江蘇專2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題08由復(fù)雜遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式問題含解析

1、江蘇專版2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題08由復(fù)雜遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式問題含分析江蘇專版2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題08由復(fù)雜遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式問題含分析21/21江蘇專版2019屆高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題08由復(fù)雜遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式問題含分析問題由復(fù)雜遞推關(guān)系式求解數(shù)列的通項公式問題一、考情分析遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法,常出此刻客觀題壓軸題或解答題中，難度中等或中等以上.利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項時,平常將所給遞推關(guān)系式進行合適的變形整理,如累加、累乘、待定系數(shù)等,結(jié)構(gòu)或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,而后求通項.二、經(jīng)驗分享()已知，求的步驟當時

2、，；當時，；()對時的狀況進行檢驗，若合適的通項則能夠歸并；若不合適則寫成分段函數(shù)形式()已知數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：假如符號正負相間，則符號可用()或()來調(diào)理.分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系來解決.對于比較復(fù)雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其余方法來解決.此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、概括、轉(zhuǎn)變(轉(zhuǎn)化為等差、等比或其余特別數(shù)列)等方法來解決.()已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法當出現(xiàn)時，結(jié)構(gòu)等差數(shù)列；當出現(xiàn)時，結(jié)構(gòu)等比數(shù)列；當出現(xiàn)()時，用累加法求

3、解；當出現(xiàn)()時，用累乘法求解三、知識拓展若數(shù)列滿足，則數(shù)列都是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列滿足，則數(shù)列都是公比為的等比數(shù)列.四、題型分析(一)用累加法求數(shù)列的通項【例.】在數(shù)列中,則該數(shù)列的通項公式【分析】題目已知條件是【分析】因為,且）形式,用疊加原理求解.,所以運用累加法即可獲?。?所以,故應(yīng)填【評論】當,且）滿足必定條件時,可用來求通項,這類方法平常叫累加法.此題用到裂項相消求和,相消時應(yīng)注意消去的項規(guī)律,及消去哪些項,保存哪些項,于是前項的和變?yōu)槭孜踩舾缮倭宽椫?還有許多同學(xué)會出現(xiàn)的錯誤,認為或是常數(shù),實質(zhì)上或是個變量,變化隨之改變.【小試牛刀】數(shù)列滿足.()設(shè),證明是等差數(shù)列；()求

4、的通項公式【分析】()證明：由得,即.又.所以是首項為,公差為的等差數(shù)列()由()得(),即.于是()(),所以,即.又,所以的通項公式為.【評論】本例是典型的由數(shù)列的遞推公式求通項公式的問題第()問中要注意對數(shù)列的整體掌握第()問頂用的是累加法注意切忌忽視對的考證(二)利用累乘法求數(shù)列的通項【例】設(shè)是首項為的正項數(shù)列,且,則.【分析】觀察已知的遞推式,用十字交織法分解因式,可求得與的關(guān)系式,再用累乘法求解.【分析】,因為得各項為正,即,將以上各式相乘得,又,.【評論】形如型的遞推公式常用累乘法.當為常數(shù)且不等于時,數(shù)列為等比數(shù)列,；當為函數(shù)時,.此題可思慮為常數(shù)數(shù)列.【小試牛刀】數(shù)列中，前項

5、和為，()求數(shù)列的通項公式；()令，證明：.【分析】()，兩式相減得：，整理得：，（疊乘法）因為，所以，相乘得，且當、時，滿足此式，所以.()，因為，所以；.(三)用結(jié)構(gòu)法求數(shù)列的通項【例】【江蘇省泰州中學(xué)屆高三月月考】已知數(shù)列滿足：，（），則數(shù)列的通項公式為【分析】變形為,結(jié)構(gòu)新數(shù)列求解.【答案】【分析】由得：，變形得：，所以是認為公比的等比數(shù)列，所以，所以.【評論】數(shù)列是一種特別的函數(shù),經(jīng)過遞推公式寫出數(shù)列的前幾項再猜想數(shù)列的通項時,要考證通項的正確性.易出現(xiàn)的錯誤是只考慮了前項,就猜想出.用結(jié)構(gòu)法求數(shù)列的通項,要認真觀察遞推等式,選準要結(jié)構(gòu)的新數(shù)列的形式,再確立系數(shù).【小試牛刀】已知數(shù)列

6、滿足,則【答案】【分析】且,又,是首項為,公差為的等差數(shù)列,故應(yīng)填(四)利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項【例】【江蘇省南通市基地學(xué)校屆高三月聯(lián)考】已知數(shù)列的各項均不為，其前項和為若，（）求的值；（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足【分析】（）將代入從而可得數(shù)列，兩式作差可得及數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，可求得；（）由，從而推得均為等差數(shù)列，從而求得通項；可求得（）由與關(guān)系可得：，即，兩式作差可得：，從而推得，即，則證明結(jié)束.【分析】（）解得（）時，由則因為，所以所以得所以時，由，得，兩式相減得得即數(shù)列及數(shù)列由，得，可求得所以數(shù)列的通項公式為（）由，所以因為，所以所以兩式相減得所以兩式相減得所以因為，可

