量子力學(xué)教案7(新)

1、同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)！ 第七章自旋在較強(qiáng)的磁場下（sio2T），我們發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好的解釋它但是，當(dāng)這些原子或離子置入弱磁場（sit）的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么簡單，這就要求人們進(jìn)一步探索。大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，認(rèn)為電子僅用三個(gè)自由度x，y,z來描述并不是完全的。我們將引入一個(gè)新的自由度自旋，它是粒子固有的。當(dāng)然，自旋是Dirac電子的相對論性理論的自然結(jié)果?，F(xiàn)在我們從實(shí)驗(yàn)事實(shí)來引入。7.1電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)（1）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）當(dāng)一狹窄的原子束通過非均勻磁場時(shí)，如果原子無磁矩，它

2、將不偏轉(zhuǎn)；而當(dāng)原子具有磁矩土，那在磁場中的附加能量為TOC o 1-5 h zU=附B=cosa如果經(jīng)過的路徑上，磁場在z方向上有梯度，即不均勻，則受力 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document FV7TTdBF=VU=pcosa_dz從經(jīng)典觀點(diǎn)看cosa取值（從-11），因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dBdBpp一dzdz所以原子分裂成一個(gè)帶。但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一束處于基態(tài)的銀原子通過這樣的場時(shí)，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩個(gè)態(tài)）。而人們知道，銀原子（z=47）基態(tài)1=0，所以沒有軌道磁矩，而分成二個(gè)狀態(tài)（二個(gè)

3、軌道），表明存在磁矩，而這磁矩在任何方向上的投影僅取二個(gè)值。這磁矩既然不是由于軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，因此，只能是電子本身的（核磁矩可忽），這磁矩稱為內(nèi)稟磁矩巴，與之相聯(lián)系的角動(dòng)量稱為電子自旋，它是電子的一個(gè)新物理量，也是一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)變量。（2）電子自旋存在的其他證據(jù)堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)鈉原子光譜中有一譜線，波長為5893A,但精細(xì)測量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成。D=5895.93AD=5889.95A2這一事實(shí)，從電子僅具有三個(gè)自由度是無論如何不能解釋的。反常塞曼效應(yīng)（AnomalousZeemaneffect）原子序數(shù)z為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場中分裂的光譜線條數(shù)為偶（如鈉D和

4、D2的兩條光譜線，在弱磁場中分裂為4條和6條）。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。不引入電子自旋也是不能解釋的。在弱磁場中，能級分裂出的多重態(tài)的相鄰能級間距，并不一定為色B，而是gD竺B。對于不同能級，gD可能不同，而不是簡單為1（gD稱Landeg因子）。D2卩根據(jù)這一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí)，G.Uhlenbeck）（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設(shè)電子具有自旋S，并且有內(nèi)稟磁矩企，它們有關(guān)系電子自旋在任何方向上的測量值僅取兩個(gè)值，所以TOC o 1-5 h zehueA=+z=-， HYPERLINK l bookmark26 o Current Document z2mSmezee為

5、單位，則gs=-2（而ge=-1）2me自旋的回磁比為gs一2現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對論性理論自然得到?？紤]到輻射修正ng=-2（1+）=-2.00231922兀7.2自旋微觀客體的一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量既然電子有自旋，這表明描述電子運(yùn)動(dòng)的變量就不能僅取x，y,z，還應(yīng)有第四個(gè)變量Sz，相應(yīng)算符為Sz。1）電子的自旋算符和它的矩陣表示由于電子具有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩所以，自旋這個(gè)動(dòng)力學(xué)變量是具有角動(dòng)量性質(zhì)的量，當(dāng)然它又不同于軌道角動(dòng)量（僅取二個(gè)值，gs一2）對于這樣一個(gè)力學(xué)量，當(dāng)然仍應(yīng)用線性厄密算符來刻劃它。于是我們假設(shè)：自旋算符S有三個(gè)分量S.，并滿足角動(dòng)量

