概統(tǒng)昆工版教材習(xí)題第一至六章(演示版)

1、PAGE PAGE 48（請(qǐng)尊重我的勞動(dòng)，不要將資料外傳） 習(xí)題一3 設(shè)為二事件，化簡(jiǎn)下列事件：4 電話(huà)號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0到9這10個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話(huà)號(hào)碼由5個(gè)不同數(shù)字組成的概率。5 張獎(jiǎng)券中有張有獎(jiǎng)的，個(gè)人購(gòu)買(mǎi)，每人一張，求其中至少有一人中獎(jiǎng)的概率。答案：6 從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”的概率是多少？解；將這五雙靴子分別編號(hào)分組，則表示：“至少有兩只配成一雙”；從5雙不同的鞋子中任取4只，其可能選法有不能配對(duì)只能是：一組中選i 只，另一組中選4-i只，且編號(hào)不同，其可能選法為7在1，1上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)的概率。 答

2、案：8在長(zhǎng)度為的線(xiàn)段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將其分成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率。 且，又9在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的積小于的概率。10設(shè)為二事件，設(shè)解：故11設(shè)為二事件，設(shè)解： 12 設(shè)（1）若若（2）若若與相互獨(dú)立，則13飛機(jī)投炸彈炸敵方彈藥倉(cāng)庫(kù)，已知投一彈命中1，2，3號(hào)倉(cāng)庫(kù)的概率分別為0.01，002，0.03，求飛機(jī)投一彈沒(méi)有命中倉(cāng)庫(kù)的概率。解 0.9414某市有50的住戶(hù)訂日?qǐng)?bào)，有65的住戶(hù)訂晚報(bào)，有85的住戶(hù)至少訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)定這兩種報(bào)紙的住戶(hù)的百分比。解：，15一批零件共100個(gè)，次品率10,連續(xù)兩次從這批零件中任取一個(gè)零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得

3、正品的概率。解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等價(jià)于第一次取出的零件為次品，求第二次取得正品；故：16 設(shè)隨機(jī)事件且解：17 設(shè)是小概率事件，即是給定的任意小的正數(shù)，試證明：當(dāng)試驗(yàn)不斷地重復(fù)進(jìn)行下去，事件總會(huì)發(fā)生（以概率1發(fā)生）。當(dāng)試驗(yàn)不斷地重復(fù)進(jìn)行下去，事件發(fā)生的概率為：18 三人獨(dú)立的破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為求此秘密被譯出的概率。解：以分別表示第一，二，三人獨(dú)立地譯出密碼，：表示密碼被譯出，則20 三臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立的運(yùn)轉(zhuǎn)，設(shè)第一，第二，第三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為0.9，0.8，0.7，求這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障得概率。解：21設(shè)為二事件，設(shè)解：2

4、2設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為，活到25年以上的概率為，問(wèn)現(xiàn)在25歲的這種動(dòng)物，它能活到25年以上的概率為多少？解： 23某地區(qū)歷史上從某年后30年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為，40年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概率為，求已過(guò)去了30年未發(fā)生特大洪水的地區(qū)在未來(lái)10年內(nèi)發(fā)生特大洪水的概。 發(fā)生特大洪水的時(shí)刻。24 設(shè)甲袋中有2只白球，4只紅球，乙設(shè)甲袋中有3只白球，2只紅球，今從甲袋中任意取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊∫磺?。?）問(wèn)取道白球的概率是多少？（2）假設(shè)取到白球，問(wèn)該球來(lái)自甲袋的概率是多少？解：解： “首先從甲袋中取到白球” 收到信號(hào)“然后從乙袋中取到白球.”; 由題設(shè):于是:由貝葉

