2023年考研數(shù)學(xué)一真題及全面解析(Word版)

1、超級(jí)狩獵者整理第 頁(yè)2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一考研真題與全面解析一、選擇題：18小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1. 以下函數(shù)中在處不可導(dǎo)的是 A BC D【答案】()【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，A. ，可導(dǎo)；B., 可導(dǎo)； C. ，可導(dǎo)；D. ，極限不存在。應(yīng)選.2. 過(guò)點(diǎn)，且與曲面相切的平面為 A BC D【答案】【解析一】設(shè)平面與曲面的切點(diǎn)為，那么曲面在該點(diǎn)的法向量為，切平面方程為切平面過(guò)點(diǎn) ，故有，1，2又是曲面上的點(diǎn)，故 ，3解方程 123，可得切點(diǎn)坐標(biāo) 或 。因此，切平面有兩個(gè) 與 ，應(yīng)選

2、B.【解析二】由于不經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和 ，所以排除CD。對(duì)于選項(xiàng)A，平面的法向量為，曲面的法向量為，如果所給平面是切平面，那么切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為，而曲面在該點(diǎn)處的切平面為，所以排除A.所以唯一正確的選項(xiàng)是.3. 【答案】【解析】因?yàn)?而 ，應(yīng)選。4. 設(shè)，那么 A BC D【答案】【解析】積分區(qū)間是對(duì)稱(chēng)區(qū)間，先利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)，能求出積分最好，不能求出積分那么最簡(jiǎn)化積分。，令，那么，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 對(duì)，有，因而，故。應(yīng)選.5. 以下矩陣中陣，與矩陣相似的是 A B C D【答案】【解析】記矩陣，那么秩，跡,特征值三重。觀察四個(gè)選項(xiàng)，它們與矩陣的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進(jìn)一步分析可得：,，,

3、。如果矩陣與矩陣相似，那么必有與相似為任意常數(shù)，從而，應(yīng)選A,6. 設(shè)是階矩陣，記為矩陣 的秩，表示分塊矩陣，那么 A B C D【答案】【解析】把矩陣 按列分塊，記，那么向量組 可以由向量組線性表出，從而與，等價(jià)，于是，應(yīng)選。7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度滿(mǎn)足，且那么 ( )A0.2 B0.3 C0.4 D0.5【答案】【解析】由可知概率密度函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)及條件，容易得出，應(yīng)選。8. 設(shè) 總體服從正態(tài)分布,是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，據(jù)此樣本檢測(cè)，假設(shè) 那么 A如果在檢驗(yàn)水平下拒絕，那么在檢驗(yàn)水平下必拒絕；B如果在檢驗(yàn)水平下拒絕，那么在檢驗(yàn)水平下必接受；C如果在檢驗(yàn)水平下接受

4、，那么在檢驗(yàn)水平下必拒絕；D如果在檢驗(yàn)水平下接受，那么在檢驗(yàn)水平下必接受?！敬鸢浮俊窘馕觥空_解答該題，應(yīng)深刻理解“檢驗(yàn)水平的含義。統(tǒng)計(jì)量 ,在檢驗(yàn)水平下接受域?yàn)?解得 接受域的區(qū)間為 ；在檢驗(yàn)水平下接受域的區(qū)間為 。由于，下接受域的區(qū)間包含了下接受域的區(qū)間，應(yīng)選。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.9. 假設(shè)，那么 。 【答案】【解析】 10. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，假設(shè)曲線過(guò)點(diǎn)，且與在點(diǎn)處相切，求。【答案】【解析】由條件可得：故 11、設(shè)函數(shù)，那么。 【答案】【解析】 故 。12. 設(shè)是曲面與平面的交線，那么。【答案】【解析】先求交線:，由于曲面方程

5、與平面方程中的滿(mǎn)足輪換對(duì)稱(chēng)性，因此在曲線上具有輪換對(duì)稱(chēng)性。又知由輪換對(duì)稱(chēng)性可得 ：。13. 設(shè)二階矩陣有兩個(gè)不同的特征值，是的線性無(wú)關(guān)的特征向量，且滿(mǎn)足，那么?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)對(duì)應(yīng)的特征值分別是，那么，由于線性無(wú)關(guān)，故 ，從而的兩個(gè)不同的特征值為，于是。 14. 設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,，,那么。 【答案】【解析】,三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15. 此題總分值10分求不定積分.【解析】16. 此題總分值10分將長(zhǎng)為的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值？假設(shè)存在，求