6、所具有的對易關(guān)系。iA.對易關(guān)系Si，Sj=血ijkskB.由于它在任意方向上的分量測量僅取二個(gè)數(shù)值，土-，所以2TOC o 1-5 h z八八八IS2=S2=S2=-2xyz411于是S2=3-2=1(1+1)-2是一常數(shù)22C.矩陣形式由于其分量僅取二個(gè)數(shù)值，也即本征值有二個(gè)，所以S,S,S可xyz用2X2矩陣表示。1.若選S作為力學(xué)量完全集，即取S表象，那S在自身表象中的表示自ZZZ然為對角矩陣，而對角元就是它的本征值相應(yīng)的本征矢Is,sz)=2,2Sz|S,mJ=ms-|S,ms/2.Sx，Sy在Sz表象中的矩陣表示我們知道，這只要將S,S作用于S的基矢并以S基矢展開,xyzz從展開系

7、數(shù)來獲得由S,S=i-SzxyS,S=i-Szyx八八八S,S=-Sz因此SzS+|S,m；：-=S+(Sz+-)|S,mJ=(ms+1)-S+S,msS+Is,mJ-=A|S,ms+1由(S,m|S-S|S,m)=A2=(S,ms|S2-S2-Sz|S,ms)=力2一m2力2一m力24ss=(2一ms)(2+ms+1)立2A二h(S-ms)(S+ms+1)即S+|S,m=力J(S-ms)(S+ms+1)|S,ms+1同理可得S一|s,ms)二(S+ms)(S-ms+1)|S,ms-1)S怡吧/(S+ms)(S-ms+1)|S,m-1；+J(S-ms)(S+ms+1)|S,ms+1-：(S-m

8、s)(S+ms+1)|SSy|S,ms：=號G(S+ms)(S-ms+1)卜吧-1,m+1s112得系數(shù)矩陣為h轉(zhuǎn)置得(Sx)=211：=也2212ih21122系數(shù)矩陣為匚ih(02I-1入hr0轉(zhuǎn)置得(S)=2y2i對于Sn在0,9方向有S=sin0cosS+sin0sin9S+cos0SnxyzPauliOperator；為方便起見，引入泡利算符S=2b于是，在bz表象中有（或稱Pauli表象）則本征矢cos_e如22sine2I2丿sine-i22cose22丿10丿(bz)=0、1丿稱為泡利矩陣。bi的本征值為土。b.,b=2i.|b，b2=b2=b2=1ijijkkxyz由此得bb

9、+bb=(b2ib+2ibb)xyyx2ixyyx=丄(bb,b+b,bb)2ixzxzxx=b,b22iz=0于是有2bb=bbbb=2ibxyxyyxzbbb=ixyz為使我們對表象變換及算符矩陣表示以及由矩陣表示求本征值，本征矢有進(jìn)步性認(rèn)識，我們作一些例子。例1.求b的本征值，本征矢y因已知by在bz表象中矩陣形式為0丿二矩陣形式的本征方程為Z(b)k-mSkak=0ynksnkkk要ak不同時(shí)為0，系數(shù)行列式應(yīng)為0mi.s=0m2=1m2=1imsss對于ms=1(-1-i-1人a2丿iYai、1卩、十2、i丿例2表象變換=0對于兩表象變換Sna2=1，a1=iba=:b|a)顯然，S

10、ba列，實(shí)為A表象基矢a在B表象中的表示(S)bzby遼我們知9y）在自身表象為0、-1所以，它在bz表象中表示為(by)bzi(1iYi72bJI0i、+(0y的變換矩陣Sbybz=S+=1(1J2、一i1丿(by)1(1一i、(021i1人i、+(10、丿_匸）-方程L|屮）=|吠在（r,Sz）表象中可表為J；r,SzL|匸,s；dt：i,s；|嘰=：r,szleSZL11（r,P）,L12（r,P）丫屮i2（r）申i2（r）L2i（r，p），L22（r，P）丿W_12（r）丿一J）丿L11Sz力八八八力=2l（r，P，Si）Sz=2）2122L12zhf“，二、c力2L（r，匕Si）Sz

11、=_2方八八八_尹（r,P,si）Sh八八_2l（r，P，Si）S事實(shí)上，直接由L（r,p,S.）在Sz表象中表示來獲得/八八、L11（r，P），L12（r,P）IL21（r，P），L22（r，p）丿對任一算符的平均值為ZAL=j屮+L屮di（屮*2，忙1L11VL21L12YL22丿I-12丿dr=W；2L11屮112屯+W*2L12屮-12屯+W-12L21屮12+W-12L22屮-12屯例：求g+=2（ax+ij）在態(tài)矢量b）中的平均值解：6+在（r,Sz）表象中表示(6+)2(0(0+iVi0丿0V0而（申）=他2Or2（r）丿6+=f；2(r),9*-12(r)01丫2(r)V00丿