5、斯公式有:; 25 一批產(chǎn)品共有10件正品和2件次品，任取兩次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。解：分別表示第一次、第二次取得的是次品，則 26一批元件，其中一等品占95，二等品占4，三等品占1，它們能工作500h以上的概率分別為90，80，70，求任取一元件能工作500h以上的概率。解：分別為任意抽出一元件是由一、二、三等品。抽出的一個(gè)能工作500h以上27 某廠(chǎng)用甲乙丙三地收購(gòu)而來(lái)的藥材加工生產(chǎn)一種中成藥，三地供貨量分別占40，35，25，且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65，0.70，和0.85，（1）求從該廠(chǎng)產(chǎn)品中任取一件是優(yōu)等品的概率。（2）若取一件

6、是優(yōu)等品的概率，求它的材料來(lái)自甲地的概率。（1）分別為任意抽出一螺釘是由甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)的。抽出的一個(gè)是次品由貝葉斯公式有:28用某種檢驗(yàn)方法檢查癌癥，根據(jù)臨床記錄，患癌癥者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陽(yáng)性的概率為0.95，無(wú)癌癥者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陰性的概率為0.90，若據(jù)統(tǒng)計(jì)，某地癌癥的發(fā)病率為0.0005，試求用此法檢查結(jié)果為陽(yáng)性者而而實(shí)際患癌癥的概率。解：“患癌癥.” “未患癌癥”; “檢查結(jié)果為陽(yáng)性”; “結(jié)果是陰性”由題設(shè):于是:由貝葉斯公式有:; 29 三人同時(shí)向一敵機(jī)射擊，擊中的概率分別是0.4，0.6和0.7；一人擊中，敵機(jī)被擊落的概率為0.2；二人擊中，敵機(jī)被擊落的概率為0.6

7、；三人擊中，敵機(jī)必被擊落；求（1）敵機(jī)被擊落的概率。（2）已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率。解：用表示第人擊中，則用表示恰有人擊中，；表示敵機(jī)被擊落，則30 某廠(chǎng)產(chǎn)品有70不需調(diào)試即可出廠(chǎng)，另30需經(jīng)調(diào)試，調(diào)試后有80，能出廠(chǎng)，求：（1）該廠(chǎng)產(chǎn)品能出廠(chǎng)的概率。（2）任取一出廠(chǎng)產(chǎn)品未經(jīng)調(diào)試的概率。解： “任取一產(chǎn)品，.不需調(diào)試即可出廠(chǎng)” “任取一產(chǎn)品，調(diào)試后能出廠(chǎng)”; “任取一產(chǎn)品，能出廠(chǎng).”; “任取一產(chǎn)品，不能出廠(chǎng)”由題設(shè):于是:由貝葉斯公式有:; 31 進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，假設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率度、都是求在試驗(yàn)成功2次之前已失敗了3次的概率。解：X:表示試驗(yàn)成功2次時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，X=

8、5,試驗(yàn)成功2次之前已失敗了3次的概率等價(jià)于：前面4次成功了1次且第5次必成功。32 10個(gè)球中有一個(gè)紅球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次紅球的概率。 33燈泡使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求3個(gè)使用1000小時(shí)后，最多只有一只壞了的概率。 記P=P燈泡使用在1000小時(shí)以上完好 X: 3個(gè)使用1000小時(shí)后壞了的只數(shù)。則X34某人有兩盒火柴，每盒中各有根，吸煙時(shí)任取一盒，并從中任取一根，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完時(shí)，試求另一盒還有根的概率。 注：可看作重貝努力試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率為，取了第二盒中一根火柴的概率也為，設(shè)所求事件為，則

