回歸直線方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線的回歸方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、課題引入引言：我們知道，通過散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間是否具有“正相關(guān)”或“負(fù) 相關(guān)”，但這只是一個(gè)定性的判斷，更多的時(shí)候，我們需要的是定量的刻畫.問題1:下列兩個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？理由呢? 是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？圖！圖2設(shè)計(jì)意圖：回顧上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生的思想、知識(shí)和心理能較快地進(jìn)入本節(jié) 課課堂學(xué)習(xí)的狀態(tài).師生活動(dòng)：學(xué)生回答，圖1沒有線性相關(guān)關(guān)系，圖2有線性相關(guān)關(guān)系，因?yàn)閳D1 中的所有點(diǎn)都落在某一直線的附近.通過問題，使學(xué)生回憶前 2節(jié)課核心概念： 線性相關(guān)關(guān)系、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)等，為后續(xù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).二、本節(jié)課的新知識(shí)問題2:通過上一節(jié)課的學(xué)

2、習(xí)，我們認(rèn)為以“偏差”最小的直線作為回歸直 線比較恰當(dāng)，那你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的偏差最小” 嗎？設(shè)計(jì)意圖：幾何問題代數(shù)化，為下一步探究作好準(zhǔn)備，經(jīng)歷“幾何直觀”轉(zhuǎn)化為 “代數(shù)表達(dá)”過程，為引出“最小二乘法”作準(zhǔn)備.師生活動(dòng)：先展示上一節(jié)課的討論結(jié)果：學(xué)生提出的如下四種可能性：圖 3(1) 表示每一點(diǎn)到直線的垂直距離之和最短，圖 3(2)表示每一點(diǎn)到直線的“偏差” 之和最短，圖3(3)表示經(jīng)過點(diǎn)最多的直線，圖3(4)表示上下點(diǎn)的個(gè)數(shù)“大概” 一樣多的直線.通過上一節(jié)課的分析，我們認(rèn)為選擇偏差之和最短比較恰當(dāng)， 即 圖 3 (2).圖3設(shè)回歸直線方程為/二尿一口，(Xi,

3、yi)表示第i個(gè)樣本點(diǎn)，將樣本數(shù)據(jù)記 為凡珀，0,(4片),學(xué)生思考，教師啟發(fā)學(xué)生比較下列幾個(gè)用于評(píng)價(jià)的模 型：模型h 0=5-兇)+5-m)+t(x-居人教師指出模型1中(乃一片)、(無一房)、(居-工)可能有正有負(fù),互相抵消息么辦？學(xué)生一般 會(huì)想到加絕對(duì)值.模型禽-苗田乃一為1*葉1居-尸J教師指出模型中I巧-工|、Ig-三|北-工1去絕對(duì)值非常困難f可以提問，讓學(xué)生思考其 是否有耳他方法，同時(shí)可候比方差的處理方法，引導(dǎo)學(xué)生思考，模型3： Q=bi一姐一爐十%一訥一4+一+8一區(qū)一爐.師生一起分析后，得出用模型3來制定標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)一條直線是否為“最好”的直線較為方便.Q= (yi bxi a)

4、 2+ (y2 bx2a)， + (ynbxn a) 2=(V1 工-加問題3:通過對(duì)問題2的分析，我們知道了用 Q=m最小來表示偏差最小，那么在這個(gè)式子中，當(dāng)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)(Xi, yi)確定時(shí)，a,b等于多 少，Q能取到最小值呢？設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)最小二乘法思想，不經(jīng)歷公式化簡(jiǎn)無法真正理解其意義， 而直接 從n個(gè)點(diǎn)的公式化簡(jiǎn)，教學(xué)要求、教學(xué)時(shí)間、學(xué)生能力都沒達(dá)到這個(gè)高度.因而 由具體到抽象，由特殊到一般，將是學(xué)生順利完成這一認(rèn)知過程的一般性原則.通 過這個(gè)問題，讓學(xué)生了解這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時(shí)滲透最 小值的思想師生活動(dòng)：偏差最小從本質(zhì)上來說是空產(chǎn)1勿+ 1必-文什”力最小，

