必修五基本不等式教案

1、4根本不等式第1課時(shí)授課類型：新授課【教學(xué)目的】.學(xué)問及技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并駕馭根本不等式，理解這個(gè)根本不等式的幾何意義，并駕馭定 理中的不等號(hào)“2”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 2.過程及方法：通過實(shí)例探究抽象根本不等式；.情態(tài)及價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，進(jìn)步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探究不等式的證明過程；【教學(xué)難點(diǎn)】根本不等式等號(hào)成立條件【教學(xué)過程】.課題導(dǎo)入根本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是依據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué) 家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱忱好客。

2、你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？老師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。.講授新課.探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角 形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為4+尸。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的 和是2ab,正方形的面積為由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們 就得到了一個(gè)不等式：a2+b22ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼二b時(shí)，正方形EFGII縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 a2 +b2 = 2ab 。.得到結(jié)論：一般的，假如。)尺那么/+/72 22a優(yōu)當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取=”號(hào)).思索證明：你

3、能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)?a1 +b2 - 2ab = (a-b)2當(dāng)a w 弼 (a-5)2 0,當(dāng)a =胡寸,(a-Z?)2 =0,所以，(a 匕尸。，+b2)2ab. 1)從幾何圖形的面積關(guān)系相識(shí)根本不等式特殊的，假如a0,b0,我們用分別代替a、b ,可得a + bN2M通常我們把上式寫作：2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)根本不等式 用分析法證明：要證 只要證a+b _(1)(2)要證（2）,只要證a+b-_0(3)要證（3）,明顯，（4）只要證（-是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）-）2中的等號(hào)成立。(4)3）理解根本不等式的幾何意義探究：課本第110頁的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，

4、點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a, BC=bo過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE, 連接AI）、BDo你能利用這個(gè)圖形得出根本不等式的幾何說明嗎？易證 Rt叢ACD Rt叢DCB,那么。4= C4 CB 即 CD= 4ab .這個(gè)圓的半徑為，明顯，它大于或等于切，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。及圓心重合，即a=6時(shí), 等號(hào)成立.因此：根本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評(píng)述：1.假如把看作是正數(shù)a b的等差中項(xiàng)，而看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為小。的算術(shù)平均數(shù)，稱疝為a、6的幾何平均數(shù),本節(jié)定理還可表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于

5、它們的幾何平均數(shù).補(bǔ)充例題，2；（2） （x+y） （/+/） 分析：在運(yùn)用定理：時(shí), 成立的條件），進(jìn)展變形.，2；（2） （x+y） （/+/） 分析：在運(yùn)用定理：時(shí), 成立的條件），進(jìn)展變形.解：x, y都是正數(shù)例1x、y都是正數(shù)，求證：（y+y ）8 x y.留意條件以6均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)（把握好每條性質(zhì)A 0,yA 0,y0, /0, y0, 70, y0 x(1)=2即22.00：.(x+y) (/+y)(/+/)（/+/）求證即（x+y） （/+y）3.隨堂練習(xí)1 .a、b、。都是正數(shù),(d+ 6) (6+ c) (c+ a) 2 8 abc分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：

6、0, 60)敏捷變形，可求得結(jié)果. 解：& b,。都是正數(shù)b+c22疝0(h+6) (6+。) (c+a) 22 2ybc 2 yac = 8 abc即(a+b) (b+c) (c+a)8 abc.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式才+922助；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)(),幾何平 均數(shù)(而)及它們的關(guān)系(2而).它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù), 而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的根本工具,又是求函數(shù)最值的重要工具(下 一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來解決問題：abW, abO 2.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)課本第113頁習(xí)題A組的第1題課題：3.4根本不

7、等式第2課時(shí)授課類型：新授課【教學(xué)目的】.學(xué)問及技能：進(jìn)一步駕馭根本不等式；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；可以解決一 些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題.過程及方法：通過兩個(gè)例題的探討，進(jìn)一步駕馭根本不等式，并會(huì)用此定理求某些函數(shù) 的最大、最小值。3,情態(tài)及價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問的愛好，開展創(chuàng)新精神，培育實(shí)事求是、理 論及實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)看法和科學(xué)道德?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】根本不等式的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】利用根本不等式求最大值、最小值?！窘虒W(xué)過程】L課題導(dǎo)入.重要不等式：假如G R那么/ +/72 2(當(dāng)且僅當(dāng)Q = 時(shí)取1號(hào)).根本不等式：假如a,b是正數(shù)，那么巴a2 G(當(dāng)且僅當(dāng)。=陰寸取號(hào)).2.我們稱的

8、算術(shù)平均數(shù)，稱J茄為。力的幾何平均數(shù).，2 +b2 2 24b和3士2石成立的條件是不同的：前者只要求a, b都是實(shí)數(shù)，而后者2要求a, b都是正數(shù)。2.講授新課例1 (1)用籬笆圍成一個(gè)面積為lOOn?的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)， 所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？(2)段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少 時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少解：(1)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,那么xy=100,籬笆的長(zhǎng)為2 (x+y) mo由， 可得 x+ y 2 2/100 , 2(x + j/) 40 o等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10.

