物理競賽動(dòng)力學(xué)1

1、動(dòng)力學(xué)定律一般問題約束問題引力問題兩體問題非慣性系*1一般問題2力力來自相互作用；力是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因. 萬有引力引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量 彈性力或回復(fù)力取決于變形程度，電磁力 摩擦力（靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力）復(fù)雜性，電磁力，耗散力 與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的指向相反 正比于正壓力3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題典型問題：I：已知作用于物體（質(zhì)點(diǎn)）上的力，由力學(xué)規(guī)律來決定該物體的運(yùn)動(dòng)情況或平衡狀態(tài)； II：已知物體（質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)情況或平衡狀態(tài)，由力學(xué)規(guī)律來推出作用于物體上的力。解題十六字訣： 隔離物體，具體分析，選定坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)方程。 中心問題在于正確地列出代數(shù)方程組； 關(guān)鍵問題有在于正確地進(jìn)行具體分析(F,ma)。4例 一升

2、降機(jī)內(nèi)有一光滑斜面。斜面固定在升降機(jī)的底版上，其傾角為 。當(dāng)升降機(jī)以勻加速a0上升時(shí)，物體m從斜面的頂點(diǎn)沿斜面下滑。求物體m相對(duì)于斜面的加速度以及相對(duì)于地面的加速度。a0amOxy解：受力分析：mgNa0aa加速度分析：a= a+a0X方向:Y方向:列方程：解得:a=(g+a0)sin , N= m(g+a0)cos 5練習(xí):Mma1a2xy分析：M: m:加速度：a1(+x方向） a=a1+a2 MgRNmgN列方程：m:M:6IPhO4-1 (1970)在質(zhì)量M=1kg的木板上有質(zhì)量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面與木板之間的摩

3、擦。木板與雪橇之間的摩擦系數(shù)0.02。把住木板，起動(dòng)馬達(dá)。當(dāng)雪橇達(dá)到速度v0時(shí)，放開木板。在此瞬間，雪橇與木板端面的距離L=0.5m。繩子拴在（a）遠(yuǎn)處的柱子，(b)木板的端面上。試描述兩種情形下木板與雪橇的運(yùn)動(dòng)。雪橇何時(shí)達(dá)到木板端面？7解：（a）木板速度達(dá)到v0之前勻加速，雪橇在木板上經(jīng)過的距離為此后兩者沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，馬達(dá)空轉(zhuǎn)，雪橇不能達(dá)到端面。（b）系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)放開后木板的速度為V,雪橇為V+v0，V=0。所以木板不動(dòng)，雪橇以原有速度繼續(xù)前進(jìn)。t=L/v0受力分析？89解1：兩側(cè)掛有M1,M2的滑輪與質(zhì)量m的物體等效解2：第一滑輪繩子張力為T, 重力加速度為g, 第二滑輪繩子張力為T/

4、2, 重力加速度為g=g-a, T:T/2=g:(g-a)a=g/210約束運(yùn)動(dòng)問題 運(yùn)動(dòng)學(xué)的約束：質(zhì)點(diǎn)被限制于某個(gè)曲面或某個(gè)曲線上運(yùn)動(dòng)。 約束反力：約束對(duì)質(zhì)點(diǎn)的反作用力。沿著約束的法向11OR例2（P143）：質(zhì)點(diǎn)從光滑的靜止大球的頂端滑下。試問滑到何處，質(zhì)點(diǎn)就會(huì)脫離球面飛出。求解及分析（初始條件）O法向切向NmgR當(dāng)=cos-1(2/3), N=0 標(biāo)志質(zhì)點(diǎn)開始離開球面12例題： 質(zhì)點(diǎn)沿光滑拋物線 y2=2x無初速的下滑，質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（2，2），問質(zhì)點(diǎn)在何處脫離拋物線。提示：曲率半徑解： 13解2 ：質(zhì)點(diǎn)受力mg, N, 當(dāng)N0時(shí)，水平方向受力為零，故ax=0, 即vx（或vx2)有極

