課件概率與統(tǒng)計(jì)估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

1、7.2 估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則在眾多的估計(jì)量中選哪一個(gè)更好？選取的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 如 XU(0,q ) , q 的矩法估計(jì)量為 ， 對(duì)于總體的參數(shù)，可用各種不同的方法去估計(jì)它，因此一個(gè)參數(shù)的估計(jì)量不唯一.三個(gè)常用準(zhǔn)則：無偏性、有效性、相合性.極大似然估計(jì)量為1. 無偏性q定義7.2.1 若參數(shù)的估計(jì)量對(duì)一切 n 及 ，有稱 為的無偏估計(jì)量. 若則稱 為的漸進(jìn)無偏估計(jì)量. 若的實(shí)函數(shù) g() 的無偏估計(jì)量存在，稱g()是可估計(jì)函數(shù).注 反例樣本均值是總體均值E(X)的無偏估計(jì)量.S2 是2 的無偏估計(jì)注意：2. 有效性思考：已知總體X的樣本X1, X2, X3,下列估計(jì)量是否為總體均值m 的無偏估計(jì)量

2、？ 哪個(gè)更好？參數(shù)的無偏估計(jì)量不惟一.無偏估計(jì)只能保證估計(jì)無系統(tǒng)誤差： 希望的取值在及其附近越密集越好，其方差應(yīng)盡量小.都是未知參數(shù)的無偏估計(jì)量,若定義7.2.2稱 為的最小方差無偏估計(jì)量. 設(shè) 是的無偏估計(jì)，如果對(duì)的任何一個(gè)無偏估計(jì)量 都有證明無偏性判斷有效性(1) 和S2 分別是m 和 s2 的最小方差無偏估計(jì)證明無偏性判斷有效性(2)3. 相合性 無偏性：反映估計(jì)量相對(duì)待估參數(shù)有無系統(tǒng)偏差. 有效性：在無偏類中反映估計(jì)量相對(duì)待估參數(shù)的偏離程度. 問題：在“偏差性”和“離散性”兩者兼顧的原則下建立估計(jì)量為“最優(yōu)”準(zhǔn)則.例7.2.5 7.2.3定義 設(shè) 是未知參數(shù)的估計(jì)量，若對(duì)任意的0，有則

3、稱 為的相合估計(jì)量.相合估計(jì)量的證明(1)相合估計(jì)量的證明(2) 是的相合估計(jì)量;S2 和M2 都是2的相合估計(jì)量.部分證明 例7.2.1 設(shè)總體的方差 D(X)=2 0，有#證明 S2 是2 的無偏估計(jì)量 例7.2.2 設(shè)總體的方差 D(X)=2 0，則樣本方差S2 是2的無偏估計(jì).證# 例7.2.3 設(shè)總體XU0, 0 未知, (X1，X2，X3)是取自X的一個(gè)樣本試證都是的無偏估計(jì)；2) 上述兩個(gè)估計(jì)量中哪個(gè)的方差最??？分析： 要判斷估計(jì)量是否是無偏估計(jì)量，需要計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.證 1) 先求X與Y 的概率密度函數(shù)，已知分布函數(shù)2)#例7.2.4 證明 是無偏估計(jì)量， 是其中最有效估

4、計(jì)量. 證利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，令從聯(lián)立方程組解得 ，即函數(shù)的最小值點(diǎn)是# 例7.2.5 設(shè)XU(0,) ,的矩法估計(jì)量為 ，極大似然估計(jì)量為 .有偏估計(jì)量#分析 1) 證明相合性常用到切比雪夫不等式; 2) 這里計(jì)算方差較難, 可以先化為2 分布, 再利用卡方分布的性質(zhì)計(jì)算. 例7.2.6 設(shè) XN(0,2), 證明 是2 的相合估計(jì)量.證由切比雪夫不等式，有#是2 的相合估計(jì)量. 例7.2.7 設(shè)總體X的k階原點(diǎn)矩E(Xk)存在, 證明樣k階原點(diǎn)矩 是其無偏、相合估計(jì)量.證 樣本構(gòu)成的隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立同分布，服從辛欽大數(shù)定理，對(duì)任給的0，有# 例7.2.8 設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望存在, 估計(jì)量 ,是=E(X)的無偏、相合估計(jì)量.