基本統(tǒng)計方法

1、基本統(tǒng)計方法3.1總體和樣本知識梳理總體與個體：在統(tǒng)計問題中，我們把研究對象的全體叫做總體，總體中的每一個成員叫做個體.總體的情況可用數(shù)據(jù)表表示，也可用各種圖表表示，有條形圖、線形圖、頻 數(shù)圖、圓形（餅）圖和散點圖等等.（1）總體平均數(shù)：設(shè)總體有N個個體，它們的值分別為電邑，則總體平均數(shù)# = （瓦 +花+ + %） .（2）總體中位數(shù)：將N個個體從小到大排列，如果N為奇數(shù)，則位于正中位置的數(shù)叫做總 體中位數(shù)；如果N為偶數(shù)，位于該數(shù)列正中位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做總體中位數(shù)（3）總體方差：J（有-*+ - + 3河-渺（4）總體標準差：樣本：從總體中抽出的一部分個體所組成的集合叫做樣本（也叫做子

2、樣），樣本中所含 個體的個數(shù)叫做樣本容量，抽取樣本的過程叫做抽樣（1）樣本平均數(shù)：設(shè)樣本中有冉個元素，分別為孔如弓，則樣本平均數(shù)X = -（X1+X2+-I-Xx）（2）樣本中位數(shù)：將冉個樣本從小到大排列，如果冉為奇數(shù)，則位于該數(shù)列正中位置的數(shù) 叫做樣本中位數(shù)；如果理為偶數(shù)，位于該數(shù)列正中位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做樣本中位數(shù)疽=-7（近-對“+ （形一二尸 + + （% -二尸（3）樣本方差：依一1（4）樣本標準差:例題點撥【例1】已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3, 7, a, b, 12, 13.7, 18.3, 20且總體的中位數(shù)為10.5。若要使該總體的方差最小，則給務的取值分

3、別 TOC o 1-5 h z 是 .思路分析本題考查中位數(shù)、方差的意義會用相關(guān)公式分析問題、解決問題.解由中位數(shù)意義，可知2，依題意，總體中個體的數(shù)量為1 _ 3 + 3 + 3 + 7+2 + 8 + 12 + 13.7 + 18.3 + 2。.總體平均數(shù)ct2 = 357.58 +(a-10)2 + (i-10)2 516.58 + a2+i2 = 73.708 于是總體方差110,當且僅當=時等號成立。所以a = = 10.5o事實上方差是描述全體數(shù)據(jù)偏離平均值的程度的量，要使方差最小，只須各數(shù)據(jù)大小應盡可能地接近，故二 = 15.點評本題關(guān)鍵是建立總體的方差關(guān)于b的關(guān)系，因為總體的平

4、均值是常數(shù)，要使方差最小，只要最小，其實本題如果理解了方差的本質(zhì)，根本無需求最小值，而只需 要找到方差最小時的條件即可?！纠?】某居民小區(qū)所有263戶家庭族人口數(shù)分組列表如下:家庭人口數(shù)12345678910家庭數(shù)20294850463619843求總體平均數(shù)，總體中位數(shù)，總體方差和標準差思路分析該題通過表格給出總體中各個體的數(shù)值，即家庭人口數(shù)數(shù)，從中可知，如果將 263戶家庭的人口數(shù)從小到大排列，可得數(shù)列：口m2 ，10,10,，10 TOC o 1-5 h z . . .共263個個體數(shù)值，由此根據(jù)各統(tǒng)計量的定義求解.1 x 20+2 x 29+- -+10 x3R =4.3解(1)總體平

5、均數(shù)，即平均每戶家庭人口數(shù)為263人.N=263 是奇數(shù)，2JAJAJ那么132為數(shù)列胡 胡3 的正中位置.因為 2*9+48+50=147 132 0 + 29+ 4如卯，所以第132個數(shù)屬于每戶4人的那個組.故總體中位數(shù)。=4另=牛（互A）2 + （也一 只）+ + （切一尹尸（3）總體方差： N(工：+工：+ . .+品)-(12 x20 + 22 x29+ - +102x3)-4.32 3.87（4）總體標準差:cr= 7517 & 1.97點評求中位數(shù)時注意先將按從小到大的順序排成一數(shù)列，總體的個體是偶數(shù)或奇數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解.本題中的中位數(shù)，并不是表格中間位置上的數(shù)“5”和