5、為了處理方便，我們采用n個(gè)偏差的平方和Q= (yi bxi a) 2+ (y2bx2a) 2+ (yn-bxn-a) 2表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度：記Q=/(向?qū)W生說明式 的意義).通過化簡(jiǎn)，得到的其實(shí)是關(guān)于a、b的二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b,使Q取到最小值.(1)在此基礎(chǔ)上，視0為b的二次函數(shù)時(shí)，可求出使 Q為最小值時(shí)的小的值 的線性回歸方程系數(shù)公式：Z5-乃-用 工1必一內(nèi)元y&二 土二=三,&-丁t才-疝i-1iU(2)教師指出，(無加稱為樣本點(diǎn)的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心，所以可得s = b元上述方法求回歸直線的方法，是使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它

6、的距離的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以這種使距離平方最小的方法，叫做最小二乘法.問題4:這個(gè)公式不要求記憶，但要會(huì)運(yùn)用這個(gè)公式進(jìn)行運(yùn)算，那么，要求4夕 的值，你會(huì)按怎樣的順序求呢？設(shè)計(jì)意圖：公式不要求推導(dǎo)，又不要求記憶，學(xué)生對(duì)這個(gè)公式缺少感性的認(rèn)識(shí)，通過這個(gè)問題，使學(xué)生從感性的層次上對(duì)公式有所了解.師生活動(dòng)：由于這個(gè)公式比較復(fù)雜，因此在運(yùn)用這個(gè)公式求 次/時(shí)，必須要有條理，先求什么，再求什么，比如，我們可以按照 際再、n、彳、于、2仇、1-JnZx：順序來求，再代入公式.我們一般可以列如下表格進(jìn)行分布計(jì)算：i12q56 %工1工3%凝1 1 乃71黝力乂汽 %汽工由工必”,迎居其他由以上

7、數(shù)據(jù)可以求出工、了、口、工田、二芯 Zi三、知識(shí)深化：?jiǎn)栴}5:你能根據(jù)表一所提供的樣本數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程嗎?表一：人體的脂肪百分比和年齡年齡233945505457脂肪9, 521, 227. 528. 23Q. 2以335. 2設(shè)計(jì)意圖：公式形式化程度高、表達(dá)復(fù)雜，通過分解計(jì)算，可加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)的 理解.同時(shí)，通過例題，反映數(shù)據(jù)處理的繁雜性，體現(xiàn)計(jì)算器處理的優(yōu)越性._- 貓師生活動(dòng)：步驟一，可讓學(xué)生觀察公式，充分討論，通過計(jì)算：n、匯、，、仁五個(gè)數(shù)據(jù)帶入回歸方程公式得到線性回歸方程，體會(huì)求線性回歸方程的原理與方 法.*112-34567A23394550545760X蟒21.22752&

8、工30.230.8.35.2-西M218.5 =826.31237.5；1410-163081755 62112 其他升二 4686 y = 26.09 口=7 二五3=9191.2=16340由此可以得到回歸直線方程為：P二。8工11-4 5639步驟二，教師分析求線性回歸方程的基本步驟，然后帶領(lǐng)學(xué)生用卡西歐FX-991 ES 計(jì)算器求出線性回歸方程并畫出回歸直線，教師可協(xié)同學(xué)生，對(duì)計(jì)算器操作方式提供示范，師生共同完成.尸=Q 654l#-45659圖4問題6:利用計(jì)算器，根據(jù)以下表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立解決求出表中兩 變量的回歸方程：年齡23273941454g505多5456575S61

9、脂肪n.3275 2?3 2后29.63(1231.430.83335.234 6設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生獨(dú)立體驗(yàn)運(yùn)用計(jì)算器求回歸直線方程，在重復(fù)求解回歸直線的過程中，使學(xué)生掌握用計(jì)算器求回歸直線的操作方法。年齡2335455957前脂肪氏52L 227. 528. 230. 230. 835. 2回歸直線為：=0.6541x-4.5659年蛤27414953565861脂肪17. 825, 9筑325. 631. 433. 534. 6回歸直線為：523273941454950535455575S6061鼠肪9.517.821.225 927 326 32S230.231.430 S33 535 2

