2022年考研數(shù)學(xué)(一)試題分析詳解

1、 PAGE 22022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題分析詳解2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD2022 年數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評注一、填空題（此題共6 小題，每題 4 分，滿分 24 分. 把答案填在題中橫線上）11x2曲線y的斜漸近線方程為y x . 242x 1【分析】此題屬基此題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.f(x)x21lim2 ， 【詳解】因為a=lim xx2x xx2b lim f(x) axlim xx1，x2(2x 1)4于是所求斜漸近線方程為y 11x . 24【評注】如何求垂直漸近線、程度漸近線和斜漸近線，是基本要求，學(xué)海無涯，書山有路應(yīng)

2、純熟掌握。這里應(yīng)注意兩點：1）當存在程度漸近線時，不需要再求斜漸近線；2） 假設(shè)當x時，極限a lim x f(x)不存在，那么應(yīng)進一步討論x或x的情形，即在右或左側(cè)是否存x在斜漸近線。完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.192【例 7.32】微分方程xy2y xlnx 滿足y(1) 111的解為y xlnx x. 939【分析】直接套用一階線性微分方程yP(x)y Q(x)的通解公式： P(x)dxP(x)dxy e Q(x)e dx C，再由初始條件確定任意常數(shù)即可. 【詳解】 原方程等價為y于是通解為y e學(xué)海無涯，書山有路 PAGE 9=2y lnx， x xdx2 lnx e x

3、dx2dx C 12xlnxdx C 2 x 111xlnx x C2， 39x111由 y(1)得C=0，故所求解為y xlnx x. 939【評注】 此題雖屬基此題型，但在用相關(guān)公式時應(yīng)注意先化為標準型. 另外，此題也可如下求解：原方程可化為xy2xy xlnx，即xyxlnx，兩邊積分得22222022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD13132xlnxdx xlnx x C，39 11再代入初始條件即可得所求解為y xlnx x. 39xy 2完全類似公式見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.154 x2y2z211,1,1，那么（3）設(shè)函數(shù) u(x,y,z) 1 ，單位向

4、量n 61218 un= (1,2,3)3. 3【分析】 函數(shù) u(x,y,z)沿單位向量 n cos ,cos ,cos 的方向?qū)?shù)為：u u u u coscoscosn x y z 因此，此題直接用上述公式即可.【詳解】因為ux uy uz， ，于是所求方向?qū)?shù)為， x3 y6 z9u n(1,2,3)=111111. 33333【評注】 此題假設(shè) n=m,n,l非單位向量，那么應(yīng)先將其單位化， 從而得方向余弦為：cosmm n l 222,cosnm n l 222,cos lm n l 222.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.330【例 12.30】設(shè) 是由錐面zx2 y2

5、與半球面z R2 x2 y2 圍成的空間區(qū)域， 是的整個邊界的外側(cè)，那么xdydz ydzdx zdxdy 2 (123)R. 2【分析】此題 是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】xdydz ydzdxzdxdy3dxdydz式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】由題設(shè)，有B ( 123, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3)=3.111=( 1, 2, 3)123，149R11于是有B A 223 1 2 2.49d4sin dd2 (1【評注】 此題相當于矩陣B 的列向量組可由矩陣A 的列向量組線性表示，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形

6、式表示。一般地，假設(shè)223)R. 21 a111 a122a1n n，2 a21 1 a22 2a2n n，2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD【評注】 此題屬基此題型，不論是用球面坐標還是用柱面坐標進行m am11 am22amn n，計算，均應(yīng)特別注意計算的準確性，主要考查基本的計算能力.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.325【例 12.22】設(shè) 1, 2, 3 均為 3 維列向量，記矩陣A ( 1, 2, 3)，B ( 123, 1 2 2 4 3, 1 3 2 9 3) ，假如A 1，那么B .【分析】 將B 寫成用A 右乘另一矩陣的形式，再用方陣相

7、乘的行列a11 am1, 2, , n12a1na21 am1 a22 am2.a2n amn那么有12完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.356【例 1.5】從數(shù) 1,2,3,4 中任取一個數(shù)，記為 X, 再從 1,2, ,X 中任取一個數(shù)，記為 Y, 那么內(nèi)）設(shè)函數(shù)f(x) lim x n3n，那么f(x)在(,)內(nèi)PY 2=13(A)(C)處處可導(dǎo).(B)恰有一個不可導(dǎo)點.恰有兩個不可導(dǎo)點 .(D)至少有三個不可導(dǎo)點 . 482022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD【分析】 此題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完

8、備事件組或樣本空間的劃分.【 詳 解 】PY2=PX1PY2X1+PX2PY2X2+PX 3PY 2X 3+PX 4PY 2X 4= 111113(0) . 423448【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率， 這類題型一直都是考查的重點.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.492【例 1.32】二、選擇題（此題共8 小題，每題 4 分，滿分 32 分. 每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號C 【分析】先求出f(x)的表達式，再討論其可導(dǎo)情形. 【詳解】當 x 1 時，f(x) lim xn 3n1；當 x 1 時，f(x) lim