6、“6”的平均數(shù)，這是最容易錯的地方；至于方差和標準差的計算，可直接在計算器上輸入，利用計算器的功能求出.3.2抽樣技術(shù)知識梳理簡單隨機抽樣:設(shè)一個總體的個體數(shù)為N.如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本， 且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣用簡單隨機抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為科的樣本時，每次抽取一個1 個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為；簡單隨機抽樣的特點是，逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等是不放回抽樣.簡單隨機抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復雜抽樣方法的基礎(chǔ).抽簽法：先將總體中的所有個體（共有

7、N個）編號（號碼可從1到N），并把號碼寫在 形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一 個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為 n的樣本.適用范圍：總體的個體數(shù)不多時.優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法.隨機數(shù)表法：隨機數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選 定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼.系統(tǒng)抽樣:當總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預先定出 的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的

8、情況，它與簡單隨機抽樣的聯(lián)系在于：將總體 均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的.總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當 總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩 下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進行系統(tǒng)抽樣.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的 情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣， 所分成的部分叫做層.6.常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別:類別共同點各自特點相互聯(lián)

9、系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中 每個個體被 抽取的概率 是相同的從總體中逐個抽取總體中的個數(shù)比較 少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個 部分，按照事先確定 的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時 采用簡單隨機抽樣總體中的個數(shù)比較 多分層抽樣將總體分成幾層，分 層進行抽取各層抽樣時采用簡 單抽樣或者相同抽 樣總體由差異明顯的 幾部分組成7.不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的 抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣.隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣.例題點撥【例1】在下列問題中，各采用什么抽樣方法抽取樣本較為妥當？從30

10、件產(chǎn)品中抽取5件進行質(zhì)量檢驗；某文化宮共有35排座位，每排有42個座位(座位號為1 42), 一次報告會坐 滿了聽眾，會后為聽取意見留下了所有座位號為13的35名聽眾進行座談；某公司有200名員工，其中有業(yè)務人員135人，管理人員25人，后勤服務人員 40人 從中抽取一個容量為5的樣本思路分析本題考察隨機抽樣的有關(guān)概念，每一選項須仔細斟酌、辨別解(1)總體中個體數(shù)較小，采用簡單隨機抽樣較為妥當.因為總體中個數(shù)較多，又是“等距離”抽取，所以采用系統(tǒng)抽樣較為妥當因為總體中個體差異較大，所以采用分層抽樣較為妥當點評本例雖小，但其中概念性很強，尤其第3小題，使用分層抽樣，最敏感的字就是 “層”，它源于

11、“樣本”差異，差異大了，就要考慮分層了.【例2】某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點. 公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項 調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務 情況，記這項調(diào)查為.則完成、這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法思路分析此題為抽樣方法的選取問題.當總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當總體中 的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較

12、少時，宜采用隨機抽樣.解依據(jù)題意，第項調(diào)查應采用分層抽樣法、第項調(diào)查應采用簡單隨機抽樣法故選 B.答案：B點評采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定【例3】一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2,，99，依編號順序平均分成10 個小組，組號依次為1，2, 3,，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定 如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù) 字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是.思路分析此問題總體中個體的個數(shù)較多因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽 取即可.解m=6, k=7, m+k=13,.在第7小組中抽

13、取的號碼是63.答案：63點評當總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi) 抽取時應按規(guī)則進行.【例4】某高級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如右表：已知在全校學生中隨 機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.一年級二年級三年級女生373X男生377370Z求x的值;現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在高 三年級抽取多少名？已知心245,空件,求高三年級中女生比男生多的概率 思路分析本題考查簡單統(tǒng)計知識的應用，考查概率的意義、分層抽樣方法及其運算。屬 于中等難度題。- = 0.19解（1）由湖 ，解得工=雙（2）只要求出高三年級人數(shù)即可，由

14、（1）知二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人 數(shù)應該是* = 2一（3刀+ 377 +雙+芬0） = 500,設(shè)應在高三年級抽取m人則m 48頑2000 ,解得梆=12答：應在高三年級抽取12名.（3）設(shè)高三年級女生比男生多的事件為且，高三年級女生和男生數(shù)記為數(shù)對公,由（2）知A + Z頑心，八城245, z245），則基本事件總數(shù)有:(245,255),(246,254), (247,253),(248,252),(249,251),(250,250),羽章52部璀53部）,054件）,（25泌5）共n個，而事件H包含的基本事 件有：（251,羽章5*歐（g 247）,（組2啊g北）