10、34 fi回歸直線為：；=0.5765X - 0.4478問題7:同樣問題背景，為什么回歸直線不止一條？回歸方程求出后，變量間的相關(guān)關(guān)系是否就轉(zhuǎn)變成確定關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：明確樣本的選擇影響回歸直線方程，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的隨機(jī)思想.同時(shí)，明 確其揭示的是相關(guān)關(guān)系而非函數(shù)的確定關(guān)系，而且最小二乘法只是某一標(biāo)準(zhǔn)下的 一種數(shù)據(jù)處理方法，使學(xué)生更全面的理解回歸直線這一核心概念.案例：賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的關(guān)系下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表 （用計(jì)算器直接求 回歸直線）：氣溫re261S131U4一 1杯數(shù)2024385064（1）求回歸方程；（2）按照回歸方程，計(jì)算溫度為10度時(shí)銷售杯數(shù).

11、為 什么與表中不同？如果某天的氣溫是一5c時(shí)，預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù).讓學(xué)生完整經(jīng)歷求回歸直線的過程.其中第 2問，讓學(xué)生體會(huì)到即使是相比 下“最優(yōu)”的所獲得的回歸直線，也存在著一定的誤差，從中體會(huì)無論方法的優(yōu) 劣，統(tǒng)計(jì)學(xué)中隨機(jī)性無法避免.而在預(yù)測(cè)值的計(jì)算中，體現(xiàn)了回歸直線的應(yīng)用價(jià) 化通過對(duì)案例的分析，說明事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關(guān)系：.數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機(jī)性，同樣23歲的人，脂肪含量可能9.5%,也有 可能30%這種誤差我們稱之為隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差是不可避免的.回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系中的某種確定性，雖然一個(gè)數(shù)據(jù) 具有隨機(jī)誤差，但總體還是具有某種確定的關(guān)系.在數(shù)據(jù)采

12、樣都符合統(tǒng)計(jì)要求的情況下，取三個(gè)回歸直線方程中的任意一 個(gè)都是合理的，不存在哪條最合適的問題，但一般情況下，選擇數(shù)據(jù)多一些的比 較合理.四、小結(jié)：?jiǎn)栴}8:請(qǐng)同學(xué)們回顧一下我們?cè)鯓忧蟪龌貧w直線方程？事件、樣本數(shù)據(jù)與回歸直線三者之間有怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng)：(1)直接運(yùn)用公式第一步.計(jì)暮平均數(shù)H第二步，求和為1黑N5-幻5力天島-就了第三步.計(jì)鼬二J二三二歹-近二加-4 J-11-1第四步,寫出回歸方程下三加4口(2)借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)(使用方法見學(xué)案)5、回憶我的母親 朱德教學(xué)目標(biāo)：1、體會(huì)夾敘夾議、敘議結(jié)合的手法對(duì)突出文章主題的作用。2、學(xué)習(xí)通過具體事例表現(xiàn)人物性格的手法。3、通過討論體會(huì)本文質(zhì)

13、樸的語言，理解作者對(duì)母親深深的敬意。教學(xué)時(shí)間：2課時(shí)教學(xué)過程：課前自學(xué)：一、讀注釋，記課后字詞積累。補(bǔ)充：勞碌：事情多而辛苦。慰勉：安慰鼓勵(lì)。節(jié)衣縮食：省吃省穿，衣食節(jié)儉。二、完成語文實(shí)踐與探究 P20 （積累應(yīng)用）三、了解文常，記憶畫線部分。1、了解回憶錄： 本文是一篇回憶錄?；貞涗浭腔貞涀约夯蛘咚诉^去的 生活經(jīng)歷的文章。這類文章取材范圍廣泛?？梢詫憵v史事件、人物片斷， 也可以寫軍事、文化和日常生活；可以寫人為主，也可以記事為主?；貞?錄的寫法比較靈活。寫作這類文章，一般要求選材典型、敘事真實(shí)、感情2、作者介紹：朱德：偉大的馬克思主義者和無產(chǎn)階級(jí)革命家、軍事家， 中國人民軍隊(duì)和中華人民共和

