則

7、?！敬鸢浮俊窘馕觥窟B接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，。15在中，若與線段交于點(diǎn)，且，則的最大值為 ?！敬鸢浮緿【解析】線段與線段交于點(diǎn)，設(shè)()，則，即，又、三點(diǎn)共線，則，即，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)最小，此時(shí)最大，又，故此時(shí)，即，即的最大值為，故選D。16如圖所示，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，、分別是側(cè)棱、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥咳鐖D，連接交于，連接，平面，平面，平面平面，在上截取，連接，則，四邊形為平行四邊形，則，又，從而。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分10分）設(shè)方程的根分別為、，且，

8、求實(shí)數(shù)的值?！窘馕觥咳簟閷?shí)數(shù)，則，解得， 4分若、為虛數(shù)，則且、共軛，解得， 9分綜上，或。 10分18（本小題滿分12分）若、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中。(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若且與垂直，求與的夾角?！窘馕觥?1)設(shè)， 2分又，或，或，或； 6分(2)與垂直，即， 8分又，代入上式解得， 10分又，。 12分19（本小題滿分12分）如圖，矩形中，。、分別在線段和上，將矩形沿折起。記折起后的矩形為，且平面平面。(1)求證：平面；(2)若，求證：；(3)求四面體體積的最大值?！窘馕觥?1)證明：四邊形，都是矩形，四邊形是平行四邊形， 2分，平面，平面； 4分(2)證明：連接，設(shè)，平面

9、平面，且，平面，又，四邊形為正方形， 6分平面，又平面， 8分(3)解：設(shè)，則，其中，由(1)得平面，四面體的體積為：， 10分當(dāng)時(shí)，四面體的體積最大，其最大值為。 12分20（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為線段上的點(diǎn)，且，。(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離?！窘馕觥?1)證明：連接，由題意可知，則， 2分，則， 3分則，即，平面平面，平面， 4分又平面，又，平面； 6分(2)由(1)得，又， 8分在中，則， 10分設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可得，即，即，故點(diǎn)到平面的距離為。 12分21（本小題滿分12分）如圖1，在三棱錐中，平面，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正(主)視

10、圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示。(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長?！窘馕觥?1)證明：平面， 1分又，平面， 2分由三視圖得在中，為中點(diǎn)， 3分，平面； 4分(2)由三視圖可得，由(1)知，平面， 5分又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，所求三棱錐的體積； 7分(3)取的中點(diǎn)，連接并延長至，使得，點(diǎn)即為所求， 8分為中點(diǎn)，平面，平面， 9分平面，連接、，四邊形的對角線互相平分， 10分為平行四邊形， 11分又平面，在中，。 12分22（本小題滿分12分） 如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，。(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離?！窘馕觥?1)設(shè)，取