9、相當(dāng)于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故彩票問(wèn)題：三十五選七；十一選五等等。 三十五選七的搖獎(jiǎng)規(guī)則：編有號(hào)碼1，2，35的球共35個(gè)，從中搖出七個(gè)基本號(hào)碼，一個(gè)特別號(hào)碼。設(shè)有三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)：一等獎(jiǎng)：選七個(gè)號(hào)碼，中七個(gè)基本號(hào)碼； 二等獎(jiǎng)：選七個(gè)號(hào)碼，中六個(gè)基本號(hào)碼和一個(gè)特別號(hào)碼； 三等獎(jiǎng)：選七個(gè)號(hào)碼，中六個(gè)基本號(hào)碼；另一號(hào)碼未中；考慮模球問(wèn)題：袋中有不放回摸；的概率。解：設(shè)則視七個(gè)基本號(hào)碼為紅球，一個(gè)特選號(hào)碼為黃球，其余號(hào)碼為白球，則：一等獎(jiǎng)：二等獎(jiǎng)：一等獎(jiǎng)：習(xí)題二 38頁(yè)1在測(cè)試燈泡的壽命的試驗(yàn)中，試寫(xiě)出樣本空間并在其上定義一個(gè)隨機(jī)變量。解：樣

10、本空間表示燈泡的壽命（h）是隨機(jī)變量。2 報(bào)童賣(mài)報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元，報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定不得把賣(mài)不出的報(bào)紙退回，設(shè)X為報(bào)童每天賣(mài)出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢(qián)這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示。 報(bào)童賠錢(qián)=0.15X100, 3 若求解：4 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，試求（1）5 5個(gè)乒乓球中有兩個(gè)是新的，3個(gè)是舊的，若果從中任取3個(gè)，其中新的乒乓球的個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律和分布函數(shù)，并畫(huà)出分布函數(shù)的圖形。解：X表示從中任取3個(gè)，其中新的乒乓球的個(gè)數(shù)；則X的可能取值為0.1，2。6某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中率為0.9，如果他命中目標(biāo)就停止射擊

11、，不命中就一直射擊到用完5發(fā)子彈，求所用子彈數(shù)X的分布律。解： 即7 一批零件有9件合格品與3件廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一件，若每次取出的廢品不再放回，求在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)X的分布律。解：8從1到10中任取一個(gè)數(shù)字，若取到數(shù)字i,i=1,2,10的概率與i成正比，即解：由歸一性：9 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為=1的泊松分布，試求滿(mǎn)足條件的自然數(shù)N.解：10 某公路一天內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從泊松分布，且一天內(nèi)發(fā)生一次交通事故與發(fā)生兩次交通事故的概率相等，求一周內(nèi)沒(méi)有發(fā)生交通事故的概率。發(fā)生交通事故X服從參數(shù)為的泊松分布，且一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)記為Y則Y服從二項(xiàng)分布，故

12、一周內(nèi)沒(méi)有發(fā)生交通事故的概率為11 一臺(tái)儀器在10000工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生10次故障，試求在100作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率。，（每個(gè)工作時(shí)內(nèi)發(fā)生故障的概率）X：100作時(shí)內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，12設(shè)X現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于3的概率。 Y表示對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀察，觀察值大于3的次數(shù)，則Y，13 設(shè)某種傳染病進(jìn)入一羊群，已知此種傳染病的發(fā)病率為求在50頭已感染的羊群中發(fā)病頭數(shù)的分布律。14設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，Y表示對(duì)X的三次重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則 15已知X的概率密度為試求（1）未知系數(shù)a,(2)X的分布函數(shù)F(x);(3)X落在區(qū)間內(nèi)取值的概率。解：（1） （2

13、）16 設(shè)隨機(jī)變量X在1，6內(nèi)服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解：方程有實(shí)根，等價(jià)于：方程有實(shí)根的概率為17 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），求解：由37頁(yè)例3知服從正態(tài)分布，又已知 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），故a=1,b=-1.18已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且X落入?yún)^(qū)間（1，2）內(nèi)的概率達(dá)到大，求X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則19設(shè)隨機(jī)變量 XN(1,4);求解：由35頁(yè)（5）式有：20 設(shè)電源電壓（單位：V）X服從，在三種情況下電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001，0.2，求：（1）該電子元件損壞的概率解：由35頁(yè)（5）式有：(2) 該電子元件損壞