14、國的卓越領(lǐng)導(dǎo)人。讀回憶我的母親，會(huì) 加深我們對(duì)這位杰出的共產(chǎn)主義戰(zhàn)士的崇敬和懷念。四、這篇課文的標(biāo)題原來為母親的回憶，后來文章發(fā)表時(shí)改為了回憶我的母親，你知道為什么嗎？五、預(yù)習(xí)課文，你有哪些疑問呢？第一課時(shí)一、 導(dǎo)入新課；誰都有自己的母親。母親的愛像高山，像海洋，像大地, 像陽光，母親的愛最崇高、最偉大、最無私、最寬廣。任何偉人也一樣， 也都有自己的母親。今天，我們學(xué)習(xí)朱德的回憶我的母親，看看是怎 樣的一位母親哺育了朱德總司令這樣一位時(shí)代的偉人。二、聽錄音或教師范讀，整體感知：1、本文是一片回憶錄，主要回憶了什么事情，表達(dá)了作者的什么感情？2、以“說說母親的好品德”為題，每人敘述一件事，說說這

15、件事表現(xiàn) 了 “母親”什么樣的品質(zhì)。二、課堂父流：1、母親一生值得敘述的事跡很多，本文是怎樣安排這些材料的？（文章按照時(shí)間順序選取八件最能表現(xiàn)普通勞動(dòng)?jì)D女的本質(zhì)特征的事情來寫。）2、課文可以分為幾部分？在文中標(biāo)出，并概括每部分的主要內(nèi)容。3、說說第一自然段在全文中的作用和意義。（這一段開門見山，總領(lǐng)全文，是全文的綱。其中：“得到母親去世的消息，我很悲痛”交代寫文章的緣由?！拔覑畚夷赣H”奠定了全文的感情基調(diào)?！八趧谝簧笔侨牡臄⑹戮€索?！昂芏嗍虑槭侵档梦矣肋h(yuǎn)回憶的”點(diǎn)明全文的中心，引起下文） 四、課堂拓展： 收集關(guān)于母愛的名言和詩文、歌詞、故事，準(zhǔn)備交流。 關(guān)于母愛的名言：世界上的一切光榮和

16、驕傲，都來自母親。（高爾基）母愛是一種巨大的火焰。（羅曼？羅蘭）世界上有一種最美麗的聲音，那便是母親的呼喚。（但丁）慈母的胳膊是慈愛構(gòu)成的，孩子睡在里面怎能不甜？（雨果）母愛是世間最偉大的力量。（米爾）人的嘴唇所能發(fā)出的最甜美的字眼，就是母 親，最美好的呼喚，就是“媽媽”。（紀(jì)伯倫）成功的時(shí)候，誰都是朋友。但只有母親她是失敗時(shí)的伴侶。（鄭振鐸）世界上一切其他都是假的，空的，唯有母親才是真的，永恒的，不滅的。（印度）母愛是多么強(qiáng)烈、自私、狂熱地占據(jù)我們整個(gè)心靈的感情（鄧肯）母愛是人類情緒中最美麗的，因?yàn)檫@種情緒沒有利祿之心摻雜其間（法國）女人固然是脆弱的，母親卻是堅(jiān)強(qiáng)的（法國）關(guān)于母愛的詩歌：孟