12、b-1；2(r)dr丿=J9*2（r），92（r）dr（3）考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程動(dòng)能項(xiàng)在非相對論極限下，電子的動(dòng)能為八p2T=-2p當(dāng)計(jì)及電子的自旋后，波函數(shù)是兩分量。并注意到（6A）（bB）=AB+ib（AxB）b,A丄我們有1E八丄八T=pbbp2y_而置于電磁場中時(shí)，則1T=(p+eA)b6(p+eA)2g一(p+eA)2+丄6(p+eA)x(p+eA)2g2p_1e軍(P+eA)2+詰B(tài)自旋一軌道耦合項(xiàng)由Dirac方程可以證明，當(dāng)電子在中心力場中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量(在非相對論極限下)中將出現(xiàn)自旋一軌道耦合項(xiàng)(Thomas項(xiàng))(核提供的庫侖屏敝場和自旋的作用導(dǎo)致)g(r)

13、S-L，g(r)=11dV(r)2m2c2rdre等(aB)2g電子置于電磁場中的哈密頓量HH=丄(P+eA)2聞+V(r)+g(r)SL+2g處于中心場中的電子，并置于電磁場中的薛定諤方程為3屮1eh邊=(P+eA)2屮一e甲屮+V(r)屮+g(r)S0+(aB)屮2卩-2g_應(yīng)該注意，在(r,S丿表象中，這時(shí)屮是兩分量的，即屮12_Z屮I半-12丿ihQf屮Jat3-12丿rHuH2112屮12H22人W-12丿1，2，3項(xiàng)是對角矩陣)7.3堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)引進(jìn)電子自旋后，我們就能夠利用量子力學(xué)理論來解釋原子光譜中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)及在外電磁場中的現(xiàn)象。(1)總角動(dòng)量A.總角動(dòng)量引入：當(dāng)考慮電子具

14、有自旋后，電子在中心力場中的Hamiltonian為+V(r)+g(r)L-S12H=P22p_g(r)=11dV(r)2m2c2rdr由于自旋一軌道耦合項(xiàng)，L和都不是運(yùn)動(dòng)常數(shù)例：L,L-S=sL,L+sL,LzxzxyzAAAA=ihSLihSLxyyx八八八八八八八卜八IS,L-S=LS,S+LS,Szxzxyzy=ihLSihLSxyyx因此，(H,L2,L,S)不能構(gòu)成力學(xué)量完全集。zz(S,L與HH不對易)ZZ但S+L,L-S=0ZZ一即L+S,L-S=0八八八引入J=L+S八八八、/X/X/XJ，L-S=0T當(dāng)然J2，L-S=0而J丄2=0TJ2丄2=0八八CJ,J2=0由于有心勢

15、U八八、八八CH,J=0=H,J2=0可證：J.,J.=i方.kJkijijkk由上述可見，當(dāng)計(jì)及自旋一軌道耦合后，L,S不再是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，代之ZZAc/XJ2,J是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（在中心場下）_Z所以，可選（H,L2,j2,jz）為力學(xué)的完全集（如無LS項(xiàng)，可選/X/X/X/X（H,L2,L,S）zzB.（L2,J2,Jz）的共同本征矢的表示（在0,9,Sz表象中）e（e,卩Sz）=（力、機(jī)0,機(jī)0，卩2）k2丿（0,申）婦0,申）丿(Jz)(Lz)八它是Jz的本征函數(shù)%b2%(mj_12)力、(mj+1/2)帥2丿這表明L6=(m.-12)h6=mh“/1j11取m.=m+1/2Lz62=(m.+

16、12)知2=(m+1)知2j它們是L2的本征函數(shù)=1(1+1刃因此33,9,Sz)=(aY1)1mIbY1m+1丿3.由J2（e（e,9，SZ）二九方2（b,pSz）/八c八c八八八八八八而(J2)=(L+S)-=L2+S2+2SL+2SL+2SLzzyyxxL2+-力2+力L-4力(L+iL)Ixy在0,9，Sz表象中矩陣表示,力(L-iL)xy,L2+3h2-力L-4z丿于是有(31(1+1)+丁+m,4寸(1-m)(1+m+1),|l(1+m+1)(1m1+1)(a(a=九1(1+1)+3-m-14丿要求a，b不同時(shí)為0，則其系數(shù)行列式為,1(1+1)+m一九，m-1-1(-Jl-mYl