14、時(shí),電壓在200至240的概率。21隨機(jī)變量X的分布律為： X-2-1013求的分布律。Y的所有可能取值為0，1，4，9，由概率的可加性，有：41019 X-2-1013得的分布律為014922 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.7的01分布，求的分布律。解：參數(shù)為0.7的01分布。23 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為內(nèi)的概率密度函數(shù)解：對(duì)任意的Y.，所以：24設(shè)隨機(jī)變量X服從U0,2,求隨機(jī)變量在0，4內(nèi)的概率密度函數(shù)解：當(dāng)時(shí)：，所以：25 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)解：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：所以：補(bǔ)充：設(shè)X的概率密度，（2）求的概率密度， 故的概率密度(2)因則，當(dāng)時(shí)，習(xí)題三1.離散隨機(jī)變量相

15、互獨(dú)立同分布，求的概率. . 即使兩個(gè)離散隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布, 一般不會(huì)以概率1相等.2設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布如下表： XY01200.060.150.091b0.350.21求b,(2)隨機(jī)變量X,Y是否相互獨(dú)立？（3）求解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的邊緣分布如下表： XY012PY=j00.060.150.090.310.140.350.210.7PX=i0.20.50.31故X,Y相互獨(dú)立；（3）補(bǔ)充題：設(shè)和是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且求的概率分布., （2）由已知易得 3 設(shè)令求X,Y的聯(lián)合概率分布。解：由4設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布如下表： XY12PY=j102P

16、X=i1（1）求X,Y的邊緣分布律。解：見(jiàn)上表。（2）求Y=1的條件下X的條件分布律及X=2的條件下Y的條件分布律。 略。5.在一只箱子中有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣，我們定義隨機(jī)變量, 如下： 試分別就（1）、（2）兩種情況，寫(xiě)出和的聯(lián)合分布律并問(wèn)隨機(jī)變量和是否相互獨(dú)立？ （1）放回時(shí)，（2）不放回抽樣， 放回抽樣時(shí)，兩次抽樣相互獨(dú)立；不放回抽樣，不相互獨(dú)立6.隨機(jī)變量在矩形域上服從均勻分布，求二維聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.隨機(jī)變量及是否獨(dú)立？解 按題意具有聯(lián)合概率密度, ,及是獨(dú)立的.事實(shí)上,若服從區(qū)域上的均勻分

17、布，則只有當(dāng)為矩形區(qū)域：時(shí)，與分別服從上的均勻分布，且與獨(dú)立，反之亦然.7 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為=.求：（1）的概率密度；（2）邊緣概率密度.（3）隨機(jī)變量與是否獨(dú)立？解 由分布函數(shù)的性質(zhì)有=0=1從而對(duì)任意的；有，于是，有， 獨(dú)立。8 進(jìn)行打靶試驗(yàn)，設(shè)彈著點(diǎn)A(X,Y)的坐標(biāo)X與Y相互獨(dú)立，且都服從。N(0,1)分布，規(guī)定點(diǎn)A落在區(qū)域得2分，點(diǎn)A落在區(qū)域得1分，點(diǎn)A落在區(qū)域得0分，以Z記打靶的得分，寫(xiě)出X,Y的聯(lián)合概率密度，并求Z的分布律。解：9 設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度函數(shù)為（1）求常數(shù)A,(2)X,Y的邊緣概率密度。（3）解：（1）由得（2）（3）10 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概

18、率密度函數(shù)為：（1）求c,(2)問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立？解：（畫(huà)圖）當(dāng)時(shí)，故（2）獨(dú)立。11 平面區(qū)域D由曲線(xiàn)及直線(xiàn)y=0,x=1,所圍成，二維隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均勻分布，求（X,Y）關(guān)于X的邊緣密度在x=2處的值。解：12略13設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，均服從同一分布，試證：證：故14.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布，都在區(qū)間1,3上服從均勻分布，記事件.且求常數(shù)15（1）和是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且求的概率分布., （2）求2X的分布。注意：由已知易得 16 設(shè)(X,Y)的概率分布如下表： Y X-YX X+Y-2-10-1 -3 1 -2 0 -1 -1 0 30求1)X+Y的概率

