利率期限結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)

1、利率期限結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)第1頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一主要內(nèi)容隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論無套利定價(jià)理論風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論是最一般、最廣泛適用的理論，無套利定價(jià)理論和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論均可以由隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論推導(dǎo)出來。 第2頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論基礎(chǔ)：基于消費(fèi)的跨期資本資產(chǎn)定價(jià)模型（ ICAPM)。Merton（1973）。Campbell（2000）通過隨機(jī)貼現(xiàn)因子對資產(chǎn)定價(jià)問題進(jìn)行了分析和回顧。Cochrane（2000）將所有的資產(chǎn)定價(jià)問題納入到隨機(jī)貼現(xiàn)因子的一般框架之中，建立了一個(gè)比較完整的隨機(jī)貼現(xiàn)因子理

2、論體系。第3頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子的定義1.1 如果一個(gè)貼現(xiàn)因子，能夠滿足：或者用條件期望的形式：則我們稱m或mt+1為隨機(jī)貼現(xiàn)因子 第4頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子的提出提出的基本原則：基于消費(fèi)的效用最大化基于消費(fèi)的資產(chǎn)定價(jià)模型認(rèn)為，代表性投資者的效用來自于消費(fèi)，其目標(biāo)是終生效用最大化。為了實(shí)現(xiàn)其目標(biāo)函數(shù)，投資者必須將財(cái)富在消費(fèi)和投資之間進(jìn)行分配。消費(fèi)是為了滿足現(xiàn)在的效用，而投資則是為了滿足未來效用的需要。 目標(biāo)函數(shù)：約束條件：第5頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一貼現(xiàn)因子情形1

3、：時(shí)間可分目標(biāo)函數(shù)：最優(yōu)化方法：動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming)的Bellman方程。結(jié)論：第6頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一情形2：時(shí)間不可分結(jié)論：第7頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一情形3：考慮消費(fèi)者習(xí)慣消費(fèi)者的消費(fèi)有一個(gè)習(xí)慣水平，消費(fèi)者的效用來自于現(xiàn)實(shí)消費(fèi)同消費(fèi)習(xí)慣的差距，即 結(jié)論：第8頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一小結(jié)因此，從一般意義上分析，無論采取什么形式的效用函數(shù)，我們都可以找到相應(yīng)的隨機(jī)貼現(xiàn)因子對資產(chǎn)定價(jià)，只不過在隨機(jī)貼現(xiàn)因子的具體形式上有所差異。因此，隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論的核心部分就

4、是尋找隨機(jī)貼現(xiàn)因子。 第9頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子的表達(dá)方式收益率：超額收益率：股票：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)：歐式看漲期權(quán)：第10頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定理1.1利率期限結(jié)構(gòu)代表了隨機(jī)貼現(xiàn)因子的條件期望。 第11頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子和一價(jià)定律定義1.2. 如果未來收益相同的資產(chǎn)具有相同的價(jià)格，則我們稱一價(jià)定律成立。定理1.2. 一價(jià)定律等價(jià)于資產(chǎn)組合的價(jià)格是資產(chǎn)價(jià)格的線性組合。定理1.3. 如果存在一個(gè)隨機(jī)貼現(xiàn)因子，則一價(jià)定律成立。定理1.4. 如果一價(jià)定律成立，則市場上存在

5、一個(gè)隨機(jī)貼現(xiàn)因子能夠?qū)Y產(chǎn)定價(jià)。第12頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一隨機(jī)貼現(xiàn)因子和其他定價(jià)模型從隨機(jī)貼現(xiàn)因子也可以十分簡單地推出貝塔定價(jià)模型。 從隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論中，還可以十分容易地推導(dǎo)出均值方差有限前沿理論。 CAPM理論、APT模型等，都可以在上述分析的基礎(chǔ)上通過進(jìn)一步演化得到。因此，總的來說，隨機(jī)貼現(xiàn)因子理論為資產(chǎn)定價(jià)提供了一個(gè)最一般、最通用的分析框架。 第13頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一貝塔定價(jià)模型和因素定價(jià)模型貝塔定價(jià)模型和因素定價(jià)模型在表達(dá)式上幾乎相同，因此眾多研究將二者等同起來，用因素定價(jià)模型來替代貝塔定價(jià)模型（如Kan