17、mm-1由此可見，J取確定值m力，而S,L不具有確定值，它們?nèi)≈禐閦zh2mh-1h2(m+1)h可見，由自旋為態(tài)和軌道角動(dòng)量為1的態(tài)可以耦合為總角動(dòng)量為（1+丄）和2(1-丄)的態(tài)2顯然，態(tài)的數(shù)目是一樣多的2(21+1)=41+2(2(1+2)+1)+(2(1-2)+1)=41+2事實(shí)上，上述就是L2，S2，J2，Jz基矢以L2，S2，Lz，Sz基矢展開，即1+m+11，S，j，mrC：i1，mS，2+f旦|l,m+21+111s，-2卜m|l，m）S，11：ml|1，m+221+110s，-2即從（L2,S2,j2,jz）表象-B表象（L2,Lz，S2，Sz）表象A表象a,b就是平常稱的幺

18、正變換系數(shù)（S+）ABIBuY|A；(S+)ABA入11SBAN21，j，mj1，m1，2，m人們習(xí)慣稱:j1，m1，j2，m2,m1；j2，m2|j1；j2,j,m為clebsch-Gordancoefficients(它們形成(2j1+1)(2j2+1)維的幺正矩陣)。自旋和軌道角動(dòng)量的耦合是兩角動(dòng)量耦合的特例。于是在中心勢中，考慮了電子的自旋，則其特解=R6n1jmjjn1j1jmjjL2屮n1jmjj=1(1+1)力2屮vn1jmjJ2jn1jmjj=j(j+助2咒1jmjAJ=m.方屮vzn1jmjjn1jmjjHH匕.=E乂.n1jmjjn1jn1jmjj例：電四極矩電四極矩算符Q

19、ij=qQij=q(3xixj-氓)在原子物理和原子核物理中，測量的電四極矩給出的值的定義為Q=!,n,1,j,mjQzzn,1,j,m；j，m.=jj對于一個(gè)電荷均勻分布的帶電體，其大小，符號，反映了體系的形狀)先看Qlm=；n丄mQzzln,l,m；=q：n,lf2|n,l；G.l,m|cos20|l,m-1)由cos0|1,m)=a1m|1+l,m+a11m|1一l,m)=|(1+1)2m2咕=(21+1)(21+3)Q1m=qr23(a12m+a12-1m)-1221(1+1)-6m2=qr2(2l-1)(21+3)而(r,Szn,1,j,m；P=Rn1j1jm.=Rn1j(aY1m+

20、bY1m+P注意到Qzz與自旋無關(guān)，而a,p是正交的n,1,j,m;jm=jj=qr2|ap1,m|(Qzz|1,m+|b|2f1,m+1|Qzz|1,m+1)q02l(l+1)-6m2+b22l(l+1)-6(m+1)2(2l-1)(21+3)(2l-1)(21+3)零42(j+1)注意州=j/.j=1+1/2m=1而m.=m+1/2j=1一12m=1一1vj丿1由此可見，j=1時(shí)，Q=0。這是由于Q算符是角動(dòng)量為2的算符。當(dāng)2zz它作用于|j,mj后，態(tài)將從j，mJT|lj-2|，mJj+2,mj1當(dāng)j=2，則Qzz將2,jl，mj；所以與2，mJ正交。因此，這時(shí)在帶電體外，顯示“電荷”是

21、球形分布。2)堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場V(r)的作用。-價(jià)電子的哈密頓量為入P2入入H=+V(r)+g(r)L-S11dV(r)2卩2c2rdrH屮=E屮如選力學(xué)量完全集(H,L2,J2,Jz)(運(yùn)動(dòng)常數(shù)的完全集)則屮n1jm=Rn1j(叫m(0，jj1由于(S丄)怙廣2(J2-L2-S2)恤13=尹+1)-1(1+1)-卩-力2林21jmj1+1t2In2.21jmj11j=1+2j12H柿m=En17n1jm可表為jj巴1竺(rRJ+心2r2prdr2n1j2屮2nlj+V(r)Rnlj=En1jRn1j11j=1+2i12-n2g