5、大值14引力問題15球殼的萬有引力地球內(nèi)部物體受到的萬有引力M蘭色部分：不貢獻(xiàn)引力紅色部分：貢獻(xiàn)引力，恰如位于球心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M，M是紅色部分的總質(zhì)量16球體的萬有引力ORFr17原型： 假定巴黎和倫敦之間由一條筆直的地下鐵道連接著。在兩城市之間有一列火車飛駛，僅僅由地球的引力作動(dòng)力。試計(jì)算火車的最大速度和巴黎到倫敦的時(shí)間。設(shè)兩城市之間的直線距離為300km, 地球的半徑為6400km，忽略摩擦力。 考察知識(shí)點(diǎn)：1.球?qū)ΨQ引力場 2.簡諧振動(dòng)?？碱}（2004復(fù)賽第三題） 有人提出了一種不用火箭發(fā)射人造衛(wèi)星的設(shè)想。沿地球的一條弦挖一通道，在通道的兩個(gè)出口處A和B ，分別將質(zhì)量為M的物體和質(zhì)量為m的

6、待發(fā)射衛(wèi)星同時(shí)釋放，只要M比m足夠大，碰撞后質(zhì)量為m的物體，即待發(fā)射的衛(wèi)星就會(huì)從通道口B沖出通道。設(shè)待發(fā)衛(wèi)星上有一種裝置，在衛(wèi)星剛離開出口B時(shí)，立即把衛(wèi)星速度方向變?yōu)檠卦撎幍厍蚯芯€的方向，但不改變速度的大小，這樣衛(wèi)星便有可能繞地心運(yùn)動(dòng)，成為一顆人造衛(wèi)星。若衛(wèi)星正好沿地球表面繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，則地心到該通道的距離為多少？ 已知M=20m，地球半徑為6400km。假定地球是質(zhì)量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的?？疾熘R(shí)點(diǎn)：1.球?qū)ΨQ引力場 2.簡諧振動(dòng)。 3.彈性碰撞 4. 機(jī)械能守恒 5.有心力場里的運(yùn)動(dòng)（第一宇宙速度）18競賽題與常規(guī)考題的區(qū)別：1. 考察的問題原型相同，但

7、是綜合性或復(fù)雜性更強(qiáng) 對(duì)策：熟悉各種原型問題。2. 在試題的入手上設(shè)置障礙，讓人難以下手，實(shí)際上還是對(duì)應(yīng)于一些基本的物理原型。 對(duì)策：識(shí)破題目的障眼法，找到原型。3. 題目的物理過程較多，有的是同一個(gè)物理原型的反復(fù)運(yùn)用，加上各種物理情形的討論， 有的是多個(gè)不同物理原型的綜合。對(duì)策：養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。對(duì)于討論題，常規(guī)考題設(shè)置了一些簡化假設(shè)（比如沒有摩擦，2004復(fù)賽第七題在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想當(dāng)然，問問自己，有幾種可能？都要考慮進(jìn)去。19解：線性恢復(fù)力，做振幅為A的簡諧振動(dòng) 20彈性碰撞，注意：正負(fù)號(hào)，用恢復(fù)系數(shù) （寫能量守恒式子）簡諧振動(dòng)，能量守恒 （不要把v 當(dāng)成發(fā)射

8、速度）宇宙速度 212002決賽第五題 假設(shè)銀河系的物質(zhì)在宇宙中呈球?qū)ΨQ分布，其球心稱為銀心。距離銀心相等處的銀河系質(zhì)量分布相同。又假定距銀心距離為r處的物質(zhì)受到銀河系的萬有引力和將以r為半徑的球面內(nèi)所有銀河系物質(zhì)集中于銀心時(shí)所產(chǎn)生的萬有引力相同。 已知地球到太陽中心的距離為R0，太陽到銀心的距離 太陽繞銀心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期 。太陽質(zhì)量為MS，銀河系中發(fā)亮的物質(zhì)僅分布在 的范圍內(nèi)。目前可能測(cè)得繞銀心運(yùn)動(dòng)的物體距銀心的距離不大于6a，且在 范圍內(nèi)，物體繞銀心運(yùn)動(dòng)的速率是一恒量。按上述條件解答： 1.論證銀河系物質(zhì)能否均勻分布 2.計(jì)算銀河系中發(fā)光物質(zhì)質(zhì)量最多有多少 3.計(jì)算整個(gè)銀河系物質(zhì)質(zhì)量