9、 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.(2)解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x m,那么長(zhǎng)為(36 2x) m,其中0VxL,其 2面積 S=x(362x) = 9 2x (36 2%)22當(dāng)且僅當(dāng)2x=362,即x=9時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)9m,寬為9 m時(shí)菜園面積最 大為81 m2解法二：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m,寬為y m，那么2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m2 0由,可得 240000 + 720 x 2x-= 240000 + 720 x 2 x 40 = 297600當(dāng)X =圖2，即X = 40時(shí)，/有最小值297600Q因此

10、，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40nl的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600 元評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)留意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立, 又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)留意不等式性質(zhì)的適用條件。歸納：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)展：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.3.隨堂練習(xí)Q 1.xWO,當(dāng)x取什么值時(shí)，的值最小最小值是多少 x.課本第113頁的練習(xí)1、2、3、4.課時(shí)

11、小結(jié)本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)及幾何平均數(shù)的關(guān)系順當(dāng)解決了函數(shù)的一些最值 問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在詳細(xì)求解時(shí)，應(yīng)留意考 察以下三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng) 的和或積必需有一個(gè)為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，獲得最值.即用均 值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)課本第113頁習(xí)題A組的第2、4題課題：3. 4根本不等式第3課時(shí)授課類型：習(xí)題課【教學(xué)目的】.學(xué)問及技能：進(jìn)一步駕馭根本不等式；會(huì)用此不等式證明不等式，會(huì)應(yīng)用此不等式求某些 函數(shù)的最值,可以解

12、決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題；.過程及方法：通過例題的探討，進(jìn)一步駕馭根本不等式，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最 大、最小值。.情態(tài)及價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問的愛好，開展創(chuàng)新精神，培育實(shí)事求是、理 論及實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)看法和科學(xué)道德?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】駕馭根本不等式，會(huì)用此不等式證明不等式，會(huì)用此不等式求某些函數(shù)的最值【教學(xué)難點(diǎn)】利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值。【教學(xué)過程】1.課題導(dǎo)入.根本不等式：假如a, b是正數(shù)，那么幺心 之 旅（當(dāng)且僅當(dāng)二人時(shí)取一號(hào)）.2.用根本不等式求最大（?。┲档牟襟E。.講授新課1）利用根本不等式證明不等式例1m0,求證。24思維切入因?yàn)閙0,所以可把一和6根分別看作根本不

13、等式中的a和b,干脆利用根本不 m等式。證明因?yàn)閙0,由根本不等式得24（24/F 6m 2x x 6m = 2424x6 = 2x 12 = 24mv m24當(dāng)且僅當(dāng)一二6加，即m=2時(shí) 取等號(hào)。m規(guī)律技巧總結(jié) 留意：m0這一前提條件和二144為定值的前提條件。.隨堂練習(xí)1思維拓展1a, b, c, d都是正數(shù)，求證（ab + cd）（c + bd） 2 4必.思維拓展2求證（/ +）（/ +屋）/7d廣例2求證:.思維切入由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,干脆運(yùn)用根本不等式,無法約掉字母 TOC o 1-5 h z 4a,而左邊 + = + （-3） + 3.這樣變形后,在用根本不等式即可得證.CL 3Q 3證明+ 3 = + （ 3） + 3 2 2（。3）+3 = 2 + 3 = 76/ - 3 3V。 34當(dāng)且僅當(dāng)二a-3即a=5時(shí)，等號(hào)成立.CL 3規(guī)律技巧總結(jié) 通過加減項(xiàng)的方法配湊成根本不等式的形式.2）利用不等式求最值例3 （1）假設(shè)x0,求的最小值;(2)假設(shè)x0,求的最大值.思維切入此題(l)xO和二36兩個(gè)前提條件；中x0由根本不等式得 小)= +m2小+色2衣=12,當(dāng)且僅當(dāng)即、=|