5第五章留數(shù)及其應(yīng)用5.2

1、5.2 留數(shù)一、留數(shù)的概念二、留數(shù)的計(jì)算方法三、留數(shù)定理四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)一、留數(shù)的概念將 在 的去心鄰域 設(shè) 為函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)， 定義 稱 為 在 處的留數(shù)， 記作： 內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)： (兩邊積分) 其中，C 是 的去心鄰域內(nèi)繞 的一條簡(jiǎn)單閉曲線。 P112定義 5.4 (留數(shù)的產(chǎn)生)而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。 二、留數(shù)的計(jì)算方法若 為 的可去奇點(diǎn)， 方法 1. 可去奇點(diǎn) 若 為 的本性奇點(diǎn)， 方法 2. 本性奇點(diǎn) 則 “只好” 將 在 的去心 鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。 (1) 在具體展開的時(shí)候，并不需要寫出 “完整” 的洛朗級(jí)數(shù)， 注 只需將其中負(fù)一次冪的系數(shù) 求

2、出來(lái)就可以了。 (2) 對(duì)于不是本性奇點(diǎn)的情況，該方法有時(shí)也是很有效的， 則 理由 二、留數(shù)的計(jì)算方法3. 極點(diǎn) 方法 (法則) 若 為 的 m 階極點(diǎn)， P115法則 (法則) (1) 若 為 的簡(jiǎn)單極點(diǎn)， 特別 則 (2) 若 且 在 點(diǎn)解析， 則 P114法則 P114法則二、留數(shù)的計(jì)算方法方法 3. 極點(diǎn) P115法則若 為 的 m 階極點(diǎn)， 二、留數(shù)的計(jì)算方法3. 極點(diǎn) 特別 則 (2) 若 且 在 點(diǎn)解析， 事實(shí)上，此時(shí) 為 的簡(jiǎn)單極點(diǎn)， 故有 是 的可去奇 點(diǎn)， 解 (1) 和 均為 的一階極點(diǎn)， (2) (羅比達(dá)法則) 是 的三階極點(diǎn)， 解 (1) 為 的二階極點(diǎn)，(2) (麻

3、煩) 函數(shù) 有四個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)， 解 同理 是 的本性奇點(diǎn)， 解 將 在 的去心鄰域內(nèi)洛朗展開， 有 是 的本性奇點(diǎn)， 解 將 在 的去心鄰域內(nèi)洛朗展開， 有 是 的本性奇點(diǎn)， 解 將 在 的去心鄰域內(nèi)洛朗展開， 有 是 的一階極點(diǎn)， 解 (1) 是 的本性奇點(diǎn)， (2) (證明是本性奇點(diǎn)?)方法一 利用洛朗展式求留數(shù) 解 將 在 的去心鄰域展開， 得 由于 是 三階極點(diǎn)， 解 方法二 利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解 (羅比達(dá)法則) 因此有 (好麻煩!) 解 方法二 利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解 若 “不幸” 將 判斷成了 的六階極點(diǎn)， 巧合? (非也!)注 (1) 此類函數(shù)求留數(shù)，可考慮利用洛朗展式。

4、 (2) 若此類函數(shù)求閉路積分，則可考慮利用高階導(dǎo)公式，而不一定非得使用下面即將介紹的留數(shù)定理。 DC三、留數(shù)定理 處處解析，在邊界 C 上連續(xù)， 定理 設(shè) 在區(qū)域 D 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 外 注意 只需計(jì)算積分曲線 C 所圍成的有限區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的留數(shù)。 如圖，將孤立奇點(diǎn)用含于 D 內(nèi)且 證明 互不重疊的圓圈包圍起來(lái)， 根據(jù)復(fù)合閉路定理有 則 P113定理 5.7 解 被積函數(shù) 在 內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)： 可去奇點(diǎn) 一階極點(diǎn) P116 例5.21 解 被積函數(shù) 在 內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)： 一階極點(diǎn) 二階極點(diǎn) 解 被積函數(shù) 的奇點(diǎn)為 但在 內(nèi)只有兩個(gè)簡(jiǎn)單級(jí)點(diǎn)： 解 被積函數(shù) 在 內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)： 簡(jiǎn)單級(jí)點(diǎn) 解 令