6、and Zhou(1999)），現(xiàn)實(shí)中也都用因素模型來對貝塔模型進(jìn)行估計(jì)。但是二者之間具有本質(zhì)上的區(qū)別。 第14頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一區(qū)別假設(shè)：單因素，市場收益率。在貝塔模型下，在因素模型下，所使用的估計(jì)方法也有很大的差異。第15頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一區(qū)別（2）對于一個(gè)收益率時(shí)間序列，貝塔模型將所有的誤差都體現(xiàn)在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格中，使得風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格變得相對不穩(wěn)定；而因素模型則將誤差同時(shí)分給風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格，因此風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格就顯得相對比較穩(wěn)定。總的來說，因素模型是聯(lián)合求解，而貝塔模型則是單獨(dú)求解。 第16頁，共35頁，2022年，5月20

7、日，13點(diǎn)50分，星期一因素的非系統(tǒng)變化對隨機(jī)貼現(xiàn)因子的質(zhì)疑主要是認(rèn)為它可能無法準(zhǔn)確判別真正的風(fēng)險(xiǎn)因素，因?yàn)榭赡芡瑫r(shí)存在著幾個(gè)變量滿足隨機(jī)貼現(xiàn)因子等式。 變化1：變化2：第17頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一非系統(tǒng)性變化的影響無論在何種條件下，影響因素的非系統(tǒng)性改變會改變相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格和風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，但是不會改變對風(fēng)險(xiǎn)溢酬的估計(jì)。非系統(tǒng)性改變實(shí)際上是在不改變風(fēng)險(xiǎn)溢酬的條件下對風(fēng)險(xiǎn)溢酬的兩個(gè)組成部分，即風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格和風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)進(jìn)行重新分配。 第18頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一2 無套利定價(jià)理論無套利定價(jià)理論建立在一個(gè)理論假設(shè)前提之上：市場上存在著大量

8、的套利者（arbitrager）不斷地在尋求市場上所有可能的套利機(jī)會，并不斷地利用這個(gè)套利機(jī)會賺取超過無風(fēng)險(xiǎn)的超額利潤，也就是說，所獲得的無風(fēng)險(xiǎn)利潤超過市場上的無風(fēng)險(xiǎn)利率。 大量的套利行為就會使得不同的資產(chǎn)價(jià)格之間可能存在的套利機(jī)會迅速消失。 第19頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一一些基本假設(shè)市場上不存在交易成本，即不存在交易頭寸的限制、稅收以及交易手續(xù)費(fèi)等。這個(gè)假設(shè)可以放寬至考慮市場交易成本，并不改變無套利定價(jià)的基本結(jié)論。市場上存在一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其價(jià)格水平為 B(t)。市場上有N個(gè)資產(chǎn)，在時(shí)刻t的價(jià)格為：市場上存在M個(gè)不確定性，即在時(shí)刻t+1的市場可能狀態(tài)有M個(gè)，

9、其條件真實(shí)概率分布用 第20頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一基本假設(shè)（2）風(fēng)險(xiǎn)證券在時(shí)刻t+1的回報(bào)為：為保證市場的完全性， ，也就是說，市場上任意回報(bào)特征的資產(chǎn)都可以通過現(xiàn)有的證券進(jìn)行復(fù)制。 第21頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一幾個(gè)定義2.1 如果一個(gè)組合在時(shí)刻t+1的可能回報(bào)可以表示為 則我們稱組合 為市場上所有資產(chǎn)的一個(gè)線性擴(kuò)展（linear spanning）。 2.2 如果一個(gè)證券能夠被市場上的其余資產(chǎn)線性擴(kuò)展，則我們稱該證券是冗余證券（redundant security）。第22頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50

10、分，星期一定義(2)2.3如果市場上所有具有以下兩個(gè)特征的組合 ：（1）（2）至少有一個(gè)其在時(shí)刻t的價(jià)格為正數(shù)，則我們稱市場是無套利的。 該定義的經(jīng)濟(jì)含義就是所有具有正回報(bào)的資產(chǎn)組合，其價(jià)格必須為正。 第23頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定理2.1在無套利的市場條件下，如果兩個(gè)組合在時(shí)刻t+1的回報(bào)完全相同，則他們在時(shí)刻的價(jià)格必須相等。經(jīng)濟(jì)含義是市場無套利意味著市場上的一價(jià)定律（law of one price）成立。反之則不一定成立。衍生產(chǎn)品定價(jià)的一個(gè)基本思路是，用現(xiàn)有資產(chǎn)去復(fù)制衍生產(chǎn)品未來的回報(bào)特征。如果能夠找到一個(gè)現(xiàn)有資產(chǎn)的一個(gè)組合，該組合的未來回報(bào)和衍生產(chǎn)品