19、分布，（2）X-Y的概率分布。解：略。17 設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X Y證明Z=X+Y X證明： 18略19 設(shè)隨機(jī)變量N(1,2);N(0,3),N(2,1),且相互獨(dú)立，求解：由62頁(yè)N(21+30-2,42+93+11)即N(0,36),故由34頁(yè)有20.某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為，設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求兩周需要量的概率密度. 表第周的需求量，各相互獨(dú)立。設(shè)兩周的需求量為，則要而故故21 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：（1）X與Y是否相互獨(dú)立，（2）求Z=X+Y的概率密度。解：（1）（2）22.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命(以小時(shí)計(jì))近似地服從分布

20、，隨機(jī)的選取4只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180小時(shí)的概率. 設(shè)為選取的第只電子管的壽命，則令則，而 因此23 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求解：的聯(lián)合密度為習(xí) 題 四補(bǔ)充;設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立，在0.6上服從均勻分布，服從，服從參數(shù)為的泊松分布，記，則1 設(shè)服從如下表的概率分布：X-1012概率求解：2 設(shè)的概率密度為求解：3 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其概率率密度分別為：求E(XY).解： 4 驗(yàn)證是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，但具有這概率密度的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在。證明：（1）（2）而；所以。5一工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命(以年計(jì))服從指數(shù)分布，概率密度為工廠(chǎng)規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年

21、之內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠(chǎng)售出一臺(tái)設(shè)備獲毛利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠(chǎng)方需化費(fèi)300元.試求廠(chǎng)方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望. 售出設(shè)備一年內(nèi)調(diào)換，表示調(diào)換費(fèi)用。則：=（元）6某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)直徑在期間上服從均勻分布，試求圓盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望。解 直徑X記圓盤(pán)面積S,則7設(shè)的分布律如下表: 123-10.20.10.00.300.10.00.30.410.10.10.10.30.40.20.41（1）求，（2）設(shè)，求（3）設(shè)求（1）的邊緣分布見(jiàn)上表，故：（2）（3）8是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且求的數(shù)學(xué)期望。解：記則：，故9 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：10 設(shè)系統(tǒng)由元件并聯(lián)而成，分別表示的壽命（

22、以h記）并設(shè)相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度函數(shù)為求系統(tǒng)的壽命的數(shù)學(xué)期望。解：分布函數(shù)為，由63頁(yè)11 一批零件有9件合格品與3件廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一件，若每次取出的廢品不再放回，求在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)的期望與方差。解：12隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布律為其中是常數(shù).求 = = 其中“”表示對(duì)的形式導(dǎo)數(shù).，13設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，且求14設(shè)為隨機(jī)變量，c是常數(shù)，若（由于時(shí)取到最小值。證明：因?yàn)樗裕骸?5設(shè)隨機(jī)變量服從瑞利分布，其概率密度為其中是常數(shù).求 ， 16設(shè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量服從（0，4）上的均勻分布，并且相互獨(dú)立，求，解：由已知及75頁(yè)4 7

23、6頁(yè) 7有；又相互獨(dú)立，再由73頁(yè)知：17 5家商店聯(lián)營(yíng)，它們每?jī)芍苁鄢龅霓r(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以記）分別為相互獨(dú)立，（1）求5家商店兩周的總銷(xiāo)售量的均值和方差。（2）商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了使新的供貨到達(dá)前商店不會(huì)脫銷(xiāo)的概率大于0.99，問(wèn)商店的倉(cāng)庫(kù)應(yīng)至少儲(chǔ)存多少千克該產(chǎn)品？解：（1）記（2）18 設(shè)隨機(jī)變量服從某一期間上的均勻分布，且（1）求的概率密度。（2）求；（3）求解：（1）故 （2）（3）19 重復(fù)擲一均勻硬幣次，記為正面出現(xiàn)的次數(shù)，Y為反面出現(xiàn)的次數(shù)，求的相關(guān)系數(shù)。解20設(shè)兩隨機(jī)變量的方差分別為25和16，相關(guān)系數(shù)為0.4，求解：由77頁(yè)：21 設(shè)是試驗(yàn)的兩個(gè)隨機(jī)事件，且定義隨機(jī)變量如