7、得所以，得，即都成公差為的等差數(shù)列所以數(shù)列是等差數(shù)列【評論】由和的關(guān)系求通項的注意問題：()應(yīng)重視分類談?wù)摰乃枷?分和兩種狀況談?wù)摦敃r不合適的狀況要分開寫,即，.)()要注意和互化擁有雙向性,既可由化為,也可由求.【小試牛刀】已知數(shù)列為單一遞加數(shù)列，為其前項和，（）求的通項公式；.（）若，為數(shù)列的前項和，證明：.【分析】（）當時，所以()，即，又為單一遞加數(shù)列，所以由得，所以，整理得，所以()所以，即，所以是認為首項，為公差的等差數(shù)列，所以（）所以()()(五)遞推公式為（此中,均為常數(shù)）.解法一（待定系數(shù)迭加法）:【例.】數(shù)列：,求數(shù)列的通項公式.【分析一】解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公

8、式轉(zhuǎn)變?yōu)榇酥袧M足.【分析二】(特色根法)：對于由遞推公式,給出的數(shù)列,方程,叫做數(shù)列的特色方程.若是特色方程的兩個根,當時,數(shù)列的通項為,此中由決定（即把和,代入,獲取對于、的方程組）；當時,數(shù)列的通項為,此中由決定（即把和,代入,獲取對于、的方程組）.【解法一】（待定系數(shù)迭加法）:由,得,且.則數(shù)列是認為首項,為公比的等比數(shù)列,于是.把代入,得,.把以上各式相加,得.【解法二】（特色根法）：數(shù)列：,的特色方程是：.,.又由,于是故.【小試牛刀】【江蘇省常州市屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列中，且.（）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）數(shù)列中能否存在不一樣的三項依據(jù)必定次序從頭擺列后，構(gòu)成等

9、差數(shù)列？若存在，求滿足條件的項；若不存在，說明原由.【分析】（）因為，所以，因為，所以數(shù)列是認為首項，認為公比的等比數(shù)列，所以，即；（）假定存在三項按必定次序從頭擺列后成等差.若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式右側(cè)是的整數(shù)倍，左側(cè)不是的整數(shù)倍，故等式不建立.若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式右側(cè)是的整數(shù)倍，左側(cè)不是的整數(shù)倍，故等式不建立.若，則，整理得，兩邊同除以，可得，等式左側(cè)是的整數(shù)倍，右側(cè)不是的整數(shù)倍，故等式不建立；綜上，不存在不一樣的三項吻合題意.五、遷徙運用【江蘇省泰州中學(xué)屆高三月月考】已知數(shù)列滿足：，（的通項公式為【答案】【分析】由得：，變形得：，所以），則數(shù)列是認為公比的

10、等比數(shù)列，所以，所以.【江蘇省前黃高級中學(xué)、如東高級中學(xué)、姜堰中學(xué)等五校屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情監(jiān)測】設(shè)數(shù)列項，且滿足與，則數(shù)列的前項和為【答案】【分析】觀察數(shù)列的奇數(shù)項，聯(lián)合遞推關(guān)系有：，且，則數(shù)列構(gòu)成首項為公比為的等比數(shù)列，令：，則：，即：，的首而，據(jù)此可得：數(shù)列的前項和為.【江蘇省淮安市盱眙中學(xué)屆高三第一次學(xué)情調(diào)研】設(shè)函數(shù)滿足，則且【答案】【分析】滿足，各式相加可得，故答案為.【年代屆高三第一次全國大聯(lián)考（江蘇卷)】已知數(shù)列對隨意滿足（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列的前項和為，求使得建立的正整數(shù)的最小值【分析】（）因為，所以，兩式相減，得，所以又當時，得，不滿足上式所以數(shù)列的通項公式為（）

11、由（）知，所以不建立，當時，由，得令，則為增函數(shù)，又所以要使建立，只要，故使建立的正整數(shù)的最小值為【江蘇省南京市、鹽城市屆高三第二次模擬】已知數(shù)列各項為正數(shù)，且對隨意，都有.（）若，成等差數(shù)列，求的值；（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；若對隨意，都有，求數(shù)列的公比的取值范圍.【分析】（）因為，所以，所以，成等比數(shù)列.設(shè)公比為，因為，成等差數(shù)列，所以，即，于是，解得或，所以或.（）因為，所以，兩式相除得，即，由，得，兩式相除得，即，所以，即，由（）知，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.當時，由時，可得，所以，所以，所以滿足條件.當時，由，得，整理得.因為，所以，所以，即，因為，所以，與隨意恒建立相矛盾，所以不滿

