二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)

1、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)第1頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日復(fù)習(xí)1、什么叫二項(xiàng)式定理？通項(xiàng)公式？2、什么叫二項(xiàng)式系數(shù)？項(xiàng)的系數(shù)？它們之間有什么不同？第2頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日詳解九章算法中記載的表?xiàng)?輝第3頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日楊輝三角詳解九章算法中記載的表 這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261 年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似右面的表：第4頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日第5頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 這

2、個(gè)表稱為楊輝三角。在詳解九章算法一書里，還說明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算書，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它。這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。楊輝三角第6頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和 事實(shí)上，設(shè)表中任一不為1

3、的數(shù)為Cn+1r，那么它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為Cnr-1及Cnr，由組合數(shù)的性質(zhì)2知道Cn+1r= Cnr-1+Cnr二項(xiàng)式系數(shù)表的規(guī)律第7頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日楊輝三角點(diǎn)擊圖片可以演示“楊輝三角”課件第8頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日（二）、規(guī)律1、每行兩端都是1 Cn0= Cnn=12、從第二行起，每行除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1第9頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值 因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值； 當(dāng)

4、n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、相等，且同時(shí)取得最大值。第10頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日11121133114641151010511615201561 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對(duì)稱性性質(zhì)2：增減性與最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) 取得最大值 ；先增后減當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) 和 相等，且同時(shí)取得最大值。 第11頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于 ，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式 第12頁，共

5、22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日2、在(ab)10展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).1、在(ab)20展開式中，與第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是( ).A課堂練習(xí):A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)和第7項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第7項(xiàng)CA.第15項(xiàng) B.第16項(xiàng) C.第17項(xiàng) D.第18項(xiàng) 此種類型的題目應(yīng)該先找準(zhǔn)r的值，然后再確定第幾項(xiàng)。注：第13頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日例1 證明：在(ab)n展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求a0+ a1+

6、 a2+ +a9+ a10的值(2)求a0+ a2+ a4+ + a10的值例題選講變式練習(xí)：第14頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開式中x的一次項(xiàng)例2 已知 的展開式中，第第15頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日解：依題意, n 為偶數(shù)，且例 已知 展開式中只有第10項(xiàng)系數(shù)最大，求第五項(xiàng)。 例題選講若將“只有第10項(xiàng)”改為“第10項(xiàng)”呢？引申：第16頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日練習(xí)一、選擇填空：1.( 1x ) 13 的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是 （ ）(A)第六項(xiàng) (B

7、)第七項(xiàng) （C）第八項(xiàng) (D)第九項(xiàng)2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一個(gè)燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD4或5-2-10941093第17頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日解：（1） 中間項(xiàng)有兩項(xiàng)：（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系數(shù)分別為：例三、已知二項(xiàng)式 ( a + b )15 （1）求二項(xiàng)展開式中的中間項(xiàng)；（2）比較T3， T7 ， T12 ， T13各項(xiàng)系數(shù)的大小，并說明理由。第18頁，共22頁，2022年，5月20日，8

8、點(diǎn)33分，星期日 例5：求(1-2x)5(1+3x)4展開式中按x的升冪排列的前3項(xiàng)。 例6： 在(1+x)3+ (1+x)4+ + (1+x)n+2的展開式中，求含x2的項(xiàng)的系數(shù)。 例4：求(1+x+x2) (1-x)10展開式中x4的系數(shù)。 例7：已知(1+x2)n展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求n。 部分復(fù)習(xí)參考題:第19頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日例四、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二項(xiàng)式( ax m + bx n )12 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng)，求 a : b 的取值范圍。 解：令m (12 r )+ nr = 0，將 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 為常數(shù)項(xiàng)，且系數(shù)最大。第20頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日 二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開式系數(shù)的問題的重要手段。內(nèi)容小結(jié)第21頁，共22頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)33分，星期日作業(yè)：見教材小結(jié)（1） 二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì)。 （2） 數(shù)學(xué)思想