9、 1 1； n當 x 1 時，f(x) limx( n31x 3nx.1n3x3,x1,f(x)，2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD即 f(x)1, 1 x 1,可見f(x)僅在 x= 1 時不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).xx3,x 1.【評注】 此題綜合考查了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個知識點. 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.56【例 2.20】&M N&表示（8）設(shè) F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，“M 的充分必要條件是 N”，那么必有(A) F(x)是偶函數(shù) f(x)是奇函數(shù).（B）F(x)是奇函數(shù) f(x) 是偶函數(shù).F(x)是周期函數(shù) f(x)是周期

10、函數(shù).也即 f( x)f(x)，可見 f(x)為奇函數(shù)；反過來，假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，那么數(shù)，從而F(x)f(t)dt 為偶函xf(t)dt C 為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項.F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).12A【分析】 此題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為F(x) xf(t)dt C，且F (x) f(x).當 F(x)為偶函數(shù)時，有 F( x) F(x)，于是 F ( x) ( 1) F (x)，即f( x)x, 排除(D); 2方法二：令 f(x)=1, 那么取F(x)=x+1, 排除(B)、(C);令f(x)=x, 那

11、么取F(x)=故應(yīng)選(A).【評注】 函數(shù) f(x)與其原函數(shù) F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過. 請讀者考慮f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.10【例 1.51.7】（9）設(shè)函數(shù)u(x,y)(x y)(x y)2ux y(x y)(x y)(x y)(x y)，x y(t)dt, 其中函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，那么必有x y 2u(x y)(x y)(x y)(x y)， 22u 2u2u2u (A)2.（B）22.2y 2u 2u 可見有 2 ，應(yīng)選(B).2x y xyx y2u 2u 2u2u(C).(D).B

12、【評注】 此題綜合考查了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和隱函數(shù)求偏導(dǎo)以及高階x y x2 xy y2偏導(dǎo)的計算。作為做題技巧，也可取 (t) t, (t) 1，那么 u(x,y) 2x 2y2u 2u 2u2y，容易驗算只有【分析】先分別求出 2、2、，再比較答案即可.2x x y y2【詳解】因為2u2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD(xuy)(xy)(xy)(xy)，x2u 2u2 成立，同樣可找到正確選項(B). 2 x y(x2uy)(xy)(xy)(xy)，y完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.267【例 10.16】及習(xí)題十（第 11 題）(x y)(x y)(x

13、 y)(x y)， 于是2x（10）設(shè)有三元方程xy zlny exz 1，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).A( 12)線性無關(guān)的充分必要條件是(A)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和 z=z(x,y).1 0.(B)2 0.(C)1 0.(D)2 0.B可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和 y=y(x,z).秩即可. 【詳解】 方法一：令k1 1 k

14、2A( 12) 0，那么D【分析】 此題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=xy zlny exz 1, 分別求出三個偏導(dǎo)數(shù) Fz,Fx,Fy，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為 0，那么可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】令F(x,y,z)=xy zlny exz 1, 那么 Fx y exzz， Fy xz，F(xiàn)zlny exzx， y且Fx (0,1,1) 2，F(xiàn)y (0,1,1)1，F(xiàn)z (0,1,1) 0. 由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù) x=x(y,z)和 y=y(x,z). 故應(yīng)選(D).【評注】隱函數(shù)存在定理是首次直接考查，有部分考生感到較陌生. 實際上此題也可從隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式著

15、手分析：假設(shè)偏導(dǎo)表達式有意義， 相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)也就存在.定理公式見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.270設(shè) 1, 2 是矩陣A 的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為 1, 2，那么 1，k1 1 k2 1 1 k2 2 2 0，(k1 k2 1) 1 k2 2 2 0. 由于 1, 2 線性無關(guān)，于是有k1 k2 1 0,k2 2 0.2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD當 2 0 時，顯然有 k1 0,k2 0，此時 1，A( 12)線性無關(guān)；反過來，假設(shè) 1，A( 12)線性無關(guān)，那么必然有 2 0(,否那么， 1 與A( 1= 1 1 線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).1

16、1方法二： 由于 1,A( 12) 1, 1 12 2 1, 2，0 2可見 1，A( 12)線性無關(guān)的充要條件是1 10 22 0.故應(yīng)選(B).【評注】 此題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.407【例 3.17】設(shè) A 為 n（n 2）階可逆矩陣，交換A 的第 1 行與第 2 行得矩陣B, A*,B*分別為A,B 的伴隨矩陣，那么(A) 交換A 的第 1 列與第 2 列得B.(B) 交換A 的第 1 行與第 2 行得B.(C)交換 A 的第 1 列與第 2 列得 B.(D) 交換 A 的第 1 行與第 2AA* A*A AE，當

17、A 可逆時，A* AA 1, (AB)* B*A*.完全類似例題及性質(zhì)見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.381【例 2.14， 例 2.29】）設(shè)二維隨機變量 (X,Y) 的概率分布為0100.4a1b0.1已知隨機事件X 0與X Y 1互相獨立，那么(A)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1行得B.2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCDC 【分析】 此題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進行分析即可.【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣E12（交換 n 階單位矩陣的第 1 行與第 2 行所得），使*得E12A