5、為 的本性奇點(diǎn)， 將 在 內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)： 解 令 為 的 101 階極點(diǎn)。 將 在 內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)： 解 方法一 利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解 (羅比達(dá)法則) 為被積函數(shù) 的二階極點(diǎn)， 方法二 利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解 方法三 利用洛朗展式求解 解 將被積函數(shù) 在 的去心鄰域展開， D C 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 設(shè)想 如圖，設(shè) C 是一條簡(jiǎn)單閉曲線， 一般說(shuō)來(lái), 閉路積分只與該閉路所包圍的區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn) 有關(guān)，但為什么又要引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)呢？ 將曲線 C 圍成的區(qū)域記為 D， 而曲線 圍成的區(qū)域記為 甚至只有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 為奇點(diǎn)， 則 如果區(qū)域 D 內(nèi)的奇點(diǎn)很多， 顯然比計(jì)算等式左邊的積分要

6、“省心” 的多。 則計(jì)算等式右邊的積分 但區(qū)域 內(nèi)的奇點(diǎn)很少， 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 定義 如果函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的去心鄰域 內(nèi)解析，則稱點(diǎn) 為 的孤立奇點(diǎn)。 則點(diǎn) 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) 相應(yīng)地， 記為 因此，函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的性態(tài)可由 函數(shù) 在原點(diǎn) 的性態(tài)來(lái)刻畫。 手段 令 P108 P108定義 5.3 解 令 記為 則 均為 的奇點(diǎn)， 可知 由于 不是 的孤立奇點(diǎn)， 因此 不是 的孤立奇點(diǎn)。 P111 例5.13 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 記為 解 令 則 由于 是 的可去奇點(diǎn)， 因此 是 的可去奇點(diǎn)。 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函

7、數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) P110 例5.10 記為 解 令 則 由于 是 的一階極點(diǎn)， 因此 是 的一階極點(diǎn)。 試判斷奇點(diǎn) 的類型。 設(shè) 例 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 記為 由于 是 的本性奇點(diǎn)， 因此 是 的本性奇點(diǎn)。 解 令 則 試判斷奇點(diǎn) 的類型。 設(shè) 例 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) P111 例5.12 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 2. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 域 內(nèi)解析， 設(shè)函數(shù) 在圓環(huán) 定義 其中，C 為 其中，c 為 函數(shù) 在 “有限” 孤立奇點(diǎn) 的留數(shù)為: 對(duì)比 則 在 點(diǎn)的留數(shù)為： 5.2 留數(shù) P11

8、7定義 5.5 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的完整介紹四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 2. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 如何計(jì)算在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)？ 推導(dǎo) 如圖， 公式 則 令 已知 P118 法則 四、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 2. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)1. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)有何用處？ 則 定理 設(shè) 在擴(kuò)充平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 證明 如圖， 則 外處處解析， 即證。 令 充分大，即 P117定理 5.8 解 函數(shù) 在 內(nèi) 有四個(gè)一階極點(diǎn) 由留數(shù)定理有 解 (1) 函數(shù) 在 內(nèi)有五個(gè)一階極點(diǎn) 由留數(shù)定理有 (2) 解 休息一下附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義 回

9、顧 則 對(duì)應(yīng)于 相應(yīng)地， 記為 因此，函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的性態(tài)可由 函數(shù) 在原點(diǎn) 的性態(tài)來(lái)刻畫。 令 即 對(duì)應(yīng)于 附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義 函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式? 由 在原點(diǎn) 的鄰域 內(nèi)的洛朗展式： 得 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的鄰域 內(nèi)的洛朗展式： 其中， 函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式? 附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義 (1) 可去奇點(diǎn)： (2) N 階極點(diǎn)： (3) 本性奇點(diǎn)： 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型的劃分 不含正冪項(xiàng)； 含有限多的正冪項(xiàng), 且最高冪次為 N ， 含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)。 此時(shí)， 函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式? 附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)

10、類型判別以及留數(shù)的定義 (1) 可去奇點(diǎn)： (2) N 階極點(diǎn)： (3) 本性奇點(diǎn)： 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型的判別 不含正冪項(xiàng)； 含有限多的正冪項(xiàng), 且最高冪次為 N ， 含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)。 不存在且不為 (常數(shù))； 此時(shí)， 函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式? 附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義 函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) ( 兩邊沿 C 積分 ) -稱 為函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的 定義 留數(shù)。 由 有 (返回)附：留數(shù)(Residu)的產(chǎn)生 柯西在 “求沿著兩條有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)且包圍著 函數(shù)極點(diǎn)的路徑積分之差” 時(shí)得到了這個(gè)概念。 這也是使用該名稱的緣故。 1829年 柯西創(chuàng)建了留數(shù)理論。 1814年 柯西第一個(gè)注意到了留數(shù)的概念。 (即