專題 等差等比數(shù)列的概念和性質(zhì)

1、專題 等差等比數(shù)列的概念和性質(zhì)第1頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日1.(2010通州模擬) 數(shù)列a1+2， ak+2k，a10+20共有10項，且其和為240，則a1+ak+a10之值為 . 解析：(a1+2)+(ak+2k)+(a10+20) =(a1+ak+a10)+(2+2k+20) =(a1+ak+a10)+110 =240. 所以a1+ak+a10=130.第2頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日2.(2010江蘇通州中學(xué)高模)已知數(shù)列an對于任意p，qN*有ap+aq=ap+aq，若a1= ，則a100= .解析：取p=n，q=1，所

2、以an+1-an= ，所以數(shù)列an是公差、首項都為的等差數(shù) 列，a100= + (100-1)=40.第3頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第4頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第5頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第6頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日例1：已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(xR)同時滿足：不等式f(x)0的解集有且只有一個元素；在定義域內(nèi)存在0 x1f(x2)成立設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn=f(n)(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)求數(shù)列an的通項公式分析:第(1)問由已知條

3、件確定a的值時要注意“在定義域內(nèi)存在0 x1f(x2)成立”與“函數(shù)y=f(x)在(0，+)上單調(diào)遞減”之間的區(qū)別 ；第(2)問主要是利用an與Sn的關(guān)系第7頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日解析：(1)因為不等式f(x)0的解集有且只有一個元素，所以判別式=a2-4a=0，解得a=0或a=4.當(dāng)a=0時，函數(shù)f(x)=x2在(0，+)上遞增，不滿足條件；當(dāng)a=4時，函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減，滿足條件 第8頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日綜上得a=4，即f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-

4、2)2，當(dāng)n=1時，a1=S1=1；當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5，所以an= .第9頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日變式1.等差數(shù)列an中，公差d 0，a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，akn，成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項公式 解析：設(shè)等差數(shù)列an 的公差為d，則，a2a2=a1a4， 即(a1+d)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0.因為d 0，所以d=a1，等比數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，akn，的公比q= = =3，第10頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日所

5、以akn=a13n+1.akn既是等差數(shù)列an中的第kn項，同時又是等比數(shù)列 a1，a3，ak1，ak2，akn，中的第(n+2)項，所以a1+(kn-1) a1=a13n+1，kn=3n+1.第11頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日分析：立足基礎(chǔ)，注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式，注重代數(shù)式的有序變形第12頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第13頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第14頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第15頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日

6、第16頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第17頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第18頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日分析：(1)注意基本量及其關(guān)系的運用，知三求二；(2)不可能、不成立問題常通過舉反例來處理，一般性證明宜用反證法第19頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第20頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第21頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第22頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第23頁，共34頁，2022年，5月20

7、日，17點45分，星期日第24頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日第25頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日1等差、等比數(shù)列的結(jié)論，如(1)an是等差數(shù)列，Sn= i.()m+n=p+qam+an=ap+aq；()數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，是等差數(shù)列；()S2n-1=(2n-1)an.(2)an是等比數(shù)列，Sn= i.()m+n=p+qaman=apaq；第26頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日()數(shù)列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，(q 1)是等比數(shù)列；()a1a2a2n-1=(an)2n-1.2一般數(shù)

8、列求和的幾種常用方法、和與項之間的關(guān)系：(1)分項求和、并項求和、裂項相消、倒序相加、錯位相減等；第27頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日(2)Sn=a1+a2+an an=第28頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日(2010安徽卷)(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項都不為0.證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：“對任何nN*，都有 + + + = .” 第29頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日證明：(1)先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d=0，則所述等式顯然成立(2分) 若d 0，則+=第30頁，共

9、34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日=(2)再證充分性 依題意有第31頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日+=； +， -，得 -第32頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日在上式兩端同乘a1an+1an+2，得a1=(n+1)an+1-nan+2；同理可得a1=nan-(n-1)an+1. -，得2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差數(shù)列由(1)(2)命題成立第33頁，共34頁，2022年，5月20日，17點45分，星期日1證明題要注意格式規(guī)范；2分必要性、充分性兩大塊分別處理先從容易處即必要性