高中數(shù)學(xué)必修二 6.2.4 向量的數(shù)量積（第1課時(shí)）向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積 導(dǎo)學(xué)案

1、【新教材】 6.2.4 向量的數(shù)量積（人教A版）第1課時(shí) 向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積1了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積相關(guān)概念的理解；2.邏輯推理：有關(guān)數(shù)量積的運(yùn)算；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求數(shù)量積或投影；4.數(shù)學(xué)建模：從物理問題抽象出數(shù)學(xué)模型，數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用數(shù)量積解決實(shí)際問題.重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念.預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本17-21頁(yè)，填

2、寫。1、向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b，作=a，=b，AOB= （0180）叫作向量a與b的夾角。當(dāng)=_時(shí)，a與b同向；當(dāng)=_時(shí)，a與b反向；當(dāng)=_時(shí)，a與b垂直，記作ab。規(guī)定：零向量可與任一向量垂直。2、射影的概念bcos叫作向量b在a方向上的射影。 注意：射影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。3、數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：ab，即：ab= _.注意 ab不能寫成ab或ab的形式數(shù)量積的幾何意義：_.數(shù)量積的物理意義：力F與其作用下物體位移s的數(shù)量積4、向量數(shù)量積的性質(zhì)1e是單位向量，ae=ea=acos; 2=90abab=

3、0;3a/bab=|a|b|;特別地：aa=a2或a=a2;4cos=_,a|b|05|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a/b時(shí)等號(hào)成立)5、運(yùn)算定律：已知向量a、 b、c和實(shí)數(shù)，則：(1).交換律：ab=_(2).數(shù)乘結(jié)合律：（）b=_= _.(3).分配律： （a + b）c=_.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量()(2)若ab0，則a0或b0.()(3)若a，b共線ab|a|b|.()(4)若abbc，則一定有ac.()2若|m|4，|n|6，m與n的夾角為45，則mn()A12B12eq r(2)C12eq r(2)D123已知ab12eq

4、r(2)，|a|4，a和b的夾角為135，則|b|()A12B3C6D3eq r(3)4已知|a|5，向量a與b的夾角60，則向量a在b方向上的射影為_題型一 數(shù)量積的基本運(yùn)算例1 已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a與b的夾角為30，分別求ab.跟蹤訓(xùn)練一1、已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq o(AB,sup16()|3，|eq o(BC,sup16()|4，|eq o(CA,sup16()|5，則eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AB,sup16()的值是_題型二

5、數(shù)量積的幾何意義例2已知|a|6，e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角分別等于45，90，135時(shí)，求出a在e方向上的投影，并畫圖說明跟蹤訓(xùn)練二1、已知|a|3，|b|4，ab6.(1)向量a在向量b方向上的投影為_(1)向量b在向量a方向上的投影為_2、在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，eq o(AB,sup16()在eq o(BC,sup16()方向上的投影為_題型三 向量的混合運(yùn)算例3(1)已知|a|6，|b|4，a與b的夾角為60，求(a2b)(a-3b)=_(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則eq o(AE,sup16()eq o(BD,sup16()_跟蹤訓(xùn)練三1.已知兩個(gè)

6、單位向量e1，e2的夾角為eq f(,3)，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_2已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.1下列命題：(1)若a0，abac，則bc；(2)(ab)ca(bc)對(duì)任意向量a，b，c都成立；(3)對(duì)任一向量a，有a2|a|2.其中正確的有()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)2已知|b|3，a在b方向上的投影是eq f(3,2)，則ab為()A.eq f(9,2) B3 C2 D.eq f(1,2)3若平面四邊形ABCD滿足eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()0，(eq o(AB,sup16()e

7、q o(AD,sup16()eq o(AC,sup16()0，則該四邊形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形4已知向量a，b的夾角為45，且|a|4，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)ab)(2a3b)12，則|b|_；b在a方向上的投影等于_5已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.6已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影為1.(1)求a與b的夾角；(2)求(a2b)b；答案小試牛刀1. (1)(2) (3)(4)2B.3C.4. eq f(5,2).自主探究例1 【答案】ab=10. ab0. ab5eq r(3).【解析

8、】當(dāng)ab時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0.ab|a|b|cos025110.若a與b反向，則它們的夾角為180.ab|a|b|cos18025(1)10.當(dāng)ab時(shí)，它們的夾角為90.ab|a|b|cos902500.當(dāng)a與b的夾角為30時(shí)，ab|a|b|cos3025eq f(r(3),2)5eq r(3).跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】25 【解析】如圖，根據(jù)題意可得ABC為直角三角形，且Beq f(,2)，cosAeq f(3,5)，cosCeq f(4,5)，eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,

9、sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(CA,sup16()eq o(AB,sup16()45cos(C)53cos(A)20cosC15cosA20eq f(4,5)15eq f(3,5)25.例2【答案】見解析【解析】如下圖所示，當(dāng)45時(shí)，a在e方向上的正投影的數(shù)量為3eq r(2)；當(dāng)90時(shí)，a在e方向上的投影的數(shù)量為0；當(dāng)135時(shí)，a在e方向上的投影的數(shù)量為3eq r(2).|a|cos453eq r(2)，|a|cos900，|a|cos1353eq r(2).跟蹤訓(xùn)練二【答案】1、(1) 32(2)2.2、1

10、.【解析】1、（1）abb=-32, 2 aba=-2.2、ABcos120=2-12=-1.例3【答案】（1）-72. （2）2.【解析】(1)(a2b)(a-3b)aa-ab-6bb|a|2-ab-6|b|2|a|2-|a|b|cos 60-6|b|262-64cos 60-642-72.（2）eq o(AE,sup16()eq o(BD,sup16()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup16()f(1,2)o(AB,sup16()(eq o(AD,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()2eq f(1,2)eq o(AB,sup16()222eq f(1,2)222.跟蹤訓(xùn)練三【答案】1、-6. 2、2【解析】1、由題設(shè)知|e1|e2|1且e1e2eq f(1,2)，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3eeq oal(2,1)2e1e28eeq oal(2,2)32eq f(1,2)86.2、因?yàn)閎c0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因?yàn)閨a|