大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件-第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律及中心極限定理5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理1本章要解決的問題 大數(shù)定律中心極限定理21. 為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的概率的估計(jì)？2. 為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？3. 為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？4. 大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率5.1 大數(shù)定律背景：1. 頻率穩(wěn)定性2. 大量測(cè)量結(jié)果算術(shù)平均值的穩(wěn)定性 3隨機(jī)現(xiàn)象的主要研究方法概率分布數(shù)字特征研究的問題：隨機(jī)事件的概率切比雪夫不等式切比雪夫 (1821-1894)4回顧定理證明

2、切比雪夫不等式5切比雪夫不等式12可以在分布未知、只知道期望和方差的情況下，得到3方差的意義6例切比雪夫不等式對(duì)事件概率的估計(jì)效果不錯(cuò).解注切比雪夫不等式的應(yīng)用7例1 一臺(tái)設(shè)備由10個(gè)獨(dú)立工作的元件組成，每一元件在時(shí)間T發(fā)生故障的概率為0.05設(shè)在時(shí)間T發(fā)生故障的元件數(shù)為X. 試用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望的偏差：(1)小于2；(2)不小于2的概率由切比雪夫不等式，得89例2 設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種所占比例與1/6比較上下小于1%的概率.解：設(shè)X表示6000粒種子中的良種數(shù)，則由切比雪夫不等式，10例3 設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的

3、概率為0.75，試用切比雪夫不等式估計(jì)，n多大時(shí)，才能在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率在0.74 0.76之間的概率大于0.90？解：設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則性質(zhì)：11依概率收斂分析切比雪夫大數(shù)定律12則可用切比雪夫不等式證切比雪夫大數(shù)定律13由切比雪夫不等式注：辛欽大數(shù)定理不要求隨機(jī)變量的方差存在. 它為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.即14 即15注：伯努利大數(shù)定律的意義1. 伯努利大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.2. 伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率

4、1617許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響某城市一小時(shí)內(nèi)的耗電量是大量用戶耗電量之和.物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是許多可加的微小誤差之和.關(guān)注實(shí)際背景185.2 中心極限定理注中心極限定理獨(dú)立同分布19近似n充分大近似n充分大20恒等變形應(yīng)用林德伯格-萊維定理例1 一盒同型號(hào)螺絲釘共100個(gè)，已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，期望值是100g，標(biāo)準(zhǔn)差是10g，求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率. 由中心極限定理21棣莫弗拉普拉斯中心極限定理近似 n充分大近似 n充分大二項(xiàng)分布的正態(tài)近似22根據(jù)中心極限定理：近似 n充分大23恒等變形應(yīng)用棣莫弗-拉普拉斯定理例2 某車間有200臺(tái)車床獨(dú)立工作，設(shè)每臺(tái)

5、車床的開工率為0.6，開工時(shí)耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？至少供電142千瓦，才能保證車間以不小于99.9%的概率正常工作. 由中心極限定理，2425例3 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi). 在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率大于等于0.9，賠償金至多可設(shè)為多少？26由中心極限定理(2) 設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理，上式等價(jià)于2728例4 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量. 設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、有1名家長、2名家長的概率分別為0.05、0.8、0.15. 若學(xué)校共有400名學(xué)生，各學(xué)生參加會(huì)議的家長人數(shù)相互獨(dú)立，且