15、共5個，二時）=點評本題要注意到分層抽樣的實質(zhì)就是按比例抽樣.關(guān)鍵是基本概念和運算要熟練.要善 于通過文字、表格等判斷題中的各種有效信息.3.3.統(tǒng)計估計知識梳理用樣本的頻率分布估計總體分布（1）頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或 數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布 變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖 來表示.總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機試驗，從總體中抽取一個容量為n 的樣本，就是進行了n次試驗，試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機事件，所有這些事件的概率分

16、布規(guī)律稱為總體分布.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組 取值的概率.設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限 接近于一條光滑曲線，這條曲線叫做總體密度曲線.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時，有兩個或幾個數(shù) 據(jù)出現(xiàn)的最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù) 出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，當數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，處在最中間的一個數(shù)是這 組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最

17、中間兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商叫做平均數(shù)，工=1(也+形+上)記作 理.方差與標準差s =項 + (圣-寸+(% - 寸用樣本的標準差 V冉一】作為總體標準差的點估計值.例題點撥【例1】為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，如 2000尾，給每尾魚做上記號，然后放回水庫，經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓其充分混合，再從水庫 中捕出一定數(shù)量的魚，如500尾，查看其中有記號的魚有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水 庫中魚的尾數(shù)。思路分析利用“捕到一尾魚有記號”，這一隨機事件出現(xiàn)的概率在同一水域的同一時刻、 同一地點是恒值來估計水庫內(nèi)魚

18、的尾數(shù)。解設(shè)水庫內(nèi)魚的尾數(shù)為N,由于每尾魚被捕到的可能性是一樣的，記事件A為“捕到一尾魚有記號”，于是，N500，則 N 500點評抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在標簽上，將標簽放在一個容器里， 連續(xù)抽取打次，就得到一個容量為的樣本.【例2】有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下10, 15 430, 35)915, 20)535, 40)820, 25) 1040, 45) 325, 30) 11列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖思路分析本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且

19、要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別解(1)由所給數(shù)據(jù)，計算得如下頻率分布表數(shù)據(jù)段頻數(shù)頻率累積頻率10,15)40.080.0815,20)50.100.1820,25)100.200.3825,30)110.220.6030,35)90.180.7835,40)80.160.9440,45)30.061總計501(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下01132 LI.LIJLI -LI U 6 -點評本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系.3.4應用與拓展例題點撥【例1】某工廠A、B兩個車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動傳送帶上每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品， 稱其重量是否合格，分別記錄抽查結(jié)果如下：A 車間

20、：102，101，99，103，98，99，98.B 車間：110，115，90，85，75，115，110.（1）這種抽樣是何種抽樣方法？（2）估計A、B兩車間的均值與方差，并說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定？思路分析應用精義判斷抽樣方法，計算均值、方差，進行比較，得出結(jié)論解（1）由定義知，這是系統(tǒng)抽樣方法. = l（102 + 101 + 99 + 103 + 98 + 99 + 9B） = 100（2）7=10+ 115 + 90+ 85 + 75 + 115 + 110） = 100= |(102-100)2 + (101-100)2+(99-100)2 + (103-100)2 +(98-10

21、0)2 + (99-100)2 + (98-100)2 = 3.4286cr/ = l(110-100)2 + (115-100)2 +(90-100)2 + (85-100)2 +(75-100)2 +(115-100)2 +(110-100)2= 228.5714由于七-知，。A 處，故A車間產(chǎn)品較B車間穩(wěn)定.點評在孔 f 時，還需進一步求第時，從而得到結(jié)論，不能被假象所迷惑.【例2】在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，從中抽取一個容 量為20個的樣本，分別用三種方法抽樣，計算總體中每個個體被抽取的概率，比較這些概 率之間的關(guān)系.思路分析分別用簡單隨機抽樣法、系統(tǒng)抽樣法、分層抽樣法來抽取，計算出每個個體抽 到的概率.20 _ 1解(1)采用簡單隨機抽樣法(抽簽法).每個個體被抽取的概率為12 S.(2)系統(tǒng)抽樣法.將120個零件分成20組，每組6個零件，每組取1個，每個個體被抽取的概率為&.20 x = 4;20 xJ-= 6?20 xA = iq TOC o 1-5 h z (3)分層抽樣法.一、二、三級品之比為43：5，W11046分別從一、二、三級品中抽取4個，6個，10個