《抽象代數(shù)》教學(xué)大綱

1、抽象代數(shù)32 學(xué)時(shí)/ 2 學(xué)分英文譯名：Abstract Algebra適用領(lǐng)域：數(shù)學(xué)專業(yè)研究生教學(xué)目的：通過本課程的學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生掌握后續(xù)課程中所需要的抽象代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí), 其包括包括群、環(huán)、域的基本知識(shí)。預(yù)備知識(shí)或先修課程要求：線性代數(shù)或高等代數(shù)。教學(xué)方式及學(xué)時(shí)分配：課堂授課32學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方式4代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本概念授課12群論授課10環(huán)與域授課6擴(kuò)域理論授課教學(xué)主要內(nèi)容以及對(duì)學(xué)生的要求：學(xué)習(xí)內(nèi)容：本課程要求學(xué)生掌握如下抽象代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。1、代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本概念：映射、代數(shù)運(yùn)算及運(yùn)算律、同態(tài)及同構(gòu)、集合的分類及等價(jià)關(guān)系；2、群論：群的定義、群的同態(tài)、交換群、置換群、循環(huán)群、子

2、群及其陪集、正規(guī)子群及商群；3、環(huán)與域：環(huán)和域的基本概念、無零因子環(huán)的特征、子環(huán)、環(huán)的同態(tài)、多項(xiàng)式環(huán)、理想及商環(huán)、極大理想、商域；4、擴(kuò)域理論：擴(kuò)域、單擴(kuò)域、多項(xiàng)式的分裂域、有限域。內(nèi)容摘要：(抽象代數(shù)應(yīng)用舉例) (1) 尺規(guī)作圖問題在中學(xué)平面幾何中, 我們用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)可以作已知線段的垂直平分線, 已知直線外一點(diǎn)作此直線的平行線, 分定長的線段等份, 作已知角的平分線(將已知角二等分). 以下是古希臘數(shù)學(xué)中的三大幾何作圖難題:(1) 三等分角問題;(2) 立方倍積問題, 即作一個(gè)立方體使它的體積為一個(gè)已知 立方體體積的兩倍;(3) 化圓為方問題, 即作一個(gè)正方形使它的面積為一個(gè)已知

3、 半徑之圓的面積.這些問題在平面幾何的范疇內(nèi)是難以解決的, 但利用近世代數(shù)的方法這些問題可以得到較容易的解答. 當(dāng)然, 近世代數(shù)的解決方法有時(shí)也依賴于其它領(lǐng)域的成果, 如化圓為方問題最終是因?yàn)槭浅綌?shù)而得到否定回答. 在本節(jié)中, 我們用近世代數(shù)語言簡單討論尺規(guī)作圖的必要條件(限于篇幅我們不討論充分條件, 盡管對(duì)此也有確定的回答). 由此我們可以回答上述的三個(gè)問題. 在此, 我們?cè)僖淮慰吹搅顺橄笾R(shí)的威力.(2) 尺規(guī)作圖的代數(shù)提法建立平面直角坐標(biāo)系, 取定點(diǎn)(確定單位長度). 因?yàn)橹本€和圓都是由個(gè)別點(diǎn)決定的, 因而尺規(guī)作圖的已知條件本質(zhì)上就是給定有限的幾個(gè)點(diǎn):, , - ,再在尺規(guī)所能的操作下

4、連續(xù)不斷地畫出一些新的點(diǎn), 這些新的點(diǎn)稱可構(gòu)造點(diǎn), 其坐標(biāo)稱可構(gòu)造數(shù), 即一個(gè)點(diǎn)是否可構(gòu)造等同于它的坐標(biāo)是否為可構(gòu)造數(shù). 若僅有點(diǎn), 則我們簡稱可構(gòu)造數(shù)為可構(gòu)造實(shí)數(shù).尺規(guī)僅有如下兩個(gè)操作:(1) 通過已知或已作出的兩點(diǎn)畫直線;(2) 以已知或已作出某個(gè)點(diǎn)(兩個(gè)數(shù))為心, 以已知或已作出的某兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為半徑畫圓.這兩個(gè)操作產(chǎn)生新點(diǎn)的方式如下:(1) 兩條直線的交點(diǎn)-新點(diǎn).每條已知或已作出的直線由四個(gè)已知的數(shù)決定, 在坐標(biāo)系內(nèi), 其方程的系數(shù)由這四個(gè)數(shù)通過四則運(yùn)算得到. 而求兩條直線的交點(diǎn)就是解一個(gè)二元線性方程組, 而其解可由方程組的系數(shù)通過四則運(yùn)算得到. 總之, 新點(diǎn)的坐標(biāo)可通過已知或已構(gòu)

5、造點(diǎn)坐標(biāo)的四則運(yùn)算得到. (2) 直線與已有圓的交點(diǎn)-新點(diǎn).求此交點(diǎn)的坐標(biāo)就是解一個(gè)二元一次方程與一個(gè)二元二次方程(沒有交叉項(xiàng), 且二次項(xiàng)的系數(shù)都為)聯(lián)立的方程組. 由于解此方程組, 除了系數(shù)的四則運(yùn)算外, 最多會(huì)用到一個(gè)數(shù)(系數(shù)或系數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果)的平方根, 因而新點(diǎn)的坐標(biāo)可由已知點(diǎn)或已構(gòu)造點(diǎn)的坐標(biāo)通過四則運(yùn)算和一個(gè)可構(gòu)造數(shù)的平方根得到.(3) 兩圓的交點(diǎn)-新點(diǎn).此時(shí), 我們可以得到與(2)同樣的結(jié)論.總之, 若我們?cè)煊欣頂?shù)域的擴(kuò)域, 則第一個(gè)可構(gòu)造點(diǎn)的坐標(biāo)在域內(nèi)或者在域內(nèi). 無論如何, 都有或. 同理, 第二個(gè)可構(gòu)造點(diǎn)的坐標(biāo)在的擴(kuò)域內(nèi), 且或. 這樣連續(xù)下去, 我們就得到了可構(gòu)造數(shù)的必要條件. 考核方式：閉卷，筆試課程主要教材：Lectures on Modern Algebra(自編講義). 范崇金主要參考書目：1 Basic A