24、下：證明：若必定是相互獨(dú)立的。解：22設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為求：解：故23 在圓心在原點(diǎn)的單位圓周上任取一點(diǎn)，記為該圓心角，為該點(diǎn)的坐標(biāo)，證明： 不相關(guān)，但不相互獨(dú)立。24設(shè)隨機(jī)變量上的均勻分布，求相關(guān)系數(shù) 答案：025設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，試求的相關(guān)系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）。解：因?yàn)橥硪颡?dú)立，故同理故： 26 對(duì)于隨機(jī)變量存在，證明（Cauchy-Schwarz）不等式：證明：對(duì)任意的有故即。27已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞平均數(shù)是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。解：由83頁(yè)知： 28 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的

25、壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布?，F(xiàn)隨機(jī)的取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總合大于1920小時(shí)的概率。解：75頁(yè)5：70頁(yè)3：由87頁(yè)定理6：記,則29對(duì)敵人的防御陣地進(jìn)行100次轟炸,每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)隨機(jī)變量,其數(shù)學(xué)期望是2,方差是1.69,求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.第次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為,則獨(dú)立同分布,且,命中的總次數(shù),(近似),30 一部件包括10部分，每部份的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望是2，均方差是0.05，規(guī)定總長(zhǎng)度為時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解：由87頁(yè)定理631

26、設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，若，用中心極限定理求的近似值。解：32設(shè)保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)一年有萬(wàn)人參加，每人每年交元，若老人死亡，公司付給家屬元，設(shè)老人年死亡率為，試求保險(xiǎn)公司在這次保險(xiǎn)中虧本的概率 設(shè)老人死亡數(shù)為，公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)即，于是，虧本的概率：33 （1）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，必須至少有85個(gè)部件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率。 （2）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件的可靠性為0.90，且必須至少有80以上的部件正常工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常工作。問(wèn)至少多

27、大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。解：(1)由88頁(yè)定理7 X表示損壞數(shù)，則Xb(100,0.1)(2)同理：X表示損壞數(shù)，則Xb(n,0.1),N為0.2n取整?？傻弥辽贋?5。34 隨機(jī)的選取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量某種化合物的值，每個(gè)人測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為5，方差為0.3，以分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均（1）求（2）求解：（1）由87頁(yè)定理6（2）35某種電子器件的壽命（小時(shí)）具有數(shù)學(xué)期望(未知），方差.為了估計(jì)，隨機(jī)地取只這種器件，在時(shí)刻投入測(cè)試（設(shè)測(cè)試是相互獨(dú)立的）直到失敗，測(cè)得其壽命為作為的估計(jì).為了使問(wèn)至少

28、為多少？ 習(xí)題五1 設(shè)從總體抽樣得到一個(gè)大小為10的樣本，其值為： 4.5， 2.0， 1.0， 1.5， 3.4，4.5， 6.6， 5.0，3.5， 4.0。分別計(jì)算樣本均值 解：2 設(shè)總體服從正態(tài)分布,為使樣本均值大于70的概率不少于90，其樣本容量至少應(yīng)取多少？解：由104頁(yè)（3.3）因?yàn)?，從?3 設(shè)總體均未知，已知樣本容量,樣本均值解： 由104頁(yè)定理4，4在正態(tài)總體中抽取2個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別為，又樣本容量分別為10，15，則注：獨(dú)立。，5在正態(tài)總體中抽取個(gè)獨(dú)立樣本，（1）已知（2）解：（1）由99頁(yè)定理1有，故：（2），故6設(shè)為泊松分布的一個(gè)樣本，為樣本均值和樣本方差，求（