17、郊的游子吟、韓愈的誰氏子有關(guān)歌頌?zāi)赣H的歌詞：你入學(xué)的新書包，有人給你拿；你雨中的花折傘， 有人給你打；你愛吃的（那）三鮮餡，有人（她）給你包；你委屈的淚花， 有人給你擦啊，這個(gè)人就是娘，啊，這個(gè)人就是媽！這個(gè)人給了我生 命，給我一）關(guān)于母愛的故事：1、孟母三遷、岳母刺字。 2、三國演義中徐庶之母 不拖累兒子，讓兒子侍名主，凜然自盡五、作業(yè)設(shè)計(jì)：完成語文實(shí)踐與探究P20-21 （理解品味）第二課時(shí)導(dǎo)入新課。課堂小組交流：1、有感情地朗讀14-15節(jié)，思考：作者從哪三個(gè)方面抒寫了母親對(duì)自己的教育和影響？(一是“教給我與困難做斗爭(zhēng)的經(jīng)驗(yàn)”，二是“給我一個(gè)強(qiáng) TOC o 1-5 h z 健的身體，一個(gè)

18、勤勞的習(xí)慣”，三是“教給我生產(chǎn)的知識(shí)和革命的意志”。)2、誦讀16-17節(jié)，思考：作為全文的結(jié)尾，第16段表達(dá)了哪幾層意思？(有三層意思：一是悼念母親的離去，二是對(duì)母親的高度評(píng)價(jià)，三是決心盡忠革命事業(yè)。)3、文章飽含了作者對(duì)母親的哪些豐富感情？請(qǐng)帶著這些感情來齊讀14-17節(jié)。(有“愛”、“敬”、“哀”、“思念”、“懷念”、“歌頌”、“贊 揚(yáng)”、“感謝”等等。其中，“愛”是基本感情，是貫串全文的感情。作 者懷著對(duì)母親深深的愛，而哀思母親，敬重母親，歌頌?zāi)赣H，感謝母親， 唱出一支民對(duì)母親的深情贊歌。)賞析課文，歸納寫作特色：布局特點(diǎn)：在確定順序上，以時(shí)間為縱向順序，以母親的優(yōu)秀品質(zhì) 為橫向順序，

19、縱橫交叉，點(diǎn)面結(jié)合，既照顧全面，又突 出重點(diǎn)。在選擇材料上，全文緊扣開頭的中心句一一“我愛我的 母親，特別是她勤勞一生”選材和組材。在安排詳略上，回憶母親優(yōu)秀品質(zhì)部分寫得詳盡。分析母親優(yōu)秀品質(zhì)對(duì)我的深刻影響和我對(duì)母親的感恩、懷念、哀悼上寫得略。夾敘夾議，敘議結(jié)合，以議為主，結(jié)合 抒情。在前后照應(yīng)上，把回憶的內(nèi)容和我的感受和諧地統(tǒng)一成 整體，使全文中心突出，文氣貫通。在過渡銜接上，縱向順序敘述，用了表時(shí)間推移的詞語， 橫向順序上，則以表現(xiàn)母親各種優(yōu)秀品質(zhì)的提示語來連 接上下文。如“母親是個(gè)好勞動(dòng)”等。2、語言特點(diǎn)：課文以平實(shí)樸素的語言表現(xiàn)了母親勤勞樸實(shí)的特點(diǎn)。全文沒有華麗的 詞藻，沒有熱情洋溢的

20、抒情，但于平靜的敘說之中，字里行間流露出真摯 深沉的愛。因此，文中寓深意于平實(shí)、寄深情于質(zhì)樸的特點(diǎn)，值得我們認(rèn) 真品析。請(qǐng)同學(xué)們讀課文，對(duì)課文的語言進(jìn)行賞析， 每位同學(xué)準(zhǔn)備用寫(用) 得好，寫出了”的句式說一句話。對(duì)課文語言的品析大致分為三個(gè)層次：(1)品味作者在詞語中滲透的情感。如：“每天天還沒亮，母親就第一個(gè)起身”這一部分中，同學(xué)們可以 說：“任勞任怨”四個(gè)字已經(jīng)能夠很好地評(píng)價(jià)一個(gè)人的勤勞了，但作者還 在這之前加上一個(gè)“極”字，這就寫出了母親非同一般的勤勞；又如“沒 有同別人吵過架”已是夠高的評(píng)價(jià)了，但作者說母親“沒有同任何人吵過 架”，這就寫出了母親非同一般的好性格(2)品味作者在句式中