22、(r)R1j+2MJ凹n2g(r)R1j2n1j因V(r)為吸引勢F=-VV(r)所以V(r)0。V(r)隨r匸而一單調(diào)上升)于是詈0g(r)0因此，V(r)+丄力2g(r)V(r)1+122根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證如1=1,力運(yùn)(r)Enlj=l+12Enlj=112則Ej=32E13)j=J2,2j=12丿原來能級Em7E：1+：這即觀測到納光譜的雙線結(jié)構(gòu)17.4兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)。1A.(s1z,s2z)表象中兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)設(shè)：兩粒子的自旋分別為S1S，顯然，如選(S1z,s2z)表象則可能的態(tài)為a(1)a(2),a(1)P(2),卩(1)a(

23、2),卩(1)卩(2)21B.(S2,sz)表象中兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)如令S=S1+S2則Sj,Sj=is承nsk滿足角動(dòng)量的對易關(guān)系A(chǔ)QA并有S2,Sz=0八C八可選表象（S2,S）_Z八八八八C八C由S2=(峯+芻)2=S2+S2+2S1-芻3=2力2+2S1-S2八AvJ八八八八八八S4=-力4+4(S-ys-%)+6力2S-芻丿S4可化為根據(jù)9-A)(g-B)=A-B+ig-(AxB)(a,b與g對易)、則有(5-)(乞-空)二g2+ii-(gx空)=32g1-g（推論：無論多少（當(dāng)皂）幕次，都能化為A+B（當(dāng)玉），A+BS2)31(S1-S2)魚-SP=正力4-2力2S1魚9

24、3-S4=力4+力42力2S-Sc+6力2S-Sc441212=3方4+S-S方2=2S2方2令x是S2的本征態(tài)則S2x=九力2x(S)4咒=九2力4x=2九力4x(九2)九x=0咒工0九=2=1-(1+1)，九=0=0-(1+0)于是有S2Xim=1-(1+助2Xim=22XimsssS妝00=0Szx1m=ms%msm=1,0,1sSzx00=0這時(shí)有x11x004個(gè)態(tài)a(1)a(2)卩(1)卩而Sza(1)卩(2)=0Sz卩(l)a(2)=03右21由S2二才+2生，芻(對于S,s2=2)11P12(1+a-CT)=S2-12-1力2因此P12Xsms=S(S+1)-1xsmP12X1m

25、=X1msp12是交換算符因此x10=ja(l)0(2)+p(1)a(2)X00=吉a(l)|3(2)-卩a(2)我們稱X1m為自旋三重態(tài)（對稱的）1ms咒00為自旋單態(tài)（反對稱的）當(dāng)兩自旋為2的全同粒子其相互作用對空間坐標(biāo)和自旋變量是變量可分離時(shí)，則特解為屮沁，沁）=uOrA%）但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律使體系波函數(shù)不可任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問題。o，可選Ab）的Bell基若A=CT1z2z，B=CT1xCT2x。因共同本征態(tài)作為兩自旋為2粒子的自旋波函數(shù)XAiBj=X=+a(1)a(2)+P(1)P(2)v2XAiBj=X+_=12a(1)a(2)_P(

26、1)P(2)XAiBj=X_+=12a(1)P(2)+p(1)a(2)XAiBjij=X_=1=a(1)B(2)_P(1)a(2)7.5全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的置換對稱性各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質(zhì)量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱為電子，質(zhì)子，介子，A+，+等等。實(shí)驗(yàn)證明，每一種粒子，都是完全相同的（如兩個(gè)氫原子中的質(zhì)子或電子都一樣）經(jīng)典物理中，我們習(xí)慣稱這是電子1，那是電子2，它們在外力作用下，按自己的軌道運(yùn)動(dòng)，我們在任何時(shí)刻都能跟蹤它，我們不會誤認(rèn)電子1為電子2。即按軌道來區(qū)分同一類粒子。但從量子力學(xué)的觀點(diǎn)來看，情況就發(fā)生變化。它的描述不能用軌道概念，而只能用波