29、1）的分布律。（2）解：7總體是來(lái)自總體X的樣本，（1）求的聯(lián)合概率密度。（2）求的概率密度。（1）（2）8設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，求下列統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布：（1）解（1） （2）補(bǔ)充：設(shè)是來(lái)自總體的樣本，求變量樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差。解：由于是來(lái)自總體的樣本，故，3設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的泊松分布總體的一個(gè)樣本，試求的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)，解：先求極大似然估計(jì)：;，令再求矩估計(jì)：，令 習(xí)題六1 隨機(jī)地取8只活塞環(huán)，測(cè)得它們的直徑為（以計(jì)）：試求總體均值均值及方差的矩估計(jì)，解：由P 令故;2設(shè)總體的概率分布為是來(lái)自總體個(gè)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量。解：3設(shè)總體的概率密度為是來(lái)自總體個(gè)樣本，是樣本值，求參數(shù)

30、的矩估計(jì)量及矩估計(jì)值。解：為的矩估計(jì)令為最大似然估計(jì)4是來(lái)自正態(tài)總體N(,1)的樣本,求的最大似然估計(jì)。解：5設(shè)總體的概率分布為，；是來(lái)自總體個(gè)樣本，求參數(shù)p的極大似然估計(jì).解：令為最大似然估計(jì)補(bǔ)充：設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的泊松分布總體的一個(gè)樣本，試求的和矩估計(jì)，解：先求極大似然估計(jì)：;，令再求矩估計(jì)：，令6設(shè)總體服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即lnX是樣本值，求的極大似然估計(jì)。解：略7設(shè)總體的概率密度，其中未知參數(shù)為.，設(shè)為其樣本值，試求的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)，解：矩估計(jì)，令極大似然估計(jì)，8設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的指數(shù)分布的總體的概率密度，：（1）的矩估計(jì)，（2）的極大似然估計(jì)。解：矩估計(jì)，令極大似然估計(jì)：，9 設(shè)總體

31、服從二項(xiàng)分布，其分布律為：是來(lái)自總體個(gè)樣本，求(1)參數(shù)p的矩估計(jì)量。(2)p的極大似然估計(jì)。解：（1）令（2）令為最大似然估計(jì)10設(shè)總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3。求的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)，解：矩估計(jì)：令，又（抽樣時(shí)，出現(xiàn)一次，出現(xiàn)兩次，出現(xiàn)一次，出現(xiàn)四次，）11設(shè)是來(lái)自總體的樣本，指出中那幾個(gè)為總體均值均值的無(wú)偏估計(jì)，判斷上述無(wú)偏估計(jì)中那一個(gè)較為有效？解：（1）均為的無(wú)偏估計(jì)，（2）最有效。12設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，試確定常數(shù)，使為的無(wú)偏估計(jì)。解; (獨(dú)立同分布于) ; 13設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，設(shè)是來(lái)自總體Y的一個(gè)樣本，兩樣

32、本獨(dú)立，未知。求的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。解：令得的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)證明：是的無(wú)偏估計(jì)。證明： 而有114頁(yè)2：14 設(shè)的兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)，且的2倍，試找出常數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，并在所有這些估計(jì)中方差最小。解：由已知有15 設(shè)總體,現(xiàn)從總體取得容量為4的樣本值：1.2， 3.4， 0.6， 5.6，（1）若已知，求的置信水平為99的置信期間。解：由117頁(yè)（3.3）因?yàn)?，故的置信水平?-=0.99（=0.01）的置信期間為（即（2）若已知未知，求的置信水平為95的置信期間。解：由117頁(yè)（3.5）因?yàn)?，故的置信水平?-=0.95（=0.05）的置信期間為（即16 某自動(dòng)包裝機(jī)包裝洗衣粉，其重量服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽查12袋測(cè)得其重量（單位：g）分別為：1001， 1004， 1003， 1000， 997， 999， 1004， 1000， 996， 1002， 998， 999。（1）求的置