6、出最小值?！敬鸢浮棵娣e之和存在最小值，?！窘馕觥吭O(shè)圓的半徑為，正方形的邊長(zhǎng)為，三角形的邊長(zhǎng)為，那么，三個(gè)圖形的面積之和為 ，那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 “在條件，下，求三元函數(shù) 的最小值。 令 解方程組，得到唯一駐點(diǎn)由實(shí)際問(wèn)題可知，最小值一定存在，且在該駐點(diǎn)處取得最小值。最小面積和 為.17. 此題總分值10分設(shè)是曲面的前側(cè) ，計(jì)算曲面積分.【解析】將空間曲面化成標(biāo)準(zhǔn)形以便確定積分曲面的形狀。曲面前側(cè)是一個(gè)半橢球面，補(bǔ)平面，取后側(cè)，那么由高斯公式可得 其中，由“先二后一 法可得而。故.18. 此題總分值10分微分方程 ，其中是上的連續(xù)函數(shù)。I假設(shè) ，求方程的通解；II假設(shè)是周期為的函數(shù)，證明：方程存在唯一

7、的以為周期的解。【解析】I假設(shè)，那么，由一階線性微分方程通解公式 得。II由一階線性微分方程通解公式可得 ，由于在中無(wú)法表達(dá)出來(lái)，取，于是 假設(shè)方程存在唯一的以為周期的解，那么 必有 ，即. 由于 為一常數(shù)，可知 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，以為周期，故微分方程存在唯一的以為周期的解。19. 此題總分值10分設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 。證明收斂，并求。【證明一】因?yàn)?，所以 。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ，即，因此。完全類(lèi)似，假設(shè) ，那么，即 ，故數(shù)列單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列收斂。設(shè) ，在等式 兩邊取極限，得 ，解方程得 唯一解 ，故 ?！咀C明二】首先證明數(shù)列有下界，即證明：當(dāng)時(shí)， 。根據(jù)題設(shè) ，由 可知 ；假設(shè)

8、當(dāng)時(shí)， ；那么當(dāng)時(shí)， ，其中，可知 。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意的， 。再證明數(shù)列的單調(diào)性：，(離散函數(shù)連續(xù)化)設(shè) ，那么當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即 。從而 ，故，即數(shù)列的單調(diào)遞減。綜上，數(shù)列的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知收斂。設(shè) ，在等式 兩邊同時(shí)令，得 ，解方程得 唯一解 ，故 。20. 此題總分值11分設(shè)二次型 ，其中是參數(shù)。I求 的解；II求 的標(biāo)準(zhǔn)型?！窘馕觥縄由 可得對(duì)上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作 初等行變換得當(dāng)時(shí)， 只有零解：。當(dāng)時(shí)， 有非零解：， 為任意常數(shù)。II當(dāng)時(shí)，假設(shè)不全為0，那么二次型 恒大于 0，即二次型為正定二次型，其標(biāo)準(zhǔn)型為。當(dāng) 時(shí)，二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ，其

9、特征方程為解得特征值 ，可知二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為。21.此題總分值11分設(shè)是常數(shù)，且矩陣 可經(jīng)過(guò)初等列變換化為矩陣。(I)求；II求滿(mǎn)足的可逆矩陣？【解析】I由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故 。對(duì)矩陣作初等行變換，得，顯然，要使，必有 。II將矩陣 按 列 分塊：，求解矩陣方程可化為解三個(gè)同系數(shù)的非齊次線性方程組：。對(duì)以下矩陣施以初等行變換得，易知，齊次線性方程組的根底解系為 ：,三個(gè)非齊次線性方程組的特解分別為：。因此，三個(gè)非齊次線性方程組的通解為，從而可得可逆矩陣 ，其中。22此題總分值11分設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的概率分布為，服從參數(shù)為的泊松分布。令，I求；II求的概率分布?！窘馕觥縄由相互獨(dú)立，可得.。由協(xié)方差計(jì)算公式可知,其中 ，代入上式可得 。II由于是離散型隨機(jī)變量，因此也是離散型隨機(jī)變量