27、函數(shù)。根據(jù)波函數(shù)來描述出現(xiàn)在ri-ri+dr的體積之中幾率大??；或根據(jù)一些力學(xué)量完全集來描述粒子所處狀態(tài)。即片個(gè)粒子處于昭態(tài)；n2個(gè)粒子處于92態(tài)，或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不可能告訴你，那一個(gè)粒子處于9態(tài)，那一個(gè)粒子處于92態(tài)。如9&(r1)9e(r2)129（劌4）12是可能的二種態(tài)，對它進(jìn)行測量是分不清兩者的差別。它們每一個(gè)都不能用于對二個(gè)全同粒子的描述。全同粒子交換是不可觀測的。（1）交換不變性設(shè)：氦原子的兩個(gè)質(zhì)子固定不動(dòng)，那么描述氦原子中的兩個(gè)電子組成的體系，其哈密頓量為e2仏ok-rP2P2_竺_2e22m*2mrir2若P12為粒子交換算符，將1T2，2T1則P12，H=0p12H

28、i（r1,rz,t）v（r1，r2，t）二出仝,仝。屮（仝込,t）A=h（r2，r1,t）p12v（rL，r2，t）由于屮（仝仝江）任意，所以P12H（山）=H（仝，仝叫2若h是交換不變，即h（r2，r1,t）=h（r1，r2,t）則P2，HH（ri，r2，t）=0:p12是運(yùn)動(dòng)常數(shù)（若hh（r1，r2）是交換不變）或如此看，由于體系具有交換不變性，所以t0經(jīng)交換后演化到t應(yīng)等于演化到t再進(jìn)行交換，即P12屮（gt）=U（t-t）Pi2屮（心0）=P12U（t-t0）屮（仝吵0）由于屮的任意性，所以P12U（t）=U（t）P12U（t）=e-iH（r，p）t/由于t任意p12,HH=0即H（仝

29、昭邑）=H（仝邑，仝則P12是運(yùn)動(dòng)常數(shù)若（r1，r2，t）是p12的本征態(tài)，貝yPn匕（仝仝，t）=九2匕（仝仝,t）=屮九（仝仝,t）九2=1，九二1因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，貝為對稱態(tài)；另一種是交換下改號，貝為反對稱態(tài)。p129s（r1，r2,t）=9s（r2，r1，t）=0（r1，r2，t）p129a（r1，r2,t）=9A（仝，仝t）=-9A（r1，r2，t）顯然9s（r1，r2）=c（i+卩12）9（59A（r1，r2）二c（i-p12）9（rL，r2）由于它是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此，一開始，體系處于置換對稱態(tài)時(shí)，那以后任何時(shí)候都處于這態(tài)下與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有本質(zhì)不同之處是：體系要么處于

30、對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子本身所固有的特性。而不是人們能夠人為地給一個(gè)初條件，讓體系處于一個(gè)沒有確定的置換對稱性的狀態(tài)下。所以，下面一些結(jié)論是重要的：由于Pij是一運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此一開始體系處于某種交換對稱態(tài)下，則以后任何時(shí)刻都處于這態(tài)下；與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)有本質(zhì)不同之處在于，體系要么處對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子固有的屬性，而不是人為地給初條件所致；實(shí)驗(yàn)表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體系，當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)反號，即處于反對稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對稱態(tài)。在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，具有自旋為方的半整數(shù)的粒子作為單元構(gòu)成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)（稱為Fe

31、rmion）。具有自旋為方的整數(shù)倍的粒子作為單元構(gòu)成的體系，遵守Bose-Einstain統(tǒng)計(jì)（稱為Boson）.（2）全同粒子的波函數(shù)結(jié)構(gòu)，泡利原理：忽略粒子間的相互作用，則N個(gè)全同粒子的哈氏量為單粒子哈氏量之和HH（rL,r2屈）=方（匚屈）+（r2,p2）+顯然，對任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同單粒子的能量本征方程為h(f,p)9e(r)=ek咒(r)kk-HHC,Pi，L)UE(&，&二EUE(仝&)HH(1,2,)=Zh(r.,p.)i它的一個(gè)特解為ue(1,2,N)=9e(r1)9&(仝)9e12NE=e1H但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正的態(tài)函數(shù)必須滿足一定的交換對稱性。