9、至少有多少 4.計(jì)算銀河系中不發(fā)光物質(zhì)（暗物質(zhì)）質(zhì)量至少有多少上述計(jì)算結(jié)果均用太陽質(zhì)量MS表示。22解：如果均勻分布，M(r)r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必須M(r)r為了確定M(a)23兩體問題質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)的一個(gè)特殊問題兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組彼此以內(nèi)力相互作用，不受外力作用彼此以內(nèi)力相互作用，不受外力作用24mass 1 mass 2 25質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)r2r1m2r0m1m0o即系統(tǒng)動(dòng)量守恒26SunEarthCM直角坐標(biāo)系：質(zhì)心坐標(biāo)系CM frame 實(shí)驗(yàn)室系 lab frame質(zhì)心系是慣性系嗎? 27相對(duì)運(yùn)動(dòng) 以質(zhì)點(diǎn)2作為平動(dòng)參考系（非慣性） 研究質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)運(yùn)動(dòng)約化質(zhì)量Re

10、duced mass28例(p241)：兩個(gè)完全相同的滑塊a和b，其質(zhì)量均為m,用輕彈簧將它們連接，彈簧的原長為l,勁度系數(shù)為k。將整個(gè)系統(tǒng)放在光滑桌面上，并保持靜止。在某個(gè)時(shí)刻（記t=0),突然給滑塊a一個(gè)沖量，使它獲得向右的初速度v0, 求解它們的運(yùn)動(dòng)。axv0ob分析：兩體問題質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程29相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程a與b相對(duì)于質(zhì)心各作簡諧振動(dòng)，它們的位相正好相反。30兩質(zhì)量分別為m1和m2的物體置于光滑水平面上，由一彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連?，F(xiàn)將物體2由平衡位置向左移動(dòng)一個(gè)距離L以后釋放，求：（1）物體1剛剛離開墻壁時(shí)兩個(gè)物體的速度；（2）此后物體運(yùn)動(dòng)過程中物體1和2的最大速度；（3）求解物體1

11、位置與時(shí)間的關(guān)系。（1）31(2) (3) 32 a、b、c、d 是位于光滑水平桌面上的四個(gè)小物塊，它們的質(zhì)量均為m。 a、b間有一自然長度為l, 勁度系數(shù)為k1的彈簧聯(lián)接；c、d間有一自然長度為l, 勁度系數(shù)為k2的彈簧聯(lián)接。四個(gè)物塊的中心在同一直線上。如果b、c發(fā)生碰撞，碰撞是完全彈性的，且碰撞時(shí)間極短。開始時(shí)，兩個(gè)彈簧都處在自然長度狀態(tài)，物塊c、d 靜止， a、b以相同的速度v0向右運(yùn)動(dòng)。試定量論述若k1 k2，四個(gè)物塊相對(duì)于桌面怎樣運(yùn)動(dòng)？若k1 4k2，四個(gè)物塊相對(duì)于桌面怎樣運(yùn)動(dòng)？2005決賽第六題33開普勒第三定律的修正F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2F

12、2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2.Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtainr1 / r2 = m2 / m134The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which gives r1 = m2a / (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation giv

13、es Newtons form of Keplers third law:42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2T2 = 42 a3/G(m1 + m2).35mv2 / a = Gm1m2 / a2v=2a/Tm=m1m2 / (m1 + m2) Solution II:T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).36練習(xí)：飛船環(huán)繞地球飛行時(shí)，處于失重狀態(tài)，因此不能用常規(guī)儀器測(cè)量重量，以導(dǎo)出宇航員的質(zhì)量。太空實(shí)驗(yàn)室2號(hào)等飛船配備有身體質(zhì)量測(cè)量裝置，其結(jié)構(gòu)是一根彈簧，一端連接椅子，另一端連在飛船上的固定點(diǎn)。彈簧的軸線通過飛船的質(zhì)心，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k=605.6N/m。(1) 當(dāng)飛船固定在發(fā)射臺(tái)上時(shí)，椅子（無人乘坐）的振動(dòng)周期是T0=1.28195s。計(jì)算椅子的質(zhì)量m0 (2) 當(dāng)飛船環(huán)繞地球飛行時(shí)，宇航員束縛在椅子上，再次測(cè)量椅子的振動(dòng)周期T，測(cè)得T=2.33044s , 于是宇航員粗略地估算自己的質(zhì)量。他對(duì)結(jié)果感到疑惑。為了得到自己的真實(shí)質(zhì)量，他再次測(cè)量了椅子（無人乘坐）的振動(dòng)周期，得到T0=1.27395s。問宇航員的真實(shí)質(zhì)量是多少？飛船的質(zhì)量是多少？注：彈簧的質(zhì)量可以忽略，而宇航員是飄浮著。37例6（