18、 B，于是B (E12A) AE12 AE12 E12 1*A*E12，即AE12B,可見應(yīng)選(C).【評注】 注意伴隨矩陣的運算性質(zhì)：*(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4B 【分析】 首先所有概率求和為 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b 的取值.【詳解】 由題設(shè)，知a+b=0.5又事件X 0與X Y 1互相獨立，于是有PX 0,X Y 1 PX 0PX Y 1， 即a=(0.4 a)(a b),由此可解得a=0.4, b=0.1, 故應(yīng)選(B).【評注】 此題考查二維隨機變量分布律的性質(zhì)和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的

19、基本內(nèi)容.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.528【習(xí)題二，1.（9）】 S（14）設(shè)X1,X2, ,Xn(n 2)為來自總體 N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本方差，那么學(xué)海無涯，書山有路 PAGE 10(A)nN(0,1)(B)nS2 (1), X(n1)，且X(1)與Xi22(n1)互相獨222(n).2i(n1)X12(n1)t(n1)(D)n(C)F(1,n1).2D S21Xi22i 2i 2【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和 分布、t 分布及F 分布的i 2定義進行討論即可.X12【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，立，于是210XnN(0,1)，可排除(

20、A);ni 2(n 1)S2 0n22n(n 1)S (n 1)，不能又 t(n 1)，可排除(C); 而12Sn(n 1)X12斷定(B)是正確選項.2i因為 XX21i 2nnnF(1,n 1). 故應(yīng)選(D).學(xué)海無涯，書山有路12i【評注】 正態(tài)總體XN( , )的三個抽樣分布： 2N(0,1)、n2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD (n 1)S2 2(n 1)是?？贾R點，應(yīng)當牢記. t(n 1)、2 n完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.575【習(xí)題五，2.(3)】分即可.【詳解】令D1 (x,y)0 22D2 (x,y)1 x y 222,x 0

21、,y 0.那么22xy1 x ydxdy=xydxdy 2 D1D2x y 1,xxydxdy0,y 0，D三 、解答題（此題共9 小題，滿分 94 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） （15）（此題滿分 11 分） 設(shè)D (x,y)x y 大整數(shù).計算二重積分=222sincos drdr2 sin cosdr3dr2,x0,y 0，1x2 y2表示不超過 1x2y2 的最2220 xy1 x ydxdy.D1【分析】 首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部1學(xué)海無涯，書山有路 PAGE 163137. 848【評注】 對于二重積分（或三重積分）的計算問題，當被積函數(shù)

22、為分段函數(shù)時應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域積分. 而實際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)， 如取絕對值函數(shù) f(x,y) 、取極值函數(shù)maxf(x,y,g(x,y)以及取整函數(shù)f(x,y等等.完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.295【例 11.1819】（16）（此題滿分 12 分） 求冪級數(shù)( 1)n 1(1n 11)x2n 的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).對收斂，當x 1 時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）1( 1n )記S(x) 2 n 12n(n2,1)x, x (，1 1)2n( 1)n 12n 1那么S (x)x,x ( 1,1)， n 12n 1n(2

23、n 1)【分析】 先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐2022年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD項求導(dǎo)得到.【詳解】因為lim (n 1)(2n 1) 1n(2n 1)1，所以當x2 1 時，原級數(shù)絕n(n 1)(2n 1)n(2n 1) 1S(x)( 1)n 1x2n 2 n 11,x ( 1,1). 21 x)由于S(0所以S (x), (0S0 )xS(t)dt 1dt arctanx, 01 t2x S(x)xx1S(t)dtarctantdt xarctanx ln(1 x2).02又( 1)n 1n 1 x2x ,x ( 1,1), 21 x 2

24、n x2從而f(x) 2S(x)21 x x22xarctanx ln(1 x) ,x ( 1,1).1 x22【評注】 此題求收斂區(qū)間是基此題型，應(yīng)注意收斂區(qū)間一般只開區(qū)間. 而冪級數(shù)求和xnn 1盡量將其轉(zhuǎn)化為形如 或 nx 冪級數(shù)，再通過逐項求導(dǎo)或逐項積分求出其和函數(shù).n 1n 1n完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）P.225【例 8.26】（17）（此題滿分 11 分）如圖，曲線 C 的方程為 y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線 l1 與 l2 分別是曲線 C 在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分3(x2 x

25、)f(x)dx.【分析】 題設(shè)圖形相當于已知 f(x)在 x=0 的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3 處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, f (0) 2; f(3)=2, f (3)2,f(3)0. 由分部積分，知3(x2 x)f(x)dx(x2 x)df(x) (x2 x)f(x) 330f(x)(2x 1)dx3= 3(2x 1)df (x)(2x 1)f (x) 302 f (x)dx3=16 2f(3) f(0) 20.【評注】 此題 f(x) 在兩個端點的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值通過幾何圖形給出，題型比較新穎，2022 年考研數(shù)學(xué)(一)試題及答案解析資源來自電驢VeryCD綜合