32、N個(gè)費(fèi)米子的波函數(shù)，泡利原理由于費(fèi)米子的波函數(shù)交換一對費(fèi)米子是反對稱的，因此，它可以如此來構(gòu)成：取咒（土）咒（仝）申&（云）作為標(biāo)準(zhǔn)排列。12N咒（ra觀（ra）S（ra）是經(jīng)過某一置換112a1a2來實(shí)現(xiàn)由于對換（transposition）對粒子，波函數(shù)改號。而對某一置換（Permutation）它相應(yīng)的對換數(shù)的奇偶性是一定的。因此，置換后的這一項(xiàng)的符號與標(biāo)準(zhǔn)排列項(xiàng)的符號差別取決于該置換的對換數(shù)的奇偶性。12345678、23451768丿(12345)67)T（15）（4）（3）（2）67）所以有5個(gè)對換，其符號為負(fù)號。（123、/、對3個(gè)粒子：某一置換（12），即有一個(gè)對換，所以為負(fù)1

33、213丿號。當(dāng)然可經(jīng)三個(gè)對換（L2）（3）（3）設(shè)一個(gè)置換Pg對應(yīng)的對換數(shù)為8，則真正的波函數(shù)應(yīng)為論AK-1）Pg竹（r1）H對所有1N置換求和這即行列式定義e1=A2(rP1(G2-e182()E(rP()NNN例如：對N=29（r）（r）=Ae1（）e1（）=A%（2）%（5）-%（r2）F（）9e（r1）9e（r2）e1e2e2422可以看出，任意兩個(gè)粒子交換（即兩列交換）屮改號；若與態(tài)是完全12相同的態(tài)，那屮二0（即兩行交換）。這表明，對兩個(gè)全同的費(fèi)米子不能處于這種態(tài)中。于是我們有下面的原理：泡利原理（pauliexclusionprinciple）：在客觀實(shí)際的體系中，沒有兩個(gè)或多個(gè)

34、全同費(fèi)米子可處于一個(gè)完全相同的單態(tài)中（或：全同費(fèi)米子體系的態(tài)中，具有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）對于N個(gè)粒子，有N!項(xiàng)（有N!個(gè)置換），而每一項(xiàng)中，費(fèi)米子處于這N個(gè)單態(tài)上的分布是不同的，因此各項(xiàng)之間是正交的。f|2dr1d&=A2N!所以，對于N個(gè)無相互作用的全同費(fèi)米子體系的歸一化反對稱波函數(shù)為屮A&12BN個(gè)全同玻色子的波函數(shù)由于玻色子波函數(shù)相對兩全同玻色子對換是對稱的，即不變號：:咒（圧）=A2P咒（卯咒（）1】2N所有置換】2N由于玻色子不受泡利原理限制，因此處于同一單態(tài)上的玻色子可以是任意多個(gè)。所以，如果2，N態(tài)中具有相同的有ni個(gè)；具有相同單態(tài)2有n2個(gè)；具有N單態(tài)中的玻色子有nN個(gè)。

35、ni+n2+nN=Nni1+n22+nNN=E于是上述置換雖具有N!項(xiàng)，但有些項(xiàng)是相同的。如ni個(gè)代態(tài)的粒子進(jìn)行置換，所得項(xiàng)是相同的，而這相同項(xiàng)有1ni!，同理n2個(gè)咒態(tài)的粒子置換，所得項(xiàng)相同，而這有n2!項(xiàng)2N!所以，N個(gè)玻色子的某一種排列有珀中？!】個(gè)相同項(xiàng)。所以，不同單態(tài)交換的排列的數(shù)應(yīng)為,N!片!nN訓(xùn)2曲=A2(ni!n2!nN!)2n!nn12N邨12N仏TNnx-所總見叭）:N!njn2!nN!(ni!n2!n!）Y僅對處于不同單態(tài)間粒子置換PS咒咒鼻)iN.n!n!nN!工不同單態(tài)間-r粒子置換例如：N二3有二個(gè)在1態(tài)，一個(gè)在2態(tài)。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對夢想的偏執(zhí)。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對夢想的偏執(zhí)。同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)！ 1同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)！ N!3!3有個(gè)不同分布n1!n2!%2!1!0!鯊=罟YP機(jī)（嘰（央（叨3!不同態(tài)112間置換T訥5EM代（卯（劌（D+%（嘰（邑di112112112另一種寫法：N!二3有6項(xiàng)7麗叫匕叫匕2+乜匕勒）上）+咒Eg（腳+代（帆EV）112112+%（3%（叭+代（腳（嘰（叨112112123、123、/123、123、123、123、J23丿213丿3