21、表達(dá)的情感。作者運(yùn)用不同的修辭手段，組合成不同的句式，在平實(shí)的語言中流露 出深深的情感。如“我應(yīng)該感謝母親”的反復(fù)傾吐，“母親那種勤勞儉樸 的習(xí)慣，母親那種寬厚仁慈的態(tài)度，至今還在我心中留有深刻的印象”的 反復(fù)詠嘆，“母親老了，但她永遠(yuǎn)想念著我，如同我永遠(yuǎn)想念著她一樣” 回環(huán)往復(fù)，都是意蘊(yùn)豐滿、情感深厚的。(3)品味作者在重要段落中抒發(fā)的濃重情感。如：課文開頭“得到母親去世的消息，我很悲痛。我愛我母親，特別 是她勤勞的一生，很多事情是值得我永遠(yuǎn)回憶的”這一段，有敘述，有議 論，有抒情；有富于力度的動(dòng)詞，有表示強(qiáng)調(diào)的虛詞，表達(dá)了作者極為濃 郁的情感。又如課文的最后一段，一抒哀痛之情，二議如母親一

22、樣的千百 萬勞動(dòng)人民的偉大，三表自己的決心，語言質(zhì)樸莊重，深沉之中涌動(dòng)著激 情，既抒寫了深摯的孝心，又表現(xiàn)了博大的胸懷。四、課堂小結(jié)：思考：課文是怎樣成功塑造母親的偉大形象的？課文有一槌定音的開頭，一線串珠的結(jié)構(gòu)，一筆宕開的結(jié)尾，一語關(guān) 情的抒情與議論。作為回憶錄，文章從兩大方面展示了母親的形象。一是對(duì)母親事跡的抒寫，寫了母親勤勞儉樸的習(xí)慣，寬厚仁慈的態(tài)度 和堅(jiān)強(qiáng)不屈的性格。作者在寫作中采取了情隨事明的記敘方法，在贊頌?zāi)?親的優(yōu)秀品質(zhì)的過程中始終寄寓著對(duì)母親的真摯感情。二是表達(dá)對(duì)母親的感謝之情，從母親“教給我與困難作斗爭(zhēng)的經(jīng)驗(yàn)” 和“教給我生產(chǎn)的知識(shí)和革命的意志”方面表達(dá)了對(duì)母親的由衷謝意，從

23、 而表現(xiàn)母親對(duì)自己的影響之大，恩情之深。作者在寫作中采用了寄情于事 的方法，以抒情、議論的筆觸來深深表達(dá)對(duì)母親的懷念。五、延伸拓展：讀導(dǎo)學(xué)案 美麗如初完成問題。美麗如初月色皎潔，一如閃亮的白綢，寧靜而安祥地彌漫。我握著母親的手站在 街口，等放晚學(xué)的弟弟歸家。并不冷，然而街靜人空，我等得焦急不耐， 母親卻等得耐心又耐心， 遙望著那條很寬很白的路， 母親說：直這樣等, 慣了?！蔽业男你と灰粍?dòng)，目光在母親單薄的身影里模糊了。我也曾讓母親這樣地等待過，并不是小的時(shí)候，女兒大了，反而更讓母 親牽掛。那些個(gè)月朗星稀的夜晚，和學(xué)友們一路高歌神侃地回家，一個(gè)人 轉(zhuǎn)進(jìn)僻靜的街口，卻望見母親的衣衫和著樹影飄動(dòng)，一樣的迷離，心忽地 跳快了，跑過去，卻只叫了一聲媽媽！ ”母親也不說什么，很欣慰地笑著，拍拍我的手，一起走回家去。而今我去了異地，只在假期里歸來，母親的身影卻依然準(zhǔn)時(shí)地站在街口 樹下，等待不久也要離家求學(xué)的弟弟。我忽然很羨慕母親，可以把那么深 沉的愛包容在靜靜的等