12、足條件.綜上，公比的取值范圍為.【江蘇省如皋市學(xué)年高三年級第一學(xué)期期末】已知等差數(shù)列的前項和為，若為等差數(shù)列，且（）求數(shù)列的通項公式；（）能否存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列？若存在，懇求出這個等比數(shù)列；若不存在，請說明原由；（）若數(shù)列滿足，且對隨意的，都有，求正整數(shù)的最小值【分析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差，則，又是等差數(shù)列，所以，即，解得此時，吻合數(shù)列是等差數(shù)列，所以（）假定存在，使得，成等比數(shù)列則，由（）可知，代入上式，得，整理得（*）法一：令，則，所以在上單一增，所以在上最罕有一個根又，故是方程（*）的獨一解所以存在，使得，成等比數(shù)列，且該等比數(shù)列為，法二：，即，所以方程（*）可整理為因為，所以無解

13、，故所以存在，使得，成等比數(shù)列，且該等比數(shù)列為，（）由可知，又，故，所以依題意，對隨意恒建立，所以，即，故若，據(jù)，可得當，時，由及可得所以，當，時，即故當，時，故不合題意若，據(jù)，可得，即所以，當，時，當時，得，所以當，時，所以，故故當時，對隨意都建立所以正整數(shù)的最小值為【江蘇省南通市三縣（通州區(qū)、海門市、啟東市)屆高三第一學(xué)期期末】已知數(shù)列的首項，其前項和為，對于隨意正整數(shù)，都有.（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)數(shù)列滿足.若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；若數(shù)列都是等比數(shù)列，求證：數(shù)列中至多存在三項.【分析】（）令，則由，得因為，所以，當時，且當時，此式也建立.所以數(shù)列的通項公式為（）【證法一】因為，所以

14、由所以所以所以，所以所以數(shù)列是等差數(shù)列【證法二】因為所以所以所以所以記，.，得.，兩式相減得，所以，所以，當時，由所以，當時，得，當時，上式也建立，所以，()所以數(shù)列是等差數(shù)列.【證法三】因為所以，（）所以，（）（）（）得，（）所以，（）（）（）得，所以.由知.所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列不如設(shè)數(shù)列超出三項，令，由題意，則有，即，代入，整理得（*），若，則，與條件矛盾；若，當時，當時，得，代入（*）得，所以，與條件矛盾.故這樣的數(shù)列至多存在三項.【江蘇省泰州市屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列的前項和為，且對隨意的*，都有。（）若，求的值；（）數(shù)列可否是等比數(shù)列？說明原由；（）當時，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。

15、【分析】（）令，得：，即：，化簡，得：，因為，所以，解得：.（）假定是等比數(shù)列，公比為，則，且，解得或，由，可得，所以，兩式相減，整理得，兩邊同除以，可得，因為，所以，所以上式不行能對隨意恒建立，故不行能是等比數(shù)列.（）時，令，整理得，又由可知，令，可得，解得，由（）可知，所以，兩式相減，整理得，所以，兩式相減，可得，因為，所以，即，又因為，所以數(shù)列是認為首項，為公差的等差數(shù)列.【江蘇省鎮(zhèn)江市屆高三上學(xué)期期末】設(shè)數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：對隨意的正整數(shù)，都有（）分別求數(shù)列與的通項公式；（）若不等式對全部正整數(shù)都建立，務(wù)實數(shù)的取值范圍；（）已知，對于數(shù)列，若在與之間插入個，獲取一個

16、新數(shù)列設(shè)數(shù)列的前項的和為，試問：能否存在正整數(shù)，使得？假如存在，求出的值；假如不存在，請說明原由【分析】（）因為是等比數(shù)列，且各項均為正數(shù)，所以，解得，公比，所以，因為，所以，兩式相減，得因為當時，（）因為，所以當時，所以，吻合，所以，所以當時，原不等式建立，；當時，原不等式可化為，設(shè)，則，則，所以，即數(shù)列單一遞減，所以，解得，綜上，；（）由題意可知，設(shè)在數(shù)列中的項為，則由題意可知，所以當時，設(shè)，易解得，當時，因為，且，所以當時，.【江蘇省南師大附中屆高三年級第一學(xué)期期中】已知，都是各項為正數(shù)的數(shù)列，且，對任意的正整數(shù)，都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）求數(shù)列和的通項公式；（）若存在，使得會合恰

17、有一個元素，務(wù)實數(shù)的取值范圍【分析】（）依據(jù)題意，于是，又因為，上式可化簡為對隨意*恒建立，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式()，把上式代入，則，特別地，當也吻合上式，故數(shù)列的通項公式()（）令，則，當，數(shù)列單一遞減，因為會合中只有一個元素，所以，即；當，中不行能只有一個元素，所以不吻合題意；當，數(shù)列單一遞加，中不行能只有一個元素，所以不吻合題意；當，令，即是小于等于的最大整數(shù)，則若時，則，中不行能只有一個元素，所以不吻合題意；若時，則，且，所以，即；若時，則，且，所以，即；綜上，當時，；當時，取，（）若時，；（）若時，【江蘇省清江中學(xué)屆高三第二次教課質(zhì)量調(diào)研】設(shè)數(shù)列的前