11、完全一致。則可以用該組合的價(jià)格來對衍生產(chǎn)品定價(jià)。 第24頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定理2.2在一個(gè)無套利的市場上，存在一個(gè)正的隨機(jī)貼現(xiàn)因子能夠?qū)Y產(chǎn)定價(jià)。推論2.1.在真實(shí)概率下，任意一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合滿足： 第25頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定理2.3 在一個(gè)無套利的市場上，存在另一個(gè)概率分布能夠滿足： 也就是說，只要通過對概率的重新調(diào)整，所有資產(chǎn)經(jīng)過概率調(diào)整后的預(yù)期收益率全部變?yōu)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率。這就是我們在下面要詳細(xì)分析的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 第26頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定義2.4如果一個(gè)時(shí)間序列滿足

12、：則我們稱時(shí)間序列為一個(gè)鞅過程。 鞅過程指的是根據(jù)目前所得的信息對未來某個(gè)資產(chǎn)價(jià)格的最好預(yù)期就是資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格。 推論2.2. 在新的概率分布條件下，所有資產(chǎn)價(jià)格經(jīng)過無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)之后，為一個(gè)鞅過程。定義2.5 新的概率分布成為風(fēng)險(xiǎn)中性概率。 第27頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一3.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論是對衍生產(chǎn)品定價(jià)的一個(gè)最重要的理論，其主要優(yōu)勢就在于它規(guī)避了十分復(fù)雜而且尚無定論的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率的估計(jì)問題，而直接利用了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)世界的轉(zhuǎn)換，通過該轉(zhuǎn)換，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率全部變?yōu)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率這個(gè)十分簡單而且又能在市場上直接找到的變量。 在風(fēng)險(xiǎn)中性中的價(jià)格

13、可以適用于任何世界，當(dāng)然包括現(xiàn)實(shí)世界。它最主要的原理是相對定價(jià)理論，也就是無套利原理。隱含在這風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)之后更深層次的原理是如果市場是無套利的，市場上存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格對所有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都適用。因此經(jīng)過這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格將風(fēng)險(xiǎn)扣除掉之后，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率全部為無風(fēng)險(xiǎn)利率，現(xiàn)實(shí)世界變?yōu)轱L(fēng)險(xiǎn)中性世界。 第28頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的提出：BS模型定義3.1. 自融資交易策略是指除了初始投資（initial investment）之外，在投資過程中，不追加任何投資，也不從投資中轉(zhuǎn)移資本，只通過資產(chǎn)組合本身所含資產(chǎn)的等額買賣進(jìn)行資產(chǎn)組合的結(jié)構(gòu)調(diào)

14、整。在連續(xù)時(shí)間序列條件下，組合價(jià)值變動可以表示為： 第29頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定義3.2如果在任意時(shí)刻，衍生產(chǎn)品的價(jià)值都可以表示為一個(gè)自融資交易策略，則我們稱自融資交易策略為衍生產(chǎn)品的復(fù)制資產(chǎn)組合。 因此，根據(jù)無套利原則，衍生產(chǎn)品的當(dāng)前價(jià)格等于自融資交易策略組合的當(dāng)前價(jià)值。利用自融資交易策略和復(fù)制資產(chǎn)組合，我們就可以對衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。 第30頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一BS偏微分方程從BS偏微分方程中可以看出，標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率不在方程當(dāng)中，也就是說，我們不需要對標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率進(jìn)行估計(jì)，可以用任意數(shù)值代替，因?yàn)樗粫?/p>

15、對定價(jià)結(jié)果產(chǎn)生任何的影響。一個(gè)最簡潔、最方便的方法就是直接假設(shè)預(yù)期收益率為無風(fēng)險(xiǎn)利率。 第31頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的理論依據(jù)假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從一個(gè)漂移過程：定理3.1. 在一定條件下，經(jīng)過一定的概率測度變換，為在另一個(gè)概率下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動 第32頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)因此，經(jīng)過這個(gè)等價(jià)鞅測度轉(zhuǎn)換之后，資產(chǎn)的預(yù)期收益率變?yōu)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率，所有的風(fēng)險(xiǎn)溢酬都變?yōu)?，這就類似于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)世界。 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，資產(chǎn)價(jià)格經(jīng)過無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)之后是一個(gè)鞅過程。它是將無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作為參照物。當(dāng)然，我們可以找到另外一個(gè)等價(jià)鞅測度，使得在那個(gè)鞅測度下，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率都為某個(gè)值。即，該推論可以推廣至一般情形。 第33頁，共35頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)50分，星期一定理3.2定理3.2：如果風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)成立，則存在一個(gè)唯一的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。 推論3.2.如果相對