利用向量法求空間角經(jīng)典教案 2

1、利用空間向量求空間角目標(biāo)： 會(huì)用向量求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的方法；一、復(fù)習(xí)回憶向量的有關(guān)學(xué)問：（1）兩向量數(shù)量積的定義：a b | a | b | cos a , b（ 2）兩向量夾角公式：cos a , b a b| a | b |a 二、學(xué)問講解與典例分析學(xué)問點(diǎn) 1：兩直線所成的角（范疇： 0 , ）O 2 b （ 1）定義：過空間任意一點(diǎn) o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b ,那么直線 a與 b 所成的銳角或直角,叫做異面直線 a 與 b 所成的角 . （ 2）用向量法求異面直線所成角,設(shè)兩異面直線 a、b 的方向向量分別為 a 和 b ,a問題

2、1： 當(dāng) a 與 b 的夾角不大于 90 時(shí),異面直線 a、b 所成 O的角 與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a, b bb問題 2： a 與 b 的夾角大于 90 時(shí),異面直線 a、b 所成的角 aO與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a, b| m n |結(jié)論：異面直線 a、b 所成的角的余弦值為 cos | cos m , n | m | n |例 1 如圖,正三棱柱 ABC A 1C 1 的底面邊長(zhǎng)為 a ,側(cè)棱長(zhǎng)為 2 a,求 AC 和 CB 所成的角 . 解法步驟： 1.寫出異面直線的方向向量的坐標(biāo)；2.利用空間兩個(gè)向量的夾角公式求出夾角；解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,就A0 ,0

3、0,C13a ,1a,2a ,C3a ,1a,0 ,B 10 ,a,2a2222C 1AC13a,1a,2a,CB13a,1a ,2a22223x1A Z Cy 1B即cosAC1,CB 1|AC1|CB 1|3a21AC 和CB 所成的角為2ABa2AC 1CB132D總結(jié) :（ 1）cosDF 1,BE 1與cosDF 1,E 1B相等嗎？x （2）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)分？學(xué)問點(diǎn) 2、直線與平面所成的角（范疇：0 ,2）（圖 2）. 摸索：設(shè)平面的法向量為 n ,就n,BA與的關(guān)系？AnAABOBO（圖 1）BO2n,BAnn, BA2據(jù)圖分析可得：結(jié)論：sin|cosn

4、 ,AB|n.AB|n|AB|AA 1B 1B所成角的正弦值例 2、如圖, 正三棱柱ABCA 1C 1的底面邊長(zhǎng)為 a ,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,求AC 和面分析： 直線與平面所成的角步驟：1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個(gè)向量的夾角, 銳角 其余角為所求角解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,就AA100,2a,ABy,0,a,0 ,A Z C 1B 1y AC 13a,1a ,2a 設(shè)平面AA 1nx ,z B 1B的法向量為22由nAA 102 az0y0取x1,n ,1 ,0 0 xADCBnAB00ay0z設(shè)AA 1B所成角為x AC 和面sin|cosAC1,n|A

5、C 1|n|3 2a2|1|AC1N3a22AC和面AA 1B所成角的正弦值1 . 2學(xué)問點(diǎn) 3：二面角 （范疇：0 ,）方向向量法：將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面 的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角；如圖,設(shè)二面角l的大小為,其中ABl,AB,CDl,CD. B A 結(jié)論：coscosAB,CD|ABCD|l C D AB|CD法向量法1nl cosn1, n22n 1,n2|n 1, n 2|l n 1n2n 1, n 2n 1,n 2n 1,n2.n2|n結(jié)論：cosn 1.n2或coscosn 1n 1|n 2|n 1|n2歸納： 法向量的方向：一進(jìn)一出,二面角等于法向

6、量夾角；同進(jìn)同出,二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角. 例 3、如圖, ABCD 是始終角梯形,ABC90, SA面 ABCD ,SAABBC1,AD1 2,z求面 SCD 與面 SBA所成二面角的余弦值. S解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,就BCA00,0,C,1,10,D0 ,1,0 ,S0 ,0 1, xADy2易知面 SBA的法向量為n 1AD0,1,0 ,CD ,11,0 ,SD,01,1 2221 21, 設(shè)面 SCD 的法向量為n 2x ,y,z ,就有xy0,取z1,得x,1 y2,n21 ,2yz02cosn1,n2|n 1|n2|6即所求二面角的余弦值為6 . 3n1n23C

7、1的練習(xí)1： 如圖,正三棱柱ABC ABC 的全部棱長(zhǎng)都為2 , D 為CC 中點(diǎn)求二面角AA 1B余弦值；解：取B C 中點(diǎn) 1 1O ,以 O 為原點(diǎn), OB ,1 OO ,OA的方向?yàn)?x 1, ,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)z 平面AA1B的法向量為nx, ,zAB0,1 ,3 ,0B A C D F 1AC 1y AA 10 2 0, nAB ,nAA 1n.AA 12y0O n.ABx3 z 1令z1,得平面A AD 的一個(gè)法向量n30, 1,BC 10 B 1x 設(shè)平面A 1BC 1的法向量為v a ,b ,c BA 1,1 ,23,2 , ,2vBA 1,vBC 1n.BA

8、 1a2 b3 c0n.BC 12 a2 b0令a1,得平面A 1BC 1的一個(gè)法向量v,1,13 AA 1BC 1的余弦值為15；cosn,vn.v2315, 所求的二面角nv2555練習(xí) 2: 如圖 2,在底面是直角梯形的四棱錐SABCD 中, AD/BC , ABC=900,SA面 ABCD ,SA=1 ,2y AB=BC=1 , AD=1 ； 求側(cè)面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的余弦值；2解：以 A 為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,就S（0,0,1 ）, A 2D S z B （0, 0,0）, B（0,1,0）,C（1,1, 0）,D（1 ,0,0）,2SA 0,0,1,SB,0,11SD1,0,1,SC,1,11,A 22222明顯平面SBA 的一個(gè)法向量為n =1 ,0,0,x C 設(shè)平面 SCD 的一個(gè)法向量為n =x,y,z,就n 平面 SCD 圖 2 n2SD02xx2z00取z2,就n22,1 , 2yzn 2SC0就cosn 1,n 2|n 1|n2|122,n 1n 2133